1、第三章导数及其应用第四讲定积分与微积分基本定理练好题考点自测1.下列结论正确的个数为 ()(1)若函数y=f(x)在区间a,b上连续,则abf(x)dx=abf(t)dt.(2)若函数y=f(x)在区间a,b上连续且函数值恒为正数,则abf(x)dx0.(3)若abf(x)dx0,则由曲线y=f(x),直线x=a,直线x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(4)曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积是01(x2-x)dx.(5)若f(x)是偶函数,则-aaf(x)dx=20af(x)dx.(6)若f(x)是奇函数,则-aaf(x)dx=0.A.3B.4C.5D.62.湖北高考,5分理若函
2、数f(x),g(x)满足-11f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数.给出三组函数:f(x)=sin 12x,g(x)=cos 12x;f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间-1,1上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.33.湖南高考,5分理02(x-1)dx=.4.若-11(ax2+sin x)dx=1,则实数a的值为.5.一物体作变速直线运动,其v-t曲线如图3-4-1所示,则该物体在12 s6 s间的运动路程为m.拓展变式1.(1)设f(x)=x2,x0,1,1x,x(1,e(e为自然对数的底数),则e
3、0f(x)dx的值为.(2)e11xdx+-224-x2dx=.2.(1)曲线y=14x2和其在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为.(2)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为J(x的单位:m;力的单位:N).答 案第四讲定积分与微积分基本定理1.B对于(1),因为定积分的值仅仅取决于被积函数与积分的上限、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,故(1)正确;对于(2),由定积分的几何意义可知(2)正确;对于(3),因为a,b的大小不确定,故(3)错误;对于(4),曲线y=x
4、2与直线y=x所围成图形的面积是01(x-x2)dx,故(4)错误;对于(5),由偶函数的定义可知,-aaf(x)dx=20af(x)dx,故(5)正确;对于(6),由奇函数的定义可知(6)正确.综上,正确的个数为4,选B.2.C对于,-11sin 12xcos 12xdx=-1112sin xdx=0,所以是一组正交函数;对于,-11(x+1)(x-1)dx=-11(x2-1)dx0,所以不是一组正交函数;对于,-11xx2dx=-11x3dx=0,所以是一组正交函数.选C.3.002(x-1)dx=(12x2-x)02=124-2=0.4.32因为(13ax3-cos x)=ax2+sin
5、 x,所以-11(ax2+sin x)dx=(13ax3-cosx)-11=1,即(13a-cos 1)-(-13a-cos 1)=1,解得a=32.5.494由题图可知,v(t)=2t,0t1,2,1t3,13t+1,3t6.由变速直线运动的路程公式,可得s=126v(t)dt=1212tdt+132dt+36(13t+1)dt=t2121+2t13+(16t2+t)36=494(m).所以物体在12 s6 s间的运动路程是494 m.1.(1)43因为f(x)=x2,x0,1,1x,x(1,e,(13x3)=x2,(ln x)=1x,所以e0f(x)dx=01x2dx+e11xdx=13x
6、301+ln xe1=13+1=43.(2)2+1易知e11xdx=ln xe1=1-0=1,因为-224-x2dx表示的是圆x2+y2=4面积的一半,故-224-x2dx=1222=2.故原式=2+1.2.(1)16设曲线y=14x2在点(2,1)处的切线为l,因为y=12x,所以直线l的斜率k=yx=2=1,所以直线l的方程为y-1=x-2,即y=x-1.当y=0时,x-1=0,即x=1,曲线y=14x2、直线l与x轴所围成的封闭图形如图D 3-4-1中阴影部分所示,所以所求面积S=0214x2dx-1211=112x302-12=16.(2)342变力F(x)使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功W=110F(x)dx=110(x2+1)dx=(13x3+x)110=342(J).