1、一、选择题1已知抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A. B4 C. D52设F为抛物线y22x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则的值为()A1 B2 C3 D43已知抛物线y22px(p0)与圆(xa)2y2r2(a0)有且只有一个公共点，则()Arap BrapCrap Dr0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是()Ax212y Bx28yCx26y Dx24y5已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若则|QF|()A. B.
2、C3 D2二、填空题6设斜率为1的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为_7(2016西安模拟)设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|2，则直线l的斜率等于_8已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，则|AC|BD|的最小值为_三、解答题9.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)
3、当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率10. (2016安庆模拟)如图，A，B是焦点为F的抛物线y24x上的两动点，线段AB的中点M在定直线xt(t0)上(1)求|FA|FB|的值；(2)求|AB|的最大值1设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.2(2015厦门模拟)已知抛物线C的方程为y28x，设抛物线C的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|_.3已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛
4、物线相交于M，N两点，且|MN|8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，求的最小值答 案一、选择题1解析：选D由题意知，抛物线的准线方程为y1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2解析：选C依题意，设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又焦点F，x1x2x33，则x3(x1x2x3)3.3解析：选B当r0)与抛物线y22px(p0)要么没有公共点，要么有两个或四个公共点，与题意不符；当ra时，易知圆与抛物线有两个公共点，与题意不符；当ra时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(xa)2
5、2pxr2(x0)有且仅有一个解x0，可得ap.4解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p2p6，p4.即抛物线方程为x28y.5解析：选C过点Q作QQl交l于点Q，因为所以|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|QQ|3.二、填空题6解析：依题意，有F，直线l为yx，所以A，OAF的面积为8.解得a16，依题意，只能取a16.答案：167解析：设直线l的方程为yk(x1)(k0)，将其代入y24x得，k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以xQ1，yQk(xQ1)，又|FQ|2，F(1,0)，所以24
6、，解得k1.答案：18解析：由题意知F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4时，为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2.答案：2三、解答题9.解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线
7、上，得y4x1，y4x2，y12(y22)y1y24.由得，yy4(x1x2)，kAB1(x1x2)10.解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(t，m)，则x1x22t，y1y22m.由抛物线的定义知|FA|x11，|FB|x21.所以|FA|FB|x1x222t2.(2)由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以.故可设直线AB的方程为(ym)xt，即xyt.联立消去x，得y22my2m24t0.则16t4m20，即0m24t，y1y22m，y1y22m24t.所以|AB|y1y2|，其中0m24t.当t1时，因为02t24t，所以当m22t2时，|AB|取最大值，即|A
8、B|max2t2.当0t1时，因为2t20)，得x23px0.|MN|8，x1x2p8，即3pp8，解得p2，抛物线的方程为y24x.(2)设直线l的方程为yxb，代入y24x，得x2(2b4)xb20.直线l为抛物线C的切线，0，解得b1.直线l的方程为yx1.由(1)可知：x1x26，x1x21.设P(m，m1)，则(x1m，y1(m1)，(x2m，y2(m1)，(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.x1x26，x1x21，(y1y2)216x1x216，y1y24.yy4(x1x2)，y1y244，16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714，当且仅当m2时，即点P的坐标为(2,3)时，的最小值为14.