1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 必修1 函 数 第二章 2.1 函 数第二章 2.1.3 函数的单调性第2课时 函数的单调性的应用课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课后强化作业 5课前自主预习 1思想方法技巧 4课前自主预习函数概念作为对客观现实世界中动态变化过程的一种反映和模拟，其单调性揭示的是一种变化趋势函数图象的上升和下降也许表示的是股市的震荡起伏，也许代表全球气候变化的冷暖趋势，函数的单调性是一个变化过程中最为基本和最为关注的问题之一那么图象上形象直观的升降起伏如何在准确严格的解析式中反映出来？1基本初等函数的单调性(1)一次函数yaxb(a0)当a0时，函数在(，
2、)上是_函数；当a0 时，函数在(，0)和(0，)上均为_函数；当 k0 时，函数 yax2bxc 在，b2a 上是_函数，在 b2a，上是_函数；当 a f(a)f(b)f(b)f(a)1函数f(x)在(，)上是减函数，且a为实数，则有()Af(a)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a21)f(a)Df(a2a)0，a21a，f(a21)f(a)导学号622403802函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，在区间(，2上是减函数，则f(1)等于()A7 B1 C17 D25答案 D解析 由题意知m82，m16.f(x)4x216x5，f(1)25.导学号622403813下列说法
3、正确的是()Ay1x在定义域内为减函数By(x2)2 在(5，)上是增函数Cy1x在(，0)上为增函数Dykx 不是增函数就是减函数答案 C导学号62240382解析 函数 y1x在(，0)和(0，)上均是减函数，但在其定义域内不是减函数，故 A 错；函数 y(x2)2 在(5，2内是减函数，在2，)内为增函数，故 B 错；当 k0时，ykx0 既不是增函数，也不是减函数，故 D 错；所以选C4已知一次函数y(k1)x3为减函数，则自然数k的取值集合为_答案 0解析 一次函数y(k1)x3为减函数，k10，k1，又kN，k0.导学号622403835已知函数yf(x)的图象如图所示，则该函数在
4、区间_上是增函数，在区间_上是减函数答案 1,0和 1,3)(3，1和(0,1解析 由图象可知函数yf(x)在区间1,0和1,3)上是增函数，在区间(3，1和(0,1上是减函数导学号62240384课堂典例讲练求函数的单调区间求函数 yx1x，x(0，)的单调区间，并画出函数的大致图象分析 在定义域内任取两个值x1、x2，且x10，哪些区间内f(x2)f(x1)0，然后结合所求函数的单调区间大致画出图象导学号62240385解析 设 x1、x2 是任意两个不相等的正数，且 x10，yf(x2)f(x1)(x2 1x2)(x1 1x1)(x2x1)x1x2x1x2(x2x1)x1x21x1x2.
5、由于 0 x10，x1x20，当 x1、x2(0,1时，有 x1x210，此时 y0，此时 y0，即函数 yx1x，x(0，)的单调减区间(0,1，单调增区间是(1，)函数的大致图象如图所示求函数 f(x)11x的单调区间解析 设 x1、x2 是任意两个实数，且 x10，yf(x2)f(x1)11x211x1x2x11x21x1.导学号62240386x2x1x0，当 1x1x2 时，1x10,1x20，y0，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(1，)上是增函数当 x1x20,1x20，(1x2)(1x1)0，y0，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(，1)上是增函数综上可知，函数 f(x
6、)11x的单调递增区间为(，1)和(1，)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(a21)，求a的取值范围分析 由于函数yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)a21，解此关于a的不等式组，即可求出a的取值范围利用单调性解不等式导学号62240387解析 由题意可得11a1，1a21a21，由得 0a2，由得 0a22，0|a|2，2a 2，且 a0.由得 a2a20，即(a1)(a2)0a20 或a10，2a1.综上可知 0a1，a 的取值范围是 0a1.已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围解析 f(x)是定义在1,1上
7、的增函数，且 f(x2)f(1x)，1x2111x1x21x，解得 1x32.x 的取值范围为x|1x32.导学号62240388利用单调性求最值求 f(x)x x1的最小值分析 求函数 f(x)x x1的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值解析 f(x)x x1的定义域为1，)，任取 x1、x21，)，且 x10，导学号62240389则 yf(x2)f(x1)(x2 x21)(x1 x11)(x2x1)(x21 x11)(x2x1)x2x1x21 x11(x2x1)11x11 x21.xx2x10,11x11 x210，f(x2)f(x1)0.f(x
8、)在1，)上为增函数，f(x)minf(1)1.(20142015 学年度山东济宁市兖州区高一上学期期中测试)已知 f(x)1x1，x2,6，(1)证明：f(x)是定义域上的减函数；(2)求函数 f(x)的最大值和最小值解析(1)设任意实数 x12,6，x22,6，且 x10.yf(x2)f(x1)1x211x11 导学号62240390 x11x21x21x11x1x2x21x11，x1x2x0，x110，x1x2x21x110，y0，ycf(x)d在I上是递增(减)的；若c0，则函数 yf(x)与 y fx具有相同的单调性(6)复合函数 yfg(x)的单调区间求解步骤：将复合函数分解成基本
9、初等函数 yf(u)，ug(x)；分别确定各个函数的定义域；分别确定分解成的两个函数的单调区间；若两个函数在对应区间上的单调性相同，则 yfg(x)为增函数；若不同，则 yfg(x)为减函数该法可简记为“同增异减”值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明求 y12 x22x3的单调区间，并指明在该区间上的单调性分析 这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性导学号62240392解析 要使函数 y12 x22x3有意义，需满足 x22x30，即(x1)(x3)0.x10 x30 或x10 x30，x1，或 x3.函数 y12 x22x3的定义域为x|x1，或 x3令 ux22x3，则 y12 u，易知 u(x1)24，其中开口向上，对称轴为 x1.当 x1 时，u 是 x 的增函数，y 是 u 的增函数，从而 y是 x 的增函数；当 x3 时，u 是 x 的减函数，y 是 u 的增函数，从而 y是 x 的减函数y12 x22x3的递增区间是1，)，递减区间是(，3课后强化作业（点此链接）