1、高二数学同步辅导教材（第34讲）主讲: 孙福明(江苏省常州高级中学 一级教师)一、本讲进度 第十章 排列、组合和概率103 组合二、主要内容1、 组合的概念、组合数的表示法；2、 组合的计算公式，化简公式及组合数的两个性质；3、 利用组合及组合数的概念解实际问题。三、学习指导1、 组合的定义 ：课本P.96组合数的定义：课本P.97 组合的计算公式及化简公式：课本P.98组合数化简公式：中，等式右边除以Amm，意味着抹去m个排列时的顺序，简称“去序”。2、 关于组合数性质2：的理解及推广。从集合的角度看，设被取的n+1个元素的集合是a，b1，b2，bn。公式左边是从这n+1个元素中取m个的组合
2、数。将该集合分成两个子集A=a与B=b1，b2，bn。将从n+1个元素中取m个元素的组合分成两类（有且仅有该两类）：一类是含有a，一类不含有a。含有a的一类分两步得到：（1）从集合A中选一个元素，有C11种选法；（2）从B中选m-1个元素，有种选法，由分步计数原理，含a的组合有个。不含a的一类也可以分两步得到：（1）从集合A中选0个元素，有C10种选法；（2）从B中选m个元素，有种选法，由分步计数原理，不含a的组合有C10Cnm个。再由分类计数原理，得到。此式特征，右边每一项的下标之和为n+1，表示被取元素有n+1个，上标之和均为m，表示所取元素为m个。推广一下，如被取元素有r+1个，每次取m
3、个（mn+r，rm）个。则将n+r个元素分成子集A和B，A含有r个元素，B含有n个元素，仿照刚才的思路可得： 3、对于组合数性质1：的运用。当时，一般用它来简化计算。在某些证明题中，用它来变换上标。4、与组合有关的应用题分无附加的条件与有附加条件两类，附加条件主要是“含与不含”，即某些特殊元素含有或不含在所要求的组合之中的问题。处理问题的方法分直接法及简接法，其思路与排列问题类似。四、典型例题例1、，求证：m=1+2+3+n解题思路分析：从化简组合数着手： 例2、求证：解题思路分析：法一：用组合数性质2自左向右合并项： 左=法二：左= 法三：表示从m+2个元素中每次取n+1个元素的组合数；把m
4、+2个元素分成两个集合：A与B，其中A中含有m个元素，B中含有2个元素。从m+2个元素中的每次取出n+1个的组合，可以分成三类：从A中取n+1个，从B中取0个，有；从A中取n-1个，从B中取2个，有个；从A中取n个，从B中取1个，有个 总数为 即 评注：法一是用组合数性质，法二是用组合种数公式，法三是运用了基本概念，构造了组合数的模型。本题以第一种方法最简单。例3、从A、B、C等16人中选7人（1） A必须在内的有多少种？（2） A不在内的有多少种？ （3）A、B同时在内的有多少种？ （4）A或B中有1人在内的有多少种？ （5）A、B、C三人中至少有1人在内的有多少种？解题思路分析：（1） A
5、必须在内，那么只需从其余15人中再选6人即可，因此有C156种；（2） A不在内，所以除去A，只在15人人中选7人，有C157种；若用间接法：总数是C167，不满足的情形是（1）中的情况，所以满足的组合数为C167-C156； （3）A、B同时在内，则只需从其余14个人中选5个人，有C145种； （4）分两步，第一步从A、B中选1人，有C21种；第二步从其余14个人中选6人，有C146种，因此有C21C146种选法； （5）法一：间接法。总数是C167，不满足的情形是A、B、C均在内，有C137种，因此满足条件的组合数是C167-C137种。法二：直接法。分成四类：从A、B、C中分别选0个、1
6、个、2个、3个，每一类再分成两步，则共有C30C137+C31C136+C32C135+C33C134种选法。评注：1、设集合R中有r个元素，集合S中有s个元素。如果RS中每次取m个元素的组合里，必须含有R中的r0个元素，那么这样的组合数为（0r0r，0m-r0s）。本题第（1）（2）（3）（4）均属于此类问题。2、解题时，选用直接法还是间接法，以简便为原则。例4、有划船运动员10人，其中3人只会划右舷，2人只会划左舷，其余5人既会划左舷也会划右舷，现在要从这10人中选出6人，平均分配在船的两舷划桨，有多少种选法？解题思路分析：首先借助于集合工具对研究对象分类。其次以只会划左舷的人有2人在内为
7、标准进行分类：（1）有2人在内，（2）有1人在内，（3）有0人在内。对第（1）类：第一步从只会划左舷的2人中选2人去划左舷，第二步，从左右舷都会划的5人中选1人也去划左舷，第三步，从其中7人中选3人去划右舷，完成这3步的方法数分别是C22、C51、C73，由分步计数原理，第（1）类方法有C22C51C73种。同理，第（2）类有C21C52C63种 第（3）类有C20C53C53种由分类计数原理，共有C22C51C73+C21C52C63+C20C53C53种选法评注：本题以会划左舷的2人为标准进行分类，也可以以会划右舷或以左右舷都会划的5人为标准进行分类，一般说来，选择元素较少的那一类做标准较
8、简单。例5、从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求座谈会的成员中既有男同学，又有女同学，有几种不同的选法？解题思路分析：法一：直接法。满足条件的组合有三类：（1）1男3女；（2）2男2女；（3）3男1女。分别有C51C43、C52C42、C53C41种选法，因此根据分类计数原理，共有； C51C43+C52C42+C53C41=120（种）选法法二：间接法。总数是C94，满足的情形是4位同学全部是男生，或全部是女生，共有C54+C44种 满足条件的选法有C94-C54-C44=120（种）例6、（1）四面体的一个顶点为A，从其它顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一个平面
9、上，有多少种不同取法； （2）四面体的顶点和棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法。解题思路分析：（1） 考虑平面ABC，从E、F、B、M、C中任取3点必与点A共面，共有C53种取法。同理，平面ACD，平面ABD也有类似的结论考虑直线AB与N，A、E、B、N共面，有1种选法同理直线AC与点P，直线AD与M也有类似结论根据分类计数原理，共有3C53+3=33（种）取法（2） 用间接法。从10个点中取4个点有C104种选法不满足的情形指所取四点共面，有三类：每一个表面上的6点中取4点必共面，如平面ABC内，六个点A、B、C、E、F、M中任取四点必共面。共有4C64=60种取
10、法。每一条棱上的对棱中点四点共面，如直线AB与点N，A、E、B、N共面。因为6条条棱，共有6种取法。六条棱的6个中点中任取4个点，因EFPN，EGMN，GFPM，共有3种取法。 满足4点不共面的取法有C104-（60+6+3）=141（种）评注：本题应充分分析利用图形的几何性质。例7、在1，2，3，30这30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们和是3的倍数，共有多少种不同的取法？解题思路分析：从每一个数能否被3整除着手，任一个自然数被3整除，根据余数为0，1，2分成三类：（1）能被3整除；A0=3，6，9，30，集合中共10个元素；（2）被3除余1：A1=1，4，7，28，集合中共10个元素
11、；（3）被3除余2：A2=2，5，8，29，集合中也有10个元素。所取3个数和是3的倍数的取法有两类：一是分别从A1、A1、A2中取3个元素，每一个集合取法有C103种，因此共有3C103种二是各从A0、A1、A2中取1个元素，根据分步计数原理，共有C101C101C101=(C101)3种根据分类计数原理，共有3C103+(C101)3=1360（种）例8、如果集合A1、A2满足A1A2=A，则称（A1、A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A=a1，a2，a3有多少种不同的分拆法？解题思路分析：选定A1，以A1中元
12、素个数为标准进行分类：（1） A1是空集，则A2=a1，a2，a3，有1种分拆法； （2）A1是一元集，A2可以是二元集或三元集（必须含除A1中元素后剩余两元素），有C312=6种分拆法； （3）A1是二元集，如A1=a1，a2，则A2可以是1元集，2元集，3元集（均必须含a3）,有C324=12种分拆法； （4）A1是三元素，则A2可以是一元集、二元集、三元集或，有1(C31+C31+1+1)=8种分拆法。根据分类计数原理，共有1+6+12+8=27种分拆法评注：由以上几例可以看出，正确分类是解题的关键。同步练习（一） 选择题1、 计算C10r+1+C1017-r，值不同的有A、1个 B、2
13、个 C、3个 D、4个 2、已知a-2，-1，0，1，2，3，4，b-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，则方程表示的不同双曲线条数最多是A、14 B、22 C、26 D、483、高三年级有8个班，分配4个数学教师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方式有A、P82P62P42P22种 B、C82C62C42C22种 C、C82C62C42C22P44种 D、种4、10个人分乘3辆汽车，要求甲车坐5人，乙车坐3人，丙车坐2人，则不同的乘车方法有A、 B、C102C82C55 C、C102C83C553！ D、P102P83P555、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型
14、与乙型电视机各1台，则不同的取法共有A、35种 B、70种 C、84种 D、140种6、一组6条平行线与另一组3条平行线互相垂直，则由它们所围成的矩形个数是A、16个 B、24个 C、45个 D、90个7、已知一些点的坐标（x，y）满足|x|2，|y|2且xZ，yZ，若以这些点的其中三点为顶点作三角形，这样的三角形共有A、72个 B、76个 C、80个 D、84个8、以正方体的顶点为顶点的四面体个数是A、70 B、64 C、58 D、24（二） 填空题9、若C7x=C72，则x=_；若Cx12=Cx3，则x=_；若Cx3Cx2=443，则x=_。10、利用公式Cnm+Cnm-1=Cn+1m计算
15、（1） Cm5-Cm+15+Cm4=_；（2） 若C172x+C172x-1=C186，则x=_；（3） C22+C32+C42+C102=_。11、M和N是两个不重合的平面，在平面M内取5个点，在平面N取4个点，则由这些点最多能决定不同位置的三棱锥有_个。12、棱梯一共有10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若要求8步走完这楼梯，则不同的走法共有_种。13、在连续6次射击中，恰好命中4次的情形有_种，又在命中的4次恰好有3次是连续的情形有_种。（三） 解答题14、异面直线l1和l2上分别有m个和n个（m，n3）不同的点，以这些点为顶点，可分别构成多少个三角形？多少个四面体？15、在1
16、，2，3，100这100个自然数中，每次取不等的两数相乘，使它们的积是7的倍数，这样的取法共有多少种？16、大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标以数字1，2，3，4，5，6，求：（1） 向上的面标着的数字之和为偶数的有多少种情形？（2） 向上的面标着的数字之积不小于20的有多少种不同的情形？17、两个同心圆，在外圆周上有相异的6个点，内圆周上有相异的3个点，由这9个点所决定的直线最多有多少条？最少有多少条？18、有翻译人员11名，其中5人仅通英语，4人仅通法语，另2人英语法语皆通，现欲从中找出8人，组成两个翻译小组，其中4人译英语，另4人译法语，两个小组同时工作，问满足条件的8人名单共可开
17、列多少张？参考答案（一） 选择题 1、B。 由 得r=7，8，92、B。 因ab0，故有C21C51+C41C31=22条3、B。 将8个班分成4组，根据分步计数原理，有C82C62C42C22种4、B。 将10个人分成3组，人数分别是5，3，2，根据分步计数原理，有C102C83C55种。5、B。 分成两类：甲2乙1，甲1乙2，共有C42C51+C52C41=70（台）6、C。 C32C62=457、B。 满足条件的点共有9个，用间接法得C93-8=76个8、C。 C84-12C44=58个（二） 填空题 9、 2或5 ， 20 ， 11 10、（1）0 （2）3或6 （3）16511、 1
18、20 C94-C54-C44或C52C42+C51C43+C53C4112、 28 C7213、 15 ， 6 C64=15（种）（三） 解答题14、Cm2Cn1+Cm1Cn2=个三角形；个四面体。15、记能被整除的数组成集合A=7，14，21，98，不能被7整除的数组成集合B，则取法分两类： （1）A中取两个数，有C142个；（2）A、B中各取1个，有C141C861个，由分类计数原理，共有C142+C141C861=1295（个）16、（1）C31C31+C31C31=18；（2）817、（1）C61C31+C62+C32=36（条）；（2）C62+C31+C21=21（条）18、以法语译组的组成情况分三类：第一类，皆由仅通法语者担任，有C74C74种选法；第三类，此组中仅有3人仅通法语，共有C43(C21C54+C22C53)种选法；第三类，此组中恰有2人仅通法语，有C42C22C54种选法。由分类计数原理，共有C44C74+C43（C21C54+C22C53）+C42C22C54=145（张）。