1、课时过关检测(四十六) 直线的方程A级基础达标1直线2xsin 210y20的倾斜角是()A45B135C30D150解析：B由题意得直线的斜率k2sin 2102sin 301，故倾斜角为135故选B2若A(2,3)，B(3，2)，C三点共线，则m()ABC2D2解析：A因为A(2,3)，B(3，2)，故kAB1，因为A，B，C三点共线，故kABkAC1，故m，故选A3(2022潍坊月考)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()Ayx2Byx2CyxDyx2解析：A直线x2y40的斜率为，直线l在y轴上的截距为2直线l的方程为yx24已知A(
2、2,3)，B(1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为()A1BCD3解析：C设Q(3,0)，则kAQ3，kBQ，点P(x，y)是线段AB上的任意一点，的取值范围是，则的最大值为，故选C5(2022青岛检测)已知函数f(x)asin xbcos x(a0，b0)，若ff，则直线axbyc0的倾斜角为()ABCD解析：D由ff知，函数f(x)的图象关于直线x对称，所以f(0)f，所以ba，则直线axbyc0的斜率为k1，又直线倾斜角的取值范围为0，)，所以该直线的倾斜角为，故选D6(多选)已知直线l的一个方向向量为u，且l经过点(1，2)，则下列结论中正确的是()Al的倾斜角等于15
3、0Bl在x轴上的截距等于Cl与直线x3y20垂直Dl上不存在与原点距离等于的点解析：CD由已知得直线l的斜率k，设其倾斜角为，则tan ，所以120，故A选项错误；直线l的方程为y2(x1)，即xy20，所以它在x轴上的截距等于1，故B选项错误；直线x3y20的斜率为，()1，所以两直线垂直，故C选项正确；原点到直线l的距离d1，即l上的点与原点的最小距离大于，故l上不存在与原点距离等于的点，故D选项正确故选C、D7(多选)已知直线l1：axyb0，l2：bxya0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是()解析：AC直线l1：axyb0可化为yaxb，斜率为a，在y轴上的截距为b直线l2
4、：bxya0可化为ybxa，斜率为b，在y轴上的截距为a当ab0时，直线l1与l2平行，故A正确选项B中，由直线l2在y轴上的截距可得a0与直线l1的斜率a0矛盾，故B不正确在选项C中，由直线l2的斜率为b0，而直线l1在y轴上的截距b0直线l2在y轴上的截距为a0，直线l1的斜率为a0，故C正确选项D中，两直线斜率a0，b0与直线l1在y轴上的截距b0，b0相矛盾，故D不正确故选A、C8过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_解析：由题意可设直线方程为1则解得ab3或a4，b2故所求直线方程为xy30或x2y40答案：xy30或x2y409已知直线l过点(1,0)，且
5、倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为_解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y40答案：4x3y4010已知直线xm2y20(mR)的倾斜角为，求的取值范围解：当m0时，直线为x2，斜率不存在，倾斜角；当m0时，直线xm2y20(mR)化为直线的斜截式方程yx，斜率k0，即tan 0，所以综上可知，倾斜角的取值范围是B级综合应用11已知直线kxy2k10恒过定点A，点A也在直线mxny20上，其中m，n均为正数，则的最小值为()A2B
6、4C8D6解析：B已知直线kxy2k10，整理得y1k(x2)，由直线恒过定点A，得A(2，1)因为点A也在直线mxny20上，所以2mn2，整理得m1，由于m，n均为正数，则11224，当且仅当即时取等号故选B12(2022淄博模拟)如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示则直线AB的方程为_；旅客最多可免费携带行李_千克解析：由题图知点A(60,6)，B(80,10)，代入直线方程的两点式得，整理得直线AB的方程是x5y300依题意，令y0，解得x30，即旅客最多可免费携带3
7、0千克的行李答案：x5y3003013若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_，_解析：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3，建立如图所示直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为，则tan 3，由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为45，直线OC的倾斜角为45，故kOAtan(45)kOCtan(45)2答案：214已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无
8、论k取何值，直线l总过定点(2,1)(2)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A，B(0,12k)又0，k0故S|OA|OB|(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时取等号故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40C级迁移创新15(多选)已知直线xsin ycos 10(R)，则下列命题正确的是()A直线的倾斜角是B无论如何变化，直线不过原点C直线的斜率一定存在D当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1解析：BD根据直线倾斜角的范围为0，)，而R，所以A不正确；当xy0时，xsin ycos 110，所以直线必不过原点，B正确；当时，直线斜率不存
9、在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S1，所以D正确16在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线AP和BP分别与直线x3交于点M，N，问：是否存在点P，使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：(1)因为点B与点A(1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为(x，y)由题意，得，化简，得x23y24(x1)故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)(2)法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M，N的坐标分别为
10、(3，yM)，(3，yN)则直线AP的方程为y1(x1)，直线BP的方程为y1(x1)令x3，得yM，yN于是PMN的面积为SPMN|yMyN|(3x0)又直线AB的方程为xy0，|AB|2，点P到直线AB的距离d于是PAB的面积为SPAB|AB|d|x0y0|当SPABSPMN时，得|x0y0|又|x0y0|0，所以(3x0)2|x1|，解得x0因为x3y4，所以y0故存在点P，使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为或法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)，则|PA|PB|sinAPB|PM|PN|sinMPN因为sinAPBsinMPN，所以，所以，即(3x0)2|x1|，解得x0因为x3y4，所以y0故存在点P，使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为或