1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 必修1 函 数 第二章 2.1 函 数第二章 2.1.4 函数的奇偶性第2课时 函数的奇偶性的应用课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课后强化作业 5课前自主预习 1思想方法技巧 4课前自主预习如果函数的图象关于y轴对称，那么对任意的自变量x，函数值f(x)与f(x)有什么关系呢？1判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)_法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断 f(x)是否等于f(x)，或判断 f(x)f(x)是否等于零，或判断 fxfx(f(x)0
2、)是否等于1，等等定义(2)_法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称(3)_法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用上述结论要注意各函数的定义域)图象 性质2F1(x)f(x)f(x)为偶函数，F2(x)f(x)f(x)为奇函数(注：F1(x)、F2(x)的定义域是关于原点对称的区间)3 奇 函 数 在 关 于 原 点 对 称 的 两 个 区 间 上 单 调 性 相_；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相_同 反1已知函数f(x)a
3、x2bxc(a0)是偶函数，则函数g(x)ax3bx2cx是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数答案 A解析 函数f(x)是偶函数，b0，g(x)ax3cx，g(x)ax3cxg(x)，函数g(x)是奇函数导学号622404452(20142015 学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数 f(x)在区间(，0上单调递减，则满足 f(2x1)f(13)的 x 的取值范围是()A13，23B13，23C12，23D12，23答案 C解析 由题意得|2x1|13，132x113，13x23，故选 C导学号622404463(20142015 学年度广东肇庆市高一上学期期
4、中测试)设函数 f(x)(xR)为奇函数，f(1)12，f(x2)f(x)f(2)，则 f(5)等于()A0 B1 C52 D5答案 C导学号62240447解析 令 x1，得 f(1)f(1)f(2)f(1)f(2)故1212f(2)，则 f(2)1.令 x1，得 f(3)f(1)f(2)12132.令 x3，得 f(5)f(3)f(2)32152.4已知函数f(x)ax2(b3)x3，xa22，a是偶函数，则ab_.答案 4解析 由题意，得a22aa22a，解得 a1.f(x)x2(b3)x3.又函数 f(x)为偶函数，b30，b3.ab4.导学号622404485已知函数 f(x)ax2
5、x，且 f(2)5.(1)判断函数 f(x)的奇偶性；(2)求证：函数 f(x)在(0，)上是减函数解析(1)函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)关于原点对称f(x)ax2x(ax2x)f(x)，函数 f(x)为奇函数导学号62240449(2)f(2)5，2a15，a3，f(x)3x2x.设任意 x1、x2(0，)，且 x10，x20，x10，x1x20，(x2x1)(3 2x1x2)0，函数 f(x)在(0，)上是减函数课堂典例讲练设a为实数，讨论函数f(x)x2|xa|1的奇偶性解析 当a0时，f(x)x2|x|1，f(x)(x)2|x|1x2|x|1f(x)，当a0时，函数f(x)
6、为偶函数当a0时，f(1)2|1a|，f(1)2|1a|，含有参数的函数的奇偶性的判断导学号62240450假设f(1)f(1)，则|1a|1a|，(1a)2(1a)2，a0，这与a0矛盾，假设f(1)f(1)，则2|1a|2|1a|这显然不可能成立(2|1a|0，2|1a|0)，f(1)f(1)，f(1)f(1)，当a0时，函数f(x)是非奇非偶函数(20142015 学年度河南省实验中学高一月考)已知函数 f(x)x2ax，常数 aR，讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由解析 当a0时，f(x)是偶函数；当a0时，f(x)是非奇非偶函数函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，定义域关于原
7、点对称当a0时，f(x)(x)2x2f(x)，函数f(x)为偶函数导学号62240451当a0时，f(1)1a，f(1)1a，f(1)f(1)，f(x)不是偶函数f(1)f(1)20，f(1)f(1)，f(x)不是奇函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数利用奇偶性确定函数中字母的值已知函数 f(x)ax223xb 是奇函数，且 f(2)53.(1)求实数 a、b 的值；(2)判断函数 f(x)在区间(，1上的单调性，并用定义加以证明导学号62240452解析(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)0，ax223xbax223xb，3xb3xb，b0.又 f(2)53，4a2653，a2.(2
8、)由(1)知 f(x)2x223x2x3 23x，f(x)在(，1上为增函数证明：设 x1x21，则f(x1)f(x2)2x13 23x12x23 23x223(x1x2)(1 1x1x2)23(x1x2)x1x21x1x2，x1x21，x1x21，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，故函数 f(x)在(，1上为增函数(20142015 学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数 f(x)xb1x2为奇函数(1)求 b 的值；(2)证明：函数 f(x)在区间1，)上是减函数解析(1)函数 f(x)的定义域为 R 且 f(x)为奇函数，f(0)0，b0.(2)由(1)知，f(
9、x)x1x2.设任意实数 x11，x21，且 x1x2，导学号62240453f(x2)f(x1)x21x22 x11x21x2x2x21x1x1x221x221x21x2x11x1x21x221x21，1x10,1x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)故函数 f(x)在区间1，)上是减函数已知函数f(x)是定义在(2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m1)f(12m)0，求实数m的取值范围分析 利用函数的单调性、奇偶性，化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”利用奇偶性解不等式导学号62240454解析 由题意知2m12212m2，得12m32.由函数 f(x)是定义在(2
10、,2)上的奇函数及 f(m1)f(12m)0，得 f(m1)f(2m1)函数 f(x)在(2,2)上是减函数，m12m1，得 m0.实数 m 的取值范围是0，32)定义在2,2上的偶函数f(x)，当x0时单调递减，设f(1m)f(m)，求m的取值范围解析 f(x)是定义在2,2上的偶函数，又 f(1m)f(m)，f(|1m|)|m|，两边平方得，(m1)2m2.m12.导学号62240455又 f(x)的定义域为2,2，21m22m2，解得1m2.1m12.即所求 m 的取值范围为1，12.已知函数f(x)与g(x)满足f(x)2g(x)1，且g(x)为R上的奇函数，f(1)8，求f(1)分析
11、 由于f(1)2g(1)1，故欲求f(1)，只需求g(1)而由f(1)2g(1)18，易求g(1)由g(x)为奇函数，可得g(1)g(1)，进而求g(1),f(1)利用奇偶性求函数值导学号62240456解析 f(1)2g(1)18，g(1)72.又g(x)为奇函数，g(1)g(1)g(1)g(1)72.f(1)2g(1)12(72)16.已知f(x)为奇函数，在区间3,6上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为1，则2f(6)f(3)()A15 B13 C5 D5答案 A解析 本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值因为函数在3,6上是增函数，所以f(6)8，f(3)1，又函数f(x)
12、为奇函数，所以2f(6)f(3)2f(6)f(3)28115，故选A导学号62240457易错疑难辨析已知f(x)在R上是偶函数，在(，0)上递增，且有f(2a2a1)f(3a22a1)，求实数a的取值范围错解 f(2a2a1)f(3a22a1)，2a2a13a22a1，即5a2a20，0，3a22a13a132230，又f(2a2a1)3a22a1，即 a23a0，解得 0a3.a 的取值范围是a|0a3思想方法技巧数形结合思想如图，给出了偶函数yf(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小导学号62240459解析 函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，如图由图象可知f(1)f(3)课后强化作业（点此链接）