1、北京市朝阳区2005年高三第三次统一考试数学试卷（理科）（考试时间120分钟，满分150分）第I卷（选择题共40分） 参考公式： 棱锥的体积公式 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高。 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合，则（ ）A. B. C. D. （2）已知a，b是两条直线，是两个平面，有下列4个命题： 若则 若则 若，则 若a，b是异面直线，则 其中正确命题有（ ） A. B. C. D. （3）已知两点，则直线PQ与y轴的
2、交点分所成的比为（ ） A. B. C. 2D. 3 （4）下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ） （5）已知二项式的展开式中含的项是第8项，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第15、16两项B. 第14、15两项 C. 第15项D. 第16项 （6）若直线始终平分圆的周长，则的最小值是（ ） A. B. 2C. 4D. （7）设为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积是（ ） A. B. C. D. （8）已知，且函数在1，e上存在反函数，则（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共
3、30分。将答案填在题中横线上。 （9）的大小关系是_ （10）正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_。 （11）为等差数列，则_（12）棱长为4的正方体中，P、Q是上两动点，且，则三棱锥的体积为_。 （13）如果把圆C：沿向量平移后得到圆，且与直线相切，则m的值为_。 （14）若函数f(x)满足：对于任意，都有，且成立，则称函数具有性质M。给出下列四个函数：，。其中具有性质M的函数是_。 （注：把满足题意的所有函数的序号都填上）三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本小题满分12分） 已知向量，若，且 （I）试求出和
4、的值； （II）求的值。 （16）（本小题满分14分） 某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过。 （I）求第一天通过检查的概率； （II）求前两天全部通过检查的概率； （III）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求该车间在这两天内得分的数学期望。 （17）（本小题满分14分） 如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E。
5、（I）求证：； （II）求二面角的大小； （III）求证：平面平面PAB。 （18）（本小题满分14分） 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区。已知，且，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段。如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2） （19）（本小题满分13分） 已知数列的前n项和满足，又 （I）求k的值； （II）求 （III）是否存在正整数m，n，使成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，请说明理由。 （20）
6、（本小题满分13分）在直角坐标系XOY中，已知点A（1，0），C（0，1），动点M满足，其中m是参数（） （I）求动点M的轨迹方程，并根据m的取值讨论方程所表示的曲线类型； （II）当动点M的轨迹表示椭圆或双曲线，且曲线与直线交于不同的两点时，求该曲线的离心率的取值范围。参考答案及评分标准一. 选择题： 1. C2. B3. C4. B5. A6. C7. B8. C二. 填空题： （9）（10） （11）99（12）（13） （14） 三. 解答题： （15）解：（I）4分 即6分 8分 （II）10分 又11分 12分 （16）解：（I）随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品
7、第一天通过检查的概率为5分 （II）同（I），第二天通过检查的概率为7分 因第一天，第二天是否通过检查相互独立 所以，两天全部通过检查的概率为：10分 （II）记得分为，则的值分别为0，1，2 11分 12分 13分 因此，14分 （17）方法一： （I）证明： 又平面平面ABCD 平面平面ABCDBC，平面ABCD2分 在梯形ABCD中，可得 ，即 在平面ABCD内的射影为AO，4分 （II）解：由（I）知，又平面ABCD ，平面PAO6分 设M为PA中点，连结ME， ，是二面角BPAO的平面角8分 在中容易求出，由相似比易求出 即二面角的大小是9分 （III）证明：取PB的中点N，连结CN
8、 ，且平面平面ABCD 平面PBC10分 平面PAB 平面平面PAB 由、知平面PAB11分 连结DM、MN，则由MN/AB/CD ，得四边形MNCD为平行四边形 12分 平面PAB13分 平面PAD 平面平面PAB14分 方法二： 取BC的中点O，是等边三角形， 由侧面底面ABCD 得底面ABCD1分 以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz2分 （I）证明：，则在直角梯形中， 在等边三角形PBC中，3分 4分 PA与BD相互垂直。证明如下： ，即6分 （II）解： 即 又，且，平面PAO 设PB中点为N，容易求出， 平面P
9、AB，所夹角等于所求二面角的平面角8分 二面角BPAO的大小为10分 （III）证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为 又12分 即 平面PAB，平面平面PAB14分 （18）解：以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系如图，依题意可设抛物线方程为，且C（4，2） 故曲线段OC的方程为3分 设是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，5分 工业区面积6分 ，令得 8分 当时，S是y的增函数 当时，S是y的减函数10分 时，S取到极大值，此时 ，故12分 时，13分 所以，把工业园区规划成长为，宽为的矩形时， 工业园区的面积最大，最大面积约为14分 （19）解：（I） 又2分 （I
10、I）由（I）知 当时， 得4分 又，且， 于是是等比数列，公比为6分 所以8分 （III）由（II）知不等式 整理得10分 假设存在正整数m，n，使成立，由于为偶数，为整数 所以只能有12分 因此存在正整数；或，使成立13分 （20）解：（I）设动点M的坐标为（x，y） 由题意得 2分 动点M的轨迹方程为4分 当时，即，动点M的轨迹是一条直线； 当时，方程可以化为： 此时，当时，动点M的轨迹是一个圆； 当，或时，动点M的轨迹是一个椭圆 当时，动点M的轨迹是一条双曲线6分 （II）当且时，由得 7分 与该圆锥曲线交于不同的两个点 即 且或8分 （1）且时，圆锥曲线表示双曲线 其中， 且10分 （2）当时，该圆锥曲线表示椭圆： 其中 12分 综上：该圆锥曲线的离心率e的取值范围是13分