1、张家口市2019-2020学年度第一学期期末教学质量监测高三数学（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先用列举法求出集合，然后根据交集法则求出的结果。【详解】解：因为，所以，因为，所以故选：C.【点睛】本题考查了集合的运算交集，解题的关键是正确理解交集的定义，属简单题2.已知是虚数单位,是复数的共轭复数,复数满足,则复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据复数运算规则求出，再根据共轭复数的定义求
2、出.【详解】解：因为所以，故，所以故选:D.【点睛】本题考查了复数的运算及共轭复数的定义，正确使用复数的运算规则是解题的关键，属简单题3.矩形中,为的中点,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先确定基底为、，然后将向量、用基底表示，根据数量积定义求解。【详解】解：由题意得：，所以故选:B.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理以及数量积的运算，解题的关键是要能将目标向量转化为基底向量.4.已知函数的图象在点处的切线方程为,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导，根据导数的几何意义得到，从而得出的值.【详解】解：因为函数的图象在点处的切线方程为
3、,所以，即，解得：，故选：B.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，解题的关键是理解函数在某点处的导数即为切线的斜率，属于基础题。5.已知偶函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】要求，只要先求出，而，从而可以得出结果.【详解】解：因为，且为偶函数所以，故，故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，根据偶函数的定义有，这是解决本题的关键.6.在下列四个函数，中，最小正周期为的所有函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对每一个函数逐一研究其周期，也可采用排除法求解.【详解】解：函数的图像是将的图像在轴下方的全部对称到轴上方，故函数的最小正周期为，故
4、满足题意；函数的图像是将的图像在轴下方的全部对称到轴上方，而函数的周期为，故函数的最小正周期为，故不满足题意；函数的周期为，故满足题意；函数的周期为，故满足题意；故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的周期性质，求解函数的周期可以借助图象，也可以运用公式或求解.7.设是空间中两条不同的直线,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若,则B. 若,则C. 若，则D. 若,则【答案】D【解析】【分析】逐一分析，能够寻找出反例的是错误的，能够证明的，一定是正确的.【详解】解：选项A：若,则。很明显当时，故不成立；选项B：若,则。当与不共面时，与不可能平行，故不成立；选项C：若，则。设，若，则可
5、以得到，得不到，故不成立；选项D： 若,则。因为，则在中存在一条直线，故，又因为，则可以得到。故，故选：D.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，解题的关键是要能准确运用线面、面面的判定与性质定理等进行判断.8.现有六名百米运动员参加比赛，甲、乙、丙、丁四名同学猜测谁跑了第一名.甲猜不是就是;乙猜不是;丙猜不是中任一个；丁猜是中之一，若四名同学中只有一名同学猜对，则猜对的是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】【分析】逐一分析四人的猜测，得出矛盾者，即为错误，反之则正确.【详解】解：若甲的猜测是对的，即第一名在与中产生，其他人猜测都是错误，则乙的猜测是错误的，即得到第一名是
6、，矛盾，故甲的猜测是错误的；若乙的猜测是正确的，则第一名在中产生，则丙的猜测是错误的，即得到第一名是中的一个；丁的猜测是错误的，即得到第一名不是中的一个，故第一名一定是，而甲的猜测也是错误的，即得到的第一名不可能是，故矛盾，故乙的猜测是错误的；若丙的猜测是正确的，即第一名不是中任一个，是中的一个，因为甲的猜测是错误的，故第一名不是，则是中的一个，因为乙的猜测是错误的，即得到第一名是，故得到第一名一定是，这时也满足丁的猜测是错误的，故正确答案是丙；若丁的猜测是正确的，即第一名是中之一，则乙的猜测是错误的，即得到第一名是，矛盾.故选：C.【点睛】本题考查了演绎推理的知识，解题时需要注意推理的严谨性
7、.9.某家庭决定要进行一项投资活动,预计每年收益.该家庭2020年1月1日投人万元,按照复利（复利是指在每经过一个计息期后,都将所得利息加人本金，以计算下期的利息）计算,到2030年1月1日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为（ ）参考数据：A. 万B. 万C. 万D. 万【答案】C【解析】【分析】根据等比数列知识得出10年后的资产总额为，根据题目提供的数据解决问题.【详解】解：因为该家庭2020年1月1日投人万元,按照复利计算，且每年收益.所以10年后的资产总额为，因为，所以万元，故选:C.【点睛】本题考查了银行计息的复利问题，复利问题其本质是等比数列，可以由特殊到一般进行推广，从而得出结
8、果.10.椭圆与抛物线在第一象限相交于点为椭圆的左、右焦点.若,则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用椭圆方程得出焦点坐标，再利用抛物线的定义求出点的坐标，然后利用椭圆的定义求出，从而得出离心率.【详解】解：因为所以所以，因，根据抛物线的定义可得：点到的距离为2，故得到点的横坐标为1，代入抛物线方程，且点在第一象限，所以点的坐标为，故，即，解得，所以椭圆的离心率为，故选:D.【点睛】求解离心率问题就是要解出a与c的值或构造出a与c的等式（不等式），构造a与c的等式（不等式）可以从定义、曲线方程、同一量的二次计算等角度构造.11.已知锐角满足,则（ ）A.
9、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对条件运用二倍角公式进行化简，然后借助进行求解便可得结果.【详解】解：可化简为，即，因为锐角，所以，化简得到代入可解得，故选:A【点睛】本题考查了同角三角函数关系、二倍角公式的运用，在运用余弦的倍角公式时，要注意合理选择，才能达到简化的目的.12.已知双曲线,点为原点，以为直径的圆与圆相交于点.若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解出圆的方程，根据两圆求解出直线方程，设直线与轴的交点为，从而在中得出方程，解出的值，从而解出渐近线的方程.【详解】解：因为点为原点，所以以为直径的圆：，即圆：，因为圆，即圆
10、，故直线设直线与轴的交点为，则，因，所以，在中，可得，即，解得：，所以双曲线的渐近线为故选:B.【点睛】双曲线渐近线方程的问题，其本质是求解与的关系，解决的关键是要能根据条件构建出与的等式（不等式）.第卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数满足条件,则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先将题中，满足的约束条件对应的可行域画出，目标函数的几何意义为一条斜率为的直线，通过平移求解出最值.【详解】解：如图，满足约束条件对应的可行域为五边形
11、内部（含边界），目标函数的几何意义为一条斜率为、截距为的直线，当直线经过点时，直线的截距最小，最小，故.故答案为：0【点睛】代数问题转化为几何问题解决，往往能简化计算，但必须要将每一个代数形式的几何意义分析到位，这个是数形结合的必要前提.14.我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节,每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、夏、秋、冬四个季节的彩绘,每位同学绘制两个季节，则甲同学绘制春、夏两个季节的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求出甲同学绘制两个季节的所有可能，然后根据古典概型公式得出结果。【详解】解：一年共有4个季节，甲
12、同学绘制两个季节的所有可能为（春、夏），（春、秋），（春、冬），（夏、秋），（夏、冬），（秋、冬），故甲同学绘制春、夏两个季节的概率为。故答案为：【点睛】本题考查是古典概型，当所有事件数比较少时，可采用列举的方法解题，解题的难点在于，在列举过程中要做到 “不重不漏”。15.中,若成等差数列,并且,则的三个内角中,最大的角的大小为_.【答案】【解析】【分析】由成等差数列可得，与联立方程组，用表示出、，判断出最大角，然后运用余弦定理求解出最大角的大小.【详解】解：因为成等差数列，所以，可得方程组，解得：，故的最大角为角，由余弦定理可得：故答案为：120.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合使
13、用，同时还考查了等差数列的等差中项知识，解三角形的本质其实是边与角的互化，如何转化是解三角形的关键.16.四面体中，则四面体外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据题中提供的数据可以得出和为直角三角形，取的中点为，可以得出，由此可以得到球心与半径，从而得出外接球的表面积。【详解】解：取的中点为，在中，故，所以为直角三角形，同理可得为直角三角形，则能得到,同时， 为中点，所以,所以为外接球的球心，且半径为，所以四面体外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积问题，解题的关键是找准外接球的球心，解出外接球的半径，解题的途径是根据外接球的球心到四个顶点的距离相等这一条
14、件来解题。三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.随着我国人民生活水平的提高,居民家庭教育投资观念不断加强,从整个社会到单个居民家庭都非常重视教育投入.为了了解单个居民家庭教育投入占家庭收入的百分比,现对某小区户人家进行了调查,得到的频率分布直方图如下:（1）求教育投入占家庭收入的百分比在的户数;（2）估计教育投入占家庭收入的百分比的平均数.【答案】（1）（户）（2）【解析】【分析】（1）根据概率之和为1，求解出的值，进而求解出教育投入占家庭收入的百分比在的户数；（2）使用组中值，借助进行求解。【详解】解:（1）,解得,故教育投入占家庭收入的百分比
15、在的户数有（户）.（2），所以估计教育投入占家庭收入的百分比的平均数为.【点睛】本题考查了频率分布直方图，认识频率分布直方图是解题的关键，求平均值有时也采用公式进行求解。18.已知数列的各项均为正数,且,正项等比数列的前项和为,且.（1）求数列的通项公式;（2）若为数列前项和,求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）对条件进行因式分解可得，由于是正项等比数列，解出基本量可以得出；（2）对数列的通项进行研究可得，可采用裂项求和法和公式法进行组合求解。【详解】解：由，得，因为数列的各项均为正数，且是正项等比数列，即为，解得，。，故。【点睛】等差等比数列的通项公式问题常见方法是基本量法，即求出
16、数列中的首项、公差（公比）；数列求和的方法有公式法、裂项相消法、错位相减法等等，解题时应灵活运用。19.四棱柱的底面是菱形,平面,点是侧棱上的点（1）证明:平面;（2）若是的中点,求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证平面，即证垂直于平面内两条相交直线，题中已知，故只要证垂直于平面内另一条与相交的直线即可，由题意可证出，从而得证本题；（2）要求四棱锥的体积，即求出点到平面的距离和四边形的面积，点到平面的距离即为菱形的高，四边形是长方形，利用勾股定理可得出的长，从而可得出体积。【详解】（1）证明:连接.由平面,得.又底面是菱形,所以.因为是平面内的相交直线,所以
17、平面。又平面,所以又,所以平面（2）解:连接.当是中点时,设,则.在中，,故，又,所以,即即。故侧面的面积为，点到平面的距离就是底面菱形的高,即，所以四棱锥的体积为。【点睛】证明线面垂直就是要证明线线垂直，线线垂直主要从勾股定理、线面垂直的定义等角度可以得到；几何体的体积问题首先要分析几何体的构造，必要时可以将几何体进行切割或补形，其次要准确分析出高与底，从而解决问题。20.已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为,设动点形成的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程;（2）过点的直线与曲线交于两点,过点作,垂足为，过点作,垂足为,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出点，根据圆
18、锥曲线的统一定义可得出曲线的方程；（2）要求的取值范围，通过统一定义可转化求的取值范围，根据图形又可以转化为求的取值范围，运用韦达定理进行减元，构造函数求出结果。【详解】解:（1）设,由题意,得，整理化简得，故曲线的方程为，（2）当直线斜率为时，当直线的斜率不为时，设直线的方程为由消去,化简整理得，显然，由韦达定理可得：设，即由消去，可得（）当时，（）当时，解得且，综合（）（）得：综上得：。【点睛】本题考查了圆锥曲线的统一定义、直线与圆锥曲线的问题，直线与圆锥曲线问题常见解法是借助韦达定理，将多元问题转化为少元（单元）问题，属于中档题。21.已知函数（是自然对数的底数）.证明:（1）存在唯一的
19、极值点;（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）要证明存在唯一的极值点，通常情况下，即证明有唯一解，且在此解左右两边的单调性不一致即可；（2）首先借助第（1）问的结论与零点存在定理证明在只有一个零点，在只有一个零点，然后令去证明，即可得到的两根互为相反数.【详解】证明:（1）的定义域为，当时,；当时,即在上是增函数，又，所以存在,使得并且当时,当时,，所以当时,是减函数，当时,是增函数，即是唯一的极值点,且是极小值点。（2）由（1）得： 在上是减函数，其中，又所以在只有一个零点，且这个零点在区间上，在上是增函数，又，所以在只有
20、一个零点，且这个零点在区间上，所以仅有两个零点,分别记作由于，所以，即，故.即也是零点,即所以,即的两根互为相反数.【点睛】本题考查了极值点、零点的存在问题，解题的关键是熟练运用零点存在定理，借助函数的单调性得出零点的唯一性。请考生从第22、23题中任选-题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,请用2B铅笔在答题卡.上将所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（1）在曲线上任取一点,连接,在射线上取一点，使,求点轨迹的极坐标方程；（2）在曲线上任取一点,在曲线上任取一点,求的最小值.【答案
21、】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出的极坐标方程，设出点的极坐标，通过构建出与的等量关系，从而得出点轨迹的极坐标方程；（2）先求出的普通方程，可以得到曲线是椭圆，然后转化为参数方程，的最小值即为椭圆上的点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离求解最值。【详解】解:（1）因为曲线的参数方程为（为参数）所以化为普通方程为，故的极坐标方程为，设，则，即， 点轨迹的极坐标方程为（2）因为曲线的极坐标方程为所以化为直角坐标方程为.故可化为参数方程为（为参数），的最小值为椭圆上的点到直线距离的最小值.设，则，。【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，极坐标方程与普通方程转化的公式为；在解决直线与椭圆的
22、问题时，有时利用椭圆的参数方程能优化运算过程，解题时应灵活运用。23.已知函数的最小值为（1）求不等式的解集;（2）若,求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的最小值为，利用绝对值不等式的性质求解出的值，对函数进行去绝对值，分段求解不等式；（2）将进行整理成，然后采用基本不等式，便可得到结果。【详解】解：（1），且，当时，令，得；当时，令，得，无解；当时，令，得。综上，不等式的解集为（2），当且仅当时等号成立的最大值为。【点睛】本题考查了分段函数、绝对值不等式、基本不等式等知识，分段函数的图像应分段逐步作出，作图时应注意端点的取舍，熟练运用绝对值不等式是解决本题的关键，利用基本不等式时，要注意等号成立的条件。