1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 必修1 函 数 第二章 2.1 函 数第二章 2.1.4 函数的奇偶性第1课时 函数的奇偶性的定义课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课后强化作业 5课前自主预习 1思想方法技巧 4课前自主预习大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？1设函数yf(x)的定义域为D，如果对
2、于D内的任意一个x，都 有 xD，且 f(x)f(x)，则 这 个 函 数 叫 做_2设函数yg(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做_3 当 函 数 f(x)是 奇 函 数 或 偶 函 数 时，称 函 数 具 有_4奇函数的图象关于_对称；偶函数的图象关于_对称奇函数 偶函数 奇偶性 原点 y轴1(20142015 学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是()Ayx1 Byx2Cy1xDyx|x|答案 D解析 函数 yx1 是非奇非偶函数，函数 yx2 是偶函数，函数 y1x不是增函数，故选 D导学号6
3、22404112对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有()Af(x)f(x)0Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0Df(x)f(x)0答案 C解析 f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)20.导学号622404123(20142015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x1，则当x0时，f(x)的表达式为()Af(x)x1Bf(x)x1Cf(x)x1Df(x)x1答案 D解析 设x0，f(x)(x)1x1，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)x1，x0时，f(x)x1.导学号622404134已知
4、函数 f(x)ax12x1的图象关于原点对称，则实数 a_.答案 2解析 由题意可知，函数 f(x)是奇函数，又 f(x)ax12x1在 x0 处有意义，f(0)0，a21 0，a2.导学号622404145已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(x)在R上的解析式为_答案 f(x)x22xx0 x22xx0解析 当 x0，f(x)x22x.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)x22x.f(x)x22xx0 x22xx0.导学号622404156判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x42x21；(2)f(x)x32x，x1,1)；(3)f(x)x21 1x2.导学号
5、62240416解析(1)f(x)(x)42(x)21x42x21f(x)，f(x)为偶函数(2)x1,1)，定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数(3)由x2101x20，得 x1.f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，函数 f(x)x21 1x2既是奇函数又是偶函数课堂典例讲练判断下列函数是否具有奇偶性：函数奇偶性的判断(1)f(x)2x43x2；(2)f(x)1xx；(3)f(x)4x2|x2|；(4)f(x)1x2|x2|2.导学号62240417分析 判断函数的奇偶性要先求定义域，再寻找f(x)与f(x)的关系解析(1)函数f(x)的定义域为R，又f(x)2(x)43(x)22
6、x43x2f(x)，函数f(x)2x43x2是偶函数(2)函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，又f(x)1xx(1xx)f(x)，函数 f(x)1xx 是奇函数(3)由4x20 x2，得2x0 x21x0，则x0.f(x)(x)21x21(x21)f(x)又任取 x0.f(x)(x)21x21(x21)f(x)对 x(，0)(0，)都有 f(x)f(x)成立函数 f(x)为奇函数解法二：f(x)x21，x0，x21，x，0，即 f(x)|x|(x1x)(x0)，则 f(x)|x|(x1x)|x|(x1x)f(x)f(x)为奇函数点评 1.判断分段函数的奇偶性，必须分段考虑2若分段函数是奇
7、函数或偶函数，常用含绝对值符号的函数表达式来表示判断函数 f(x)x22 x00 x0 x22 x0时，x0，f(x)(x)22x22(x22)f(x)，当x0，f(x)(x)22x22(x22)f(x)当x0时，f(0)0，即x0时，f(x)f(x)综上所述，xR，有f(x)f(x)，故该函数为奇函数.导学号62240420若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求：当x0时，函数f(x)的解析式分析 解决本题的关键是利用x0时，f(x)的解析式的求解，转化到x0时，x0，当x0时，f(x)2x1，则函数f(x)的解析式为_答案 f(x)2x1 x00 x02x1 x0
8、导学号62240422解析 令 x0，f(x)2x1，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)又f(x)是 R 上的奇函数，f(0)0.f(x)2x1 x00 x02x1 x0已知函数yf(x)(xR)，若对于任意实数a、b都有f(ab)f(a)f(b)，求证：f(x)为奇函数分析 因为对于任意实数a、b都有f(ab)f(a)f(b)，可以先令a、b为某些特殊值，从而得出f(x)f(x)证明 令a0，则f(b)f(0)f(b)，f(0)0，再令ax，bx，则f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，且定义域xR关于原点对称，f(x)是奇函数抽象函数奇偶性的证明导学号62240423已知函数yf(
9、x)(xR)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数证明 令x10，x2x，得f(x)f(x)2f(0)f(x)，令x1x，x20，得f(x)f(x)2f(0)f(x)，由得，f(x)f(x)，且定义域xR关于原点对称，函数f(x)为偶函数导学号62240424易错疑难辨析判断函数 f(x)2x22xx1 的奇偶性错解 由题意，得 f(x)2x22xx1 2x，f(x)2xf(x)，函数 f(x)2x22xx1 为奇函数导学号62240425辨析 误解中没有讨论函数的定义域，认为 f(x)2x22xx1为奇函数正解 函数f(x)
10、的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)既不是奇函数也不是偶函数思想方法技巧1判断函数奇偶性的方法(1)定义法首先判断函数的定义域是否关于坐标原点对称，若关于坐标原点不对称，则可以直接判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若关于坐标原点对称，再判断f(x)是否等于f(x)或判断f(x)f(x)是否等于零(2)图象法f(x)是奇(偶)函数的充要条件是f(x)的图象关于坐标原点(y轴)对称(3)性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(4)抽象函数奇偶性的判断明确目标
11、：判断f(x)与f(x)的关系；用赋值法在已知抽象关系中凑出f(x)与f(x)；用赋值法求特殊函数值(5)复合函数奇偶性的判断对于复合函数 F(x)fg(x)，若 g(x)为偶函数，则 F(x)为偶函数；若 g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则 F(x)为奇函数；若 g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则 F(x)为偶函数(6)分段函数奇偶性的判断判断分段函数 f(x)f1x，xI1f2x，xI2 的奇偶性的步骤：)求 f(x)的定义域 I1I2，判断定义域是否关于原点对称；)当xI1 时，求 f(x)，判断 f(x)与 f(x)的关系；)当xI2 时，求 f(x)，判断 f(x)与 f(x
12、)的关系；)结论注意事项：)根据x所属区间进行分类讨论，但书写时一般先写相应x的所属区间)f(x)与f(x)需用不同分段上的解析式，因为x与x所属区间不同)定义域内的x值应讨论全面，不能遗漏2巧用奇、偶函数的图象特征由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在(，0(或0，)上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形奇函数f(x)的定义域是2,2且其图象的一部分如图所示，则不等式f(x)0的解集是_导学号62240426解析 由于f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示，从图上可以看出f(x)0的解集是(1,0)(1,2)答案(1,0)(1,2)课后强化作业（点此链接）