1、课时过关检测(四) 基本不等式A级基础达标1(2022扬州市高三联考)设x0，则y33x的最大值为()A3B33C32D1解析：Cx0，y33x3232，当3x，即x时，等号成立故选C2已知直线ax2by10和x2y21相切，则ab的最大值是()ABCD1解析：A根据题意，圆x2y21的圆心为(0,0)，半径r1，若直线ax2by10和x2y21相切，则有1，变形可得a24b21，又由1a24b24ab，变形可得ab，当且仅当a2b时等号成立，故ab的最大值是，故选A3要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的
2、最低总造价是()A80元B120元C160元D240元解析：C由题意知，体积V4 m3，高h1 m，所以底面积S4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y204108020160，当且仅当2x，即x2时取得等号4已知x0，y0，且x2y1，若不等式m27m恒成立，则实数m的取值范围是()A8m1Bm8或m1C1m8Dm1或m8解析：Ax0，y0，x2y1，(x2y)4428，不等式m27m恒成立，m27m8，解得8m1故选A5已知双曲线1(m0，n0)和椭圆1有相同的焦点，则的最小值为()A2B3C4D5解析：B由题意双曲线1(m0，n0)和椭圆1有相同
3、的焦点，mn523，(mn)3，当且仅当，即m2n时等号成立，故的最小值为3，故选B6(多选)下列不等式一定成立的有()Ax2B2x(1x)Cx221D2解析：CD对于A，当x0时，x0，y0，且2xy2，则下列说法中正确的是()Axy的最大值为B4x2y2的最大值为2C4x2y的最小值为4D的最小值为4解析：ACD由22xy2xy，当2xy时等号成立，所以A正确；4x2y2(2xy)24xy44xy2，所以4x2y2的最小值为2，故B不正确；由22xy，得4x2y4x222x4x4，当x时等号成立，故C正确；由22xy，得24，当xy时等号成立，故D正确故选A、C、D8若log2mlog2n
4、1，那么mn的最小值是_解析：log2mlog2n1，即log2(mn)1，mn2，由基本不等式可得mn22，当且仅当mn时，等号成立，故mn的最小值是2答案：29已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_解析：对任意xN*，f(x)3，即 3恒成立，即a3设g(x)x，xN*，则g(x)x4，当且仅当x2时等号成立，又g(2)6，g(3)，g(2)g(3)，g(x)min3，a，故a的取值范围是答案：10(2022临汾二模)已知a，b为正实数，且满足ab1证明：(1)a2b2；(2) 1证明：(1)因为ab1，a0，b0，所以a2b2(a2b2a2b2
5、)(a2b22ab)(ab)2(当且仅当ab取等号)(2)(ab)332 32(1)2，所以 1B级综合应用11函数yloga(x3)1(a0且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny20上，其中m，n均大于0，则的最小值为()A2B4C8D16解析：B因为函数yloga(x3)1(a0且a1)的图象恒过定点A(2，1)，又因为点A在直线mxny20上，所以2mn20，即2mn2，所以(2mn)4，当且仅当即取等号，所以的最小值为4，故选B12(2022重庆一模)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的
6、面积S可由公式S求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a3，bc5，则此三角形面积的最大值为()AB3 CD解析：B由题意p(35)4，S28(bc)3，当且仅当4b4c，即bc时等号成立，此三角形面积的最大值为3故选B13写出一个关于a与b的等式，使是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为_解析：该等式可为a2b21，下面证明该等式符合条件(a2b2)1910216，当且仅当b23a2时取等号，所以是一个变量，且它的最小值为16答案：a2b21(答案不唯一)14(2022湘东联考)已知f(x)x3ax2(b4)x1(a0，b0)在x1处取得
7、极值，求的最小值解：因为f(x)x3ax2(b4)x1(a0，b0)，所以f(x)x22axb4因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，所以12ab40，可得2ab3所以(2ab)3(当且仅当ab1时取等号)C级迁移创新15(多选)(2022临沂高三模拟)已知a0，b0，c0，abc1，则()Aa2b2c2BabbcacC0D8解析：ADa0，b0，c0，abc1A项，1(abc)2a2b2c22ab2bc2aca2b2c2(a2b2)(b2c2)(a2c2)，所以a2b2c2，当且仅当abc时取等号，故正确；B项，a2b22ab，c2b22bc，a2c22ac，所以a2b2c2abbc
8、ac，由1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac3ab3bc3ac，即abbcac，当且仅当abc时取等号，故错误；C项，当a，b，c时，0，故错误；D项，22 2 8当且仅当abc时取等号，故正确故选A、D16甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元(1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？解：(1)由题意，得可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为，所以y1 000，定义域为(0,80(2)y1 0001 00021 000(元)，当v时，得v2，因为0v80，所以当0a1 600时，货车以v2 km/h的速度行驶，全程运输成本最小；当a1 600时，货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最小
