1、2.4 函数性质的综合应用题型一函数的单调性与奇偶性例1(1)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)lnxex.若af()，bf(log23)，cf(20.2)，则a，b，c的大小关系为()AbacBcbaCabcDacb答案C解析当x0时，f(x)lnxex为增函数，f(x)的图象关于y轴对称，且在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，af()f()，又3log23120.20，f()f(log23)f(20.2)，abc.(2)(2020新高考全国)若定义在R上的奇函数f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A1,13，)B3，1
2、0,1C1,01，)D1,01,3答案D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)0.又f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示(1)(2)当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x0.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的x的取值范围是1,01,3思维升华(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x)f(h(x)，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)(2)求比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变
3、量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小跟踪训练1(2022南京质检)已知函数f(x)xx3，x1，x2，x3R，且x1x20，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值()A一定大于零B一定小于零C等于零D正负都有可能答案B解析函数f(x)的定义域为R，又f(x)(x)(x)3xx3f(x)，所以函数f(x)是R上的奇函数，由单调性的运算性质可知，函数f(x)是R上的减函数，因为x1x20，x2x30，x3x10，即x1x2，x2x3，x3x1，所以f(x1)f(x2)，f(x2)f(x3)，f(x3)f(x1)，即f(x1)f(x2)，f(x2)f(x3)
4、，f(x3)f(x1)，所以f(x1)f(x2)0，f(x2)f(x3)0，f(x3)f(x1)0，三式相加可得f(x1)f(x2)f(x3)0.题型二函数的奇偶性与周期性例2(1)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在2,0上单调递减，下面关于f(x)的判断不正确的是()Af(0)是函数的最小值Bf(x)的图象关于点(1,0)对称Cf(x)在2,4上单调递增Df(x)的图象关于直线x2对称答案C解析A项，f(x2)f(x)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)在2,0上单调递减，在R上是偶函数，在0,2上单调递增，f(0)是函
5、数的最小值，正确；B项，由f(x2)f(x)0，f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，正确；C项，又f(x)在2,0上单调递减，在R上是偶函数，f(x)是周期为4的周期函数，f(x)在2,4上单调递减，错误；D项，f(x4)f(x)，f(x)的图象关于直线x2对称，正确(2)(2021全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1x)f(x)若f，则f等于()ABC.D.答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)又f(1x)f(x)，所以f(2x)f(1(1x)f(1x)f(1x)f(x)f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数fff.思维升华周期性与奇偶性
6、结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解跟踪训练2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则f(2023)等于()A20192B1C0D1答案D解析根据题意，函数f(x)满足f(x2)f(x)，则有f(x4)f(x2)f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2023)f(12024)f(1)，又函数yf(x)为奇函数，且x0,1时，f(x)x2，则f(1)f(1)1，故f(2023)1.题型三函数的奇偶性与对称性例3(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点
7、(1，0)成中心对称的是()Ay(x1)f(x1)By(x1)f(x1)Cyxf(x)1Dyxf(x)1答案B解析构造函数g(x)xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(x)xf(x)xf(x)g(x)，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)的图象的对称中心为原点函数y(x1)f(x1)的图象可在函数g(x)的图象上向左平移1个单位长度，故函数y(x1)f(x1)图象的对称中心为(1,0)(2)(2022高邮模拟)写出一个满足f(x)f(2x)的偶函数f(x)_.答案cosx(常数函数也可，答案不唯一)解析取f(x)cosx，证明过程如下：f(x)cosx的定义域为R，由f(x)cos(x)co
8、sxf(x)，故f(x)为偶函数，又f(2x)cos(2x)cos(2x)cosxf(x)思维升华由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等跟踪训练3定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(2,0)对称，且f(x)在0,2)上单调递增，则()Af(11)f(12)f(21)Bf(21)f(12)f(11)Cf(11)f(21)f(12)Df(21)f(11)f(12)答案A解析函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，f(x4)f(x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，f(x)f(x)，f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)f(1)，f(12)f(0)
9、，f(21)f(1)，f(x)为奇函数，且在0,2)上单调递增，则f(x)在(2,2)上单调递增，f(1)f(0)f(1)，即f(11)f(12)f(21)题型四函数的周期性与对称性例4(1)(2022重庆实验外国语学校月考)已知函数f(x)满足：f(x2)的图象关于直线x2对称，且f(x2)，当2x3时，f(x)log2，则f的值为()A2B3C4D6答案B解析因为f(x2)的图象关于直线x2对称，所以f(x)的图象关于直线x0对称，即函数f(x)为偶函数，因为f(x2)，所以函数f(x)是周期函数，且T4，所以fffffflog23.(2)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x3对
10、称，且f(x3)f(x3)，若当x0,3时，f(x)2x1，则下列结论正确的是_(填序号)f(x)为偶函数；f(x)在6，3上单调递减；f(x)关于直线x3对称；f(100)5.答案解析f(x)的图象关于直线x3对称，则f(x)f(x6)，又f(x3)f(x3)，则f(x)的周期T6，f(x)f(x6)f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当x0,3时，f(x)2x1单调递增，T6，故f(x)在6，3上也单调递增，故不正确；f(x)关于直线x3对称且T6，f(x)关于直线x3对称，故正确；f(100)f(1664)f(4)f(2)f(2)5，故正确思维升华函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函
11、数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题跟踪训练4已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x4)f(x)，若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，f(1)2，则f(2025)_.答案2解析由函数yf(x1)的图象关于直线x1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数又由f(x4)f(x)，得f(x44)f(x4)f(x)，f(x)是周期为8的偶函数f(2025)f(12538)f(1)f(1)2.课时精练1(2022荆门模拟)已知函数f(x)是定
12、义域为R的偶函数，且f(x)的周期为2，在1,0上单调递增，那么f(x)在1,3上()A单调递增B单调递减C先增后减D先减后增答案C解析函数f(x)的周期为2，且f(x)在1,0上单调递增且为偶函数，函数f(x)在0,1上单调递减，函数f(x)在1,3上先增后减2已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0,1上是单调递增的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是()Af(0)f(6.5)f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)答案A解析由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x
13、)的周期是2.函数f(x)为偶函数，f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)f(x)在区间0,1上是单调递增的，f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)f(1)3已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递减，若实数a满足f(log3a)f()2f(1)，则a的取值范围是()A(0,3 B.C.D1,3答案C解析函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递减，故f(x)在(，0上单调递增因为f(log3a)f()2f(1)，所以f(log3a)f(log3a)2f(log3a)2f(1)，即f(log3a)f(1)f(1)|log3a|1，所以1l
14、og3a1，解得a3.4(2022重庆西南大学附中月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(1x)f(1x)，当x1,1时，f(x)x33x，则f(2023)等于()A1B2C1D2答案D解析由题意知，函数f(x)满足f(1x)f(1x)，可得f(x)的图象关于直线x1对称，又由f(x)f(x)，可得f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数f(x)是周期为4的函数，所以f(2023)f(1)，因为当x1,1时，f(x)x33x，则f(2023)f(1)2.5(2022湖北鄂南联考)已知函数f(x)，且f(a)f(b)0，则()Aab0Cab10Dab20答案A解析函数f(
15、x)的定义域为R，f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，且f(x)1，显然函数f(x)为R上的增函数，由f(a)f(b)0可得f(a)f(b)f(b)，所以ab，即ab0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的值为()A8B8C0D4答案B解析因为f(x4)f(x)，所以f(x)f(x4)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)的周期为8，又因为f(x)是奇函数，在0,2上单调递增，作出函数的大致图象如图所示，由图象可知f(x)m(m0)在区间8,8上的四个不同的根x1，x2，x3，x4，两个关于直线x6对称，两个关于直线x2对称，所以x1x2x3x4
16、62228.7(2022沈阳质检)定义在R上的奇函数f(x)，对于xR，都有ff，且满足f(4)2，f(2)m，则实数m的取值范围是()A1m3Bm1Cm1或0m3D0m2，故f(2)m2，即0，解得m1或0m3.8(2022运城模拟)已知偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，下列说法不正确的是()A函数f(x)是以4为周期的周期函数B函数f(x)的图象关于x4对称C函数f(x2)为偶函数D函数f(x3)为偶函数答案D解析依题意知f(x)是偶函数，且f(x)f(2x)0，f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，所以周期为4，所以A，B正确f(x2)f(x24)f(x2)f(x2)f(x2)
17、，所以函数f(x2)为偶函数，C正确若f(x3)是偶函数，则f(x3)f(x3)f(x3)，则函数f(x)是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，所以f(x3)不是偶函数D错误9写出一个同时满足以下三个条件定义域不是R，值域是R；奇函数；周期函数的函数解析式_答案f(x)tanx，xk(kZ)(答案不唯一)解析满足题意的函数为f(x)tanx，xk(kZ)(答案不唯一)10(2022内江模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：图象关于原点对称；f(x)f；当x时，f(x)log2(x1)m.若f(2020)log23，则m_.答案1解析由可知函数f(x)为奇函数，又f(x)ff，故f(3x)f
18、f(x)，即函数f(x)的周期为3，f(2020)f(1)flog2mlog23，解得m1.11设f(x)是奇函数，且在(，0)上是减函数，f(1)0，则0的解集是_答案x|x1解析当x0时，0f(1)，因为f(x)在(，0)上是减函数，所以x0时，0得出f(x)1，即0的解集是x|x112设函数f(x)为定义在R上的函数，对xR都有：f(x)f(x)，f(x)f(2x)；且函数f(x)对x1，x20,1，x1x2，有0成立，设af，bf(log43)，cf，则a，b，c的大小关系为_答案ca0成立，函数f(x)为偶函数、周期为2，在0,1上单调递增，cff，afff，bf(log43)，其中log43，log43.由函数f(x)在0,1上单调递增，可知cab.