1、第四章三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形1.2021湖北省四地七校联考在一幢20 m高的楼顶测得对面一座塔吊顶的仰角为60,塔基的俯角为45,如图4-4-1,那么这座塔吊的高是()A.20(1+33) m B.20(1+3) mC.10(6+2) m D.20(6+2) m 图4-4-12.2021南京市学情调研在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2bcos C2a-c,则角B的取值范围是()A.(0,3B.(0,23C.3,)D.23,)3.2021贵阳市四校第二次联考已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsinA=2csin B,cosB=14,b
2、=3,则ABC的面积为()A.915B.91516C.31516D.9164.2020南昌三模在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若ca+b+ba+c=1,则下列说法不一定成立的是()A.ABC可能为正三角形B.角A,B,C成等差数列C.角B可能小于3D.B+C为定值5.2020大同市高三调研在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则sinBAC=.6.2021洛阳市统考在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c-ba=sin CtanA-cos C.(1)求A;(2)若b=32,c=2,点D为BC的中点,求a及AD.7.2020长春市质检ABC的内角A,
3、B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,ab.(1)求证:ABC是直角三角形.(2)若c=10,求ABC的周长的取值范围.8.2020惠州市模拟已知ABC的内角A,B,C满足sinA-sinB+sinCsinC=sinBsinA+sinB-sinC.(1)求角A;(2)若ABC的外接圆的半径为1,求ABC的面积S的最大值.9.2021江西重点中学第二次联考在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin BsinC=3sin A,ABC的面积为332,a+b=33,则c=()A.21B.3C.21或3D.21或310.2021晋南高中联考平面四边形ABCD为凸四边形,且A=60
4、,ADDC,AB=3,BD=2,则BC的取值范围为()A.72,2)B.(72,2)C.(2,7)D.72,7)11.2021福建五校第二次联考锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a=1, bcosA-cos B=1,若A,B变化时,sin B-2sin2A存在最大值,则正数的取值范围是()A.(0,33)B.(0,12)C.(33,22)D.(12,1)12.2020四川五校联考在ABC中,角A的平分线交BC于点D,BD=2CD=2,则ABC面积的最大值为()A.32B.22C.3D.413.2020陕西省百校联考在ABC中,D为AC的中点,若AB=463,BC=2,BD=5,
5、则cosABC=,sinC=.14.2020福建宁德模拟海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图4-4-2所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80 m,ADB=135,BDC=DCA=15,ACB=120,则图4-4-2中海洋蓝洞的口径为m.图4-4-215.2021陕西百校联考已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若A2,且csin 2A=4cos AsinC,求a的值;(2)若sin A,sinB,sinC成等差数列,求B的最大值.16.在ABC中,角A
6、与角B的内角平分线交于点i,且5+4cos(A+B)=4sin2C.(1)求角C的大小;(2)若ABC的外接圆半径为4,求ABi周长的最大值.17.在ABC中,AB=4,BC=3,则当函数f(B)=cos 2B-cos(B+3)-3sin(B+3)+5取得最小值时,AC=()A.13B.23C.4D.218.在ABC中,若sin(2-B)=cos 2A,则AC-BCAB的取值范围为()A.(-1,12)B.(13,12)C.(12,23)D.(13,23)19.2020洛阳市联考已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(sin B+sinC-sin A)=bsin
7、C.(1)求角A的大小;(2)设a=3,S为ABC的面积,求S+3cos BcosC的最大值.答 案第四讲正、余弦定理及解三角形1.B由题图知BE的长度即所求塔吊的高.易知四边形ABCD为正方形,CD=BC=AD=20 m.在RtDCE中,EDC=60,EC=CDtanEDC=203(m),这座塔吊的高BE=BC+CE=(20+203) =20(1+3)(m).故选B.2.A由2bcos C2a-c及余弦定理,得2ba2+b2-c22ab2a-c,整理,得a2+c2-b2ac1,即2cos B1,所以cos B12,所以B(0,3,故选A.3.B因为bsinA=2csin B,所以由正弦定理得
8、a=2c,因为cos B=14,b=3,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得9=4c2+c2-22cc14,解得c=32,所以a=3.因为B(0,),所以sin B=1-cos2B=154,所以ABC的面积SABC=12acsin B=12332154=91516,故选B.4.B由ca+b+ba+c=1,得c(a+c)+b(a+b)(a+b)(a+c)=1,即c2+b2+ac+ab=a2+bc+ab+ac,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12,由于0A,所以A=3,所以B+C=23为定值.当且仅当A=B=C=3时,ABC是正三角形,故A
9、BC可能为正三角形.若角A,B,C成等差数列,则 2B=A+C=3+C,又B+C=23,所以B=C=3,即当且仅当B=C=A=3时,角A,B,C成等差数列,故角A,B,C可能成等差数列,故B选项错误.因为B+C=23,所以角B可能小于3.故选B.5.31010解法一记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,作ADBC交BC于点D,则AD=13a,ABC的面积S=12a13a=12acsin B,可得a=322c.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b=102c.由正弦定理得322csinBAC=102csinB,所以sinBAC=31010.解法二作ADBC交BC于点D,则AD=13
10、BC,设BC=3,则AD=1.由B=4,可知BD=1,则DC=2,AC=5.由正弦定理得sinBACsin4=35,所以sinBAC=3522=31010.6.(1)由题意及正弦定理,原式可化为2sinC-sin B=sin A(sin CtanA-cos C),即2sin C-sin (A+C)=sin A(sin CtanA-cos C),所以2sin C-sin AcosC-cos AsinC=sin Csin2AcosA-sin AcosC,化简可得2sin C-cos AsinC=sin Csin2AcosA,因为sin C0,(此条件不能省略)所以sin2AcosA+cos A=2
11、,即sin2A+cos2A=2cos A,所以cos A=22,又0Ab,知AB,所以B+A+2=,即A+B=2,所以ABC是直角三角形.(2)ABC的周长L=10+10sin A+10cos A=10+102sin(A+4),由ab可知,4A2,因此22sin(A+4)1,即20L10+102.故ABC的周长的取值范围为(20,10+102).8.(1)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由正弦定理和已知条件,得a-b+cc=ba+b-c,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12,0A,A=3.(2)记ABC外接圆的半径为R,由正弦定理
12、得asinA=2R,得a=2Rsin A=2sin3=3,由余弦定理得a2=3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc3(当且仅当b=c时取等号),故S=12bcsin A12332=334(当且仅当b=c时取等号).即ABC的面积S的最大值为334.9.D因为sin BsinC=3sin A,sinB0,所以sin C=3sinAsinB=3ab,又ABC的面积为332,所以12absin C=32a2=332,解得a=3.又a+b=33,所以b=23,sin C=32,当0C,所以cos C=12或cos C=-12.当cos C=12时,c=a2+b2-2abcosC=3,当cos
13、C=-12时,c=a2+b2-2abcosC=21.故选D.10.D在ABD中,设AD=x,则由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcosA,即x2-3x-1=0,得AD=x=3+72.已知ADCD,A=60,延长AB,DC交于点E,所以在RtADE中,E=30,AE=2AD=3+7,因为AB=3,所以BE=7,所以当BCCD时,BC最短,此时,在RtBCE中,BC=12BE=72.在BDE中,BD=2,BE=7,所以BCBE=7,所以BC的取值范围是72,7).故选D.11.Aa=1,bcos A-acosB=a,由正弦定理得sin BcosA-sin AcosB=sin A,即si
14、n(B-A)=sin A,B-A=A或B-A=-A,B=2A或B=(舍).ABC为锐角三角形,0A2,0B=2A2,2A+B=3A,解得6A4.解法一sin B-2sin2A=sin 2A-(1-cos 2A)=sin 2A+cos 2A-=1+2sin(2A+)-(其中tan =).32A2,要使sin B-2sin2A取得最大值,只需存在,满足2A+=2,06,tan 0=tan tan 6,即033.故选A.解法二sin B-2sin2A=sin 2A-2sin2A,令f(A)=sin 2A-2sin2A(6A4),则f(A)=2cos 2A-2sin 2A=2cos 2A(1-tan
15、2A).当tan 2A0,f(A)单调递增,当tan 2A1时,f(A)0,ac0,所以cos B=38(ca+ac)-14382caac-14=12,当且仅当ca=ac,即a=c时,“=”成立.因为cos B1,所以cos B12,1),因为B(0,),(角B的范围要写上)所以B(0,3,所以B的最大值为3.16.(1)A+B+C=,A+B=-C,cos(A+B)=-cos C.5+4cos(A+B)=4sin2C,5-4cos C=4(1-cos2C),即4cos2C-4cos C+1=0,解得cos C=12,又0C,C=3.(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的
16、外接圆半径为4,由正弦定理得csinC=8.C=3,c=43,ABC+BAC=23,又角A与角B的内角平分线交于点i,ABi+BAi=3,AiB=23.设ABi=,则03,BAi=3-.在ABi中,由正弦定理BIsin(3-)=AIsin=ABsinAIB=8,得Bi=8sin(3-),Ai=8sin ,ABi的周长为43+8sin(3-)+8sin =8sin(+3)+43.03,3+323,当+3=2,即=6时,ABi的周长取得最大值,为8+43,ABi周长的最大值为8+43.17.A由题意知函数f(B)=2cos2B-1-2cos(B+3-3)+5=2cos2B-2cos B+4=2(c
17、os B-12)2+72,所以当cos B=12时,函数f(B)取得最小值,此时,由余弦定理,得AC=AB2+BC2-2ABBCcosB=42+32-24312=13.18.B因为sin(2-B)=cos 2A,所以cos B=cos 2A,又A,B,C为ABC的内角,所以B=2A,A3.由正弦定理得AC-BCAB=sinB-sinAsinC=sinB-sinAsin(A+B)=sin2A-sinAsinAcos2A+cosAsin2A=2sinAcosA-sinAsinA(2cos2A-1)+2sinAcos2A=2cosA-14cos2A-1=12cosA+1,由0B,0C,得02A,0-
18、3A,得0A3,故12cos A1,所以AC-BCAB的取值范围为(13,12),故选B.19.(1)(a+b+c)(sin B+sinC-sin A)=bsinC,由正弦定理,得(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=-12.又A(0,),A=23.(2)根据a=3,A=23及正弦定理可得bsinB=csinC=asinA=332=2,b=2sin B,c=2sin C,S=12bcsin A=122sin B2sin C32=3sin BsinC,S+3cos BcosC=3sin BsinC+3cos BcosC=3cos(B-C).故当B=C,B+C=3,即B=C=6时,S+3cos BcosC取得最大值3.