1、二、填空题的解法与技巧 题型精点解读填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了填空题不同于选择题，由于没有非正确的选项干扰，因而不必担心“上当受骗”而误入歧途但填空题最容易犯的错误，要么答案不当，要
2、么答案不全方法应用示例 方法一 直解法直解法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法例 1 在等差数列an中，a13,11a55a813，则数列an的前 n 项和 Sn的最小值为_解析 设公差为 d，则 11(34d)5(37d)13，d59.数列an为递增数列令 an0，3(n1)590，n325，nN*.前 6 项均为负值Sn的最小值为 S6293.答案 293归纳拓展 本题运用直解法，直解利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利
3、用等差数列的求和公式求得最小值变式训练 1 若函数 f(x)mloga(x3)的图象恒过点(4,4)，则g(x)mx2m2x4的最大值是_解析 由已知可得 f(4)4，故 mloga14，解得 m4.故 g(x)4x242x4164x42x4 164x44x，因为 4x0，所以 4x44x24x44x4(当且仅当 4x44x，即 xlog4212时等号成立)，所以 g(x)164 4，即 g(x)的最大值为 4.故填 4.4 方法二 特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或
4、特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论这样可大大地简化推理、论证的过程解析 若用常规方法，运算量很大，不妨设 PQx 轴，则 pq 12a，1p1q4a.例 2 过抛物线 yax2(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P，Q两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p，q，则1p1q为_4a变式训练 2 在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，如果 a、b、c 成等差数列，则 cos Acos C1cos Acos C_.解析 方法一 取特殊值 a3，b4，c5，则 cos A45，cos C0，cos Acos
5、 C1cos Acos C45.方法二 取特殊角 ABC60，cos Acos C12，cos Acos C1cos Acos C45.45方法三 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果例 3 当 0 x1 时，不等式 sinx2 kx 成立，则实数 k 的取值范围是_解题导引 此题显然无法直接求解而得，不妨设 y1sinx2，y2kx.借助函数图象可求得 k 的取值范围解析 0 x1，0 x2 2.则函数 y1sinx2(0 x1)的图象如图所示要使不等式 sin
6、x2 kx 在0,1上恒成立，则 k1.答案 k1归纳拓展 图象分析法的实质就是数形结合思想在解题中的应用，利用图形的直观性结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点，应用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解结果变式训练 3 已知函数 f(x)log2x(x0)，3x(x0)且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a 的范围是_解析 方程 f(x)xa0 的实根也就是函数 yf(x)与 yax 的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当 a1 时，两个函数图象有两个交点，当 a1 时，
7、两个函数图象的交点只有一个所以实数 a 的范围是(1，)故填(1，)(1，)方法四 构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷地解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似的问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何体等具体的数学模型，使问题快速解决例 4 已知 a、b 为不垂直的异面直线，是一个平面，则 a、b在 上的射影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面的结论中，正确结论的序号是_(写出所
8、有正确序号)解析 用正方体 ABCDA1B1C1D1 实例说明A1D1 与 BC1 在平面 ABCD 上的射影互相平行，AB1 与 BC1 在平面 ABCD 上的射影互相垂直，BC1 与 DD1 在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点变式训练 4 如图，点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外，且 PD面 ABCD，PDAD，则 PA 与 BD 所成角的度数为_分析 本题采用作平行线法求解比较麻烦，若采用补形法将图形补成一个正方体则较易求得解析 根据题意可将此图补成一正方体，在正方体中易求得 PA与 BD 所成角为 60.60方法五 特征分析法有些问题看似非常复杂，一旦挖掘出其隐含的数
9、量或位置等特征，此问题就能迎刃而解例 5 已知函数 f(x)x21x2，那么 f(1)f(2)f(12)f(3)f(13)f(4)f(14)_.分析 根据函数解析式有 f(x)f(1x)1.解析 本题所求的七个函数值最明显的特征是有3组自变量互为倒数，由此不难得出本题应该研究 f(x)f(1x)的特征，代入解析式得 f(x)f(1x)1，故原式3f(1)72.72变式训练 5 已知数列an中，a11，a22，anan1an2(nN*，n3)，则 a2 010_.分析 由递推公式知数列an既不是等差数列，也不是等比数列，列举出前 n 项可发现数列an为周期数列解析 由 a11，a22，anan1an2，知 a31，a41，a52，a61，a71，a82，an是周期函数，且 T6.故 a2 010a3356a61.1 返回
