1、课时过关检测(四十三) 空间向量及空间位置关系A级基础达标1(2022青岛质检)已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()AB2CD1解析：A因为a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以ab1，|a|，|b|，又kab与2ab互相垂直，所以(kab)(2ab)0，即2k|a|2kab2ab|b|20，即4kk250，所以k故选A2如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC与BD的交点为O，点M在BC上，且BM2MC，则下列向量中与相等的向量是()ABCD解析：C因为BM2MC，所以，在平行六面体ABCDABCD中，()()()，故选C3若两条不重合直线
2、l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1和l2的位置关系是()A平行B相交C垂直D不确定解析：A因为两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，所以v22v1，即v2与v1共线，所以两条不重合直线l1和l2的位置关系是平行4在空间四边形ABCD中，()A1B0C1D不确定解析：B如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca05已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz (x，y，zR)，则“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D
3、既不充分也不必要条件解析：B当x2，y3，z2时，即232则23()2()，即32，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设mn (m，nR)，即m()n()，即(1mn)mn，即x1mn，ym，zn，这组数显然不止2，3,2故“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件6(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是()A两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a(2,3，1)，b(2，3,1)，则l1l2B两个不同的平面，的法向量分别是u(2,2，1)，v(3,4,2)，则C直线l的方向向量
4、a(1，1,2)，平面的法向量是u(6,4，1)，则lD直线l的方向向量a(0,3,0)，平面的法向量是u(0，5,0)，则l解析：AB对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a(2,3，1)，b(2，3,1)，则ba，所以l1l2，选项A正确；对于B，两个不同的平面，的法向量分别是u(2,2，1)，v(3,4,2)，则uv2(3)24120，所以，选项B正确；对于C，直线l的方向向量a(1，1,2)，平面的法向量是u(6,4，1)，则au16142(1)0，所以l或l，选项C错误；对于D，直线l的方向向量a(0,3,0)，平面的法向量是u(0，5,0)，则ua，所以l，选项D错误故选
5、A、B7若a(1,1,0)，b(1,0,2)，则与ab同方向的单位向量是_解析：与ab同方向的单位向量是(0,1,2)答案：8已知A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(x，y,15)三点共线，则xy_解析：由三点共线得向量与共线，即k，(3,4，8)k(x1，y2,4)，解得x，y4，xy2答案：29如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1(1)求证：BC1AB1；(2)求证：BC1平面CA1D证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ACBCBB12，则A(2,0,2)，B(0,2,2
6、)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)(0，2，2)，(2，2，2)，0440，BC1AB1(2)取A1C的中点E，则E(1,0,1)，(0,1,1)，又1(0，2，2)，且ED和BC1不重合，则EDBC1又ED平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1DB级综合应用10(多选)已知向量abbcac，b(3,0，1)，c(1,5，3)，下列等式中正确的是()A(ab)cbcB(ab)ca(bc)C(abc)2a2b2c2D解析：BCD由题意知bc3030，所以abbcac0，(ab)c0，bc0，不相等，所以A选项错误
7、；(ab)ca(bc)acbcabac0，所以(ab)ca(bc)，所以B选项正确；(abc)2a2b2c22ab2bc2aca2b2c2，所以C选项正确；(abc)2a2b2c22ab2bc2aca2b2c2，即(abc)2(abc)2，|abc|abc|，所以D选项正确11如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，2，AC1与平面EFG交于点M，则_解析：由题图知，设 (01)，由已知23，所以23，因为M，E，F，G四点共面，所以231，解得答案：12(2022沈阳质检)已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,
8、1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是_解析：由题意，设，则(，2)，即Q(，2)，则(1，2，12)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(12)(22)621266(1)2，当1时取最小值，此时Q点坐标为(1,1,2)答案：(1,1,2)13如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD(1)求证：BD AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由解：(1)证明：设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，
9、A1AO60，所以A1O2AAAO22AA1AOcos 603，所以AO2A1O2AA，所以A1OAO由于平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，所以A1O平面ABCD以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)由于(2，0,0)，(0,1，)，0(2)1000，所以，即BDAA1(2)假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，设，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)从而有P(0,1，
10、)，(，1，)设平面DA1C1的一个法向量为n(x，y，z)，则又(0,2,0)，(，0，)，则取n(1,0，1)，因为BP平面DA1C1，所以n，即n0，解得1，即点P在C1C的延长线上，且CPCC1C级迁移创新14(多选)定义向量的外积：ab叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1)a(ab)，b(ab)，且a，b和ab构成右手系(三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致)；(2)ab的模|ab|a|b|sina，b(a，b表示向量a，b的夹角)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有以下四个结论，不正确的有()A与方向相反BC6|与正方体表面积的数值相等D
11、()与正方体体积的数值相等解析：ABDA选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，故A错；B选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反，不可能相等，故B错；C选项，根据向量外积的第二个性质可知正方形ABCD的面积为|sin ，则6|与正方体表面积的数值相等，故C对；D选项，与的方向相反，则()0，故D错，故选A、B、D15如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，平面PBC底面ABCD求证：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB证明：(1)取BC的中点O，连接PO，PBC为等边三角形，POBC，平面PBC底面ABCD，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设CD1，则ABBC2，PO，A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)，(2，1,0)，(1，2，)，(2)1(1)(2)0()0，PABD(2)取PA的中点M，连接DM，则M，(1,0，)，100()0，即DMPB10(2)()0，即DMPA又PAPBP，PA平面PAB，PB平面PAB，DM平面PABDM平面PAD，平面PAD平面PAB