1、张家港高级中学2014-2015学年第一学期高三数学滚动检测卷（13） 命题：赵松 2015.01.24必做题部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分 1已知集合，则 .2函数的最小正周期为 .3某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 784从3名男生和2名女生中选出2人参加某项活动，则选出的2人中至少有1名女生的概 率为 5已知函数的单调递增区间为 6直线在两坐标轴上的截距之和为2，则实数的值是 127若Sn为等差数列an的前
2、n项和，S9=36，S13=104，则a5a7的值为 32 8来若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足，则 29已知为正实数，且则的最小值为 210三棱锥中，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则 11过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 _12. 等差数列的公差为d，关于x的不等式c0的解集为0，22，则使数列的前n项和最大的正整数n的值是 1113已知函数的值域为，设，若不等式在上有解，则实数k的取值范围为_.若正数满足，则的值为 10814下列四个命题: 命题“，”的否定是“，”；命题 “已知，若，则或”是真命题 ；“在上恒成立”“在上恒成立
3、”；命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题其中正确的命题的序号是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点和点B均在单位圆上， 且（1）若点，求的值；（2）若，求的值15（1）； （2）16正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE平面CDE（1）求证：AB平面CDE；（2）求证：平面ABCD平面ADE17如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在处同时出发，沿直线、向前联合搜索，且（其中点、分别在边、上），搜索区域为
4、平面四边形围成的海平面.设，搜索区域的面积为.BDCAQP（1）试建立与的关系式，并指出的取值范围；（2）求的最大值.18在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点(i)设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1k2，并求出的值；(ii)求OMN面积的最大值解：(1)由题意知，可得a24b2.椭圆C的方程可简化为x24y2a2.将yx代入可得x.因此，即a2，所以b1，所以椭圆C
5、的方程为y21. 5分(2)(i)设A(x1，y1)(x1y10)，D(x2，y2)，则B(x1，y1)因为直线AB的斜率kAB，且ABAD，所以直线AD的斜率k.设直线AD的方程为ykxm，由题意知k0，m0.由消去y，得(14k2)x28mkx4m240，所以x1x2，因此y1y2k(x1x2)2m.由题意知x1x2，所以k1.所以直线BD的方程为yy1(xx1)令y0，得x3x1，即M(3x1，0)可得k2.所以k1k2，即.因此，存在常数使得结论成立10分(ii)直线BD的方程yy1(xx1)，令x0，得yy1，即N.由(i)知M(3x1，0)，所以OMN的面积S3|x1|y1|x1|
6、y1|.因为|x1|y1|y1，当且仅当|y1|时，等号成立，此时S取得最大值，所以OMN面积的最大值为. 19在数列中, 且对任意的,成等比数列, 其公比为（1）若, 求；（2）若对任意的,成等差数列公差为 若, 试求； . 设.求证:成等差数列, 并指出其公差（1）因为,所以,故是首项为1,公比为4的等比数列,所以 4分（注: 讲评时可说明, 此时数列也是等比数列, 且公比为2）（2）因为成等差数列,所以,而,所以,则 7分得,所以,即,所以是等差数列,且公差为19分因为,所以,则由,解得或10分（）当时, ,所以,则,即,得,所以,则12分所以,则,故14分（）当时, ,所以,则,即,得
7、,所以,则,所以,从而.综上所述,或20已知函数，其中设（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；（2）若时，函数有两个不同的零点求b的取值范围；求证：（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）； 略（3）不妨设x1x20因为h(x1)h (x2)0，所以lnx1+bx10，lnx2+bx20，可得lnx1lnx2-b(x1x2)，lnx1lnx2-b(x1x2)要证明x1x2e2，即证明lnx1lnx22，也就是-b(x1x2)2因为-b，所以即证明，即ln令t，则t1，于是lnt令j(t)lnt（t1），则j (t)0故函数j(t)在（1，）上是增函数，所以j(t)j(1)0，即lnt成立 所以原不等式成立