1、选修4-5 不等式选讲练好题考点自测1.改编题若a,b,cR,且满足|a-c|c;b+ca;a-cb;|a|+|b|c|.其中错误的个数为()A.1B.2C.3D.42.2018江苏高考改编若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,则x2+y2+z2的最小值为.3.2019浙江,16,4分已知aR,函数f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|23,则实数a的最大值是.4.2017 浙江,17,4分已知aR,函数f(x)=|x+4x-a|+a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围是.5.2020全国卷,23,10分已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1
2、)当a=2时,求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范围.拓展变式1.2020全国卷,23,10分已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)在图1中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式f(x)f(x+1)的解集.2.2018全国卷,23,10分理已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.3.2019全国卷,23,10分理已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1ca2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.4.2
3、021湖南模拟已知函数f(x)=|x+1|+2|x-a|.(1)当a=1时,求不等式f(x)7的解集;(2)已知a-1,且f(x)的最小值等于3,求实数a的值.答 案1.A由题意得,a-c-b,a-cc,b+ca,都正确,不正确.又|a-c|=|c-a|c|-|a|,|c|-|a|c|.正确.故选A.2.4由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)(x+2y+2z)2.因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z24,当且仅当x1=y2=z2时,不等式取等号,此时x=23,y=43,z=43.所以x2+y2+z2的最小值为4.3.43f(t+2)-f(t)=a(t+2)3-(t+2
4、)-(at3-t)=2a(3t2+6t+4)-2,因为存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|23,所以-232a(3t2+6t+4)-223有解.因为3t2+6t+41,所以23(3t2+6t+4)a43(3t2+6t+4)有解,所以a43(3t2+6t+4)max=43,所以a的最大值为43.4.(-,92x1,4,x+4x4,5.分类讨论:当a5时,f(x)=a-x-4x+a=2a-x-4x,函数f(x)在区间1,4上的最大值为2a-4=5,a=92,舍去;当a4时,f(x)=x+4x-a+a=x+4x5,此时符合题意;当4a5时,f(x)max=max|4-a|+a,|5-a|+a,则
5、|4-a|+a|5-a|+a,|4-a|+a=5或|4-a|+a|5-a|+a,|5-a|+a=5,解得a=92或a92.综上可得,实数a的取值范围是(-,92.5.(1)当a=2时,f(x)=7-2x,x3,1,34.因此,不等式f(x)4的解集为x|x32或x112.(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)24,即a3或a-1时,f(x)4.当-1a3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)24.所以a的取值范围是(-,-13,+).1.(1)由题设知f(x)=-x-3,x-13,5x-1,-131.y=f(x)的图象如图D 1
6、所示.(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象,如图D 2所示.由-x-3=5(x+1)-1,解得x=-76,故函数y=f(x)的图象与函数y=f(x+1)的图象的交点坐标为(-76,-116).由图D 2可知当且仅当xf(x+1)的解集为(-,-76).2.(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为(12,+).(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为(0,2a),所以2a1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.因为a2
7、+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,且abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c.所以1a+1b+1ca2+b2+c2,当且仅当a=b=c=1时“=”成立.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)333(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)32ab2bc2ac=24.当且仅当a=b=c时两等号同时成立,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.4.(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+2|x-1|.当x-1时,f(x)7即-3x+17,解得x-2,故-2x1时,f(x)7即3x-17,解得x83,故1-1,所以f(x)=-3x+2a-1(x-1),-x+2a+1(-1xa),3x-2a+1(xa),作出y=f(x)的大致图象,如图D 3所示.由y=f(x)的图象知,f(x)min=f(a)=a+1=3,解得a=2,所以实数a的值为2.