1、2 概率、随机变量及其分布列 真题热身1(2011课标全国)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.13B.12 C.23 D.34解析 甲、乙两位同学参加 3 个小组的所有可能性有 339(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有 3 种故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率 P3913.A 2(2011福建)如图，矩形 ABCD 中，点 E为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于()A.14B.13C.12 D.23解析 这是一道几何
2、概型的概率问题，点 Q 取自ABE 内部的概率为 SABES矩形ABCD12|AB|AD|AB|AD|12.故选 C.C 3(2011辽宁)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)等于()A.18 B.14 C.25 D.12解析 P(A)C23C22C2525，P(AB)C22C25 110，P(B|A)P(AB)P(A)14.B 4(2011湖北)已知随机变量 服从正态分布 N(2，2)，且 P(4)0.8，则 P(02)等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析 P(4)0.2，
3、由题意知图象的对称轴为直线 x2，P(4)0.2，P(04)1P(4)0.6.P(02)12P(00，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.(1)基本事件为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，所以事件A发生的概率为P(A)91234.(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2构成事件 A 的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab故所求概率为3212223223.二、互斥事件与独
4、立事件例 2 甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15，每人闯关成功记 2 分，三人得分之和记为小组团体总分(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；(2)求团体总分为 4 分的概率；(3)若团体总分不小于 4 分，则小组可参加复赛求该小组参加复赛的概率解(1)设乙闯关成功的概率为 P1，丙闯关成功的概率为 P2，因为乙、丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：13P116P1P215，解得 P112，P225.所以乙闯关成功的概率为12，丙闯关成功的概率为25.(2)团体总分为 4 分
5、，即甲、乙、丙三人中恰有 2 人过关，而另外一人没过关设“团体总分为 4 分”为事件 A，则 P(A)(113)122513(112)251312(125)310.所以团体总分为 4 分的概率为 310.(3)团体总分不小于 4 分，即团体总分为 4 分或 6 分，设“团体总分不小于 4 分”为事件 B，由(2)知团体总分为 4 分的概率为 310.团体总分为 6 分，即 3 人都闯关成功的概率为131225 115.所以参加复赛的概率为 P(B)310 1151130.所以该小组参加复赛的概率为1130.归纳拓展(1)在解决互斥事件与相互独立事件的概率问题时，首先要注意互斥事件与相互独立事件
6、的区别和运用场合互斥事件是指两个事件 A、B 在某个试验中不可能同时发生的情况，亦即 P(AB)0 的情况；相互独立事件 A、B当然可以同时发生，而且常指可同时发生的情况下，事件 A发生与否不影响 B发生的概率(反之亦如此)相互独立事件同时发生的概率公式为 P(AB)P(A)P(B)；互斥事件 A、B 至少一个发生的概率公式为 P(AB)P(A)P(B)(2)如果一个问题包含的正面情况比较多，反面情况比较少，则一般利用对立事件进行求解，即先求出欲求概率的事件的对立事件的概率，再得到欲求事件的概率，一般地，“至少”、“至多”等问题往往会用到这种方法求解变式训练 2 甲、乙两人各射击一次，击中目标
7、的概率分别是23 和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1)求甲射击 4 次，至少有 1 次未击中目标的概率；(2)求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率；(3)假设某人连续 2 次未击中目标，则中止其射击则乙恰好射击 5 次后被中止射击的概率是多少？解(1)甲至少有一次未击中目标的概率 P1 为P1P4(1)P4(2)P4(3)P4(4)1P4(0)12341306581.(2)甲射击 4 次恰击中 2 次的概率为P2C24232132 827，乙射击 4 次恰击中 3 次的概率为P3C343431
8、42764，由乘法公式，所求概率PP2P3 827276418.(3)乙恰好 5 次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为P343142C12342143 451 024.三、离散型随机变量的期望、方差例 3(2011天津)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在 1 次游戏中，摸出 3 个白球的概率；获奖的概率(2)求在 2 次游
9、戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X)解(1)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i0,1,2,3)，则 P(A3)C23C25C12C2315.设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 BA2A3，又 P(A2)C23C25C22C23C13C12C25 C12C2312，且 A2，A3 互斥，所以 P(B)P(A2)P(A3)1215 710.(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.P(X0)(1 710)2 9100，P(X1)C12 710(1 710)2150，P(X2)(710)2 49100.所以 X 的分布列是X012P91002150491
10、00X 的数学期望 E(X)0 9100121502 4910075.归纳拓展(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率(2)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解变式训练 3 口袋里装有大小相同的 4 个红球和 8 个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则换成对方进行下一次摸球；每一次摸球彼此相互独立，并约定由甲开始进行第一次摸球在前三次的摸球中分别求：(1)
11、乙恰好摸到一次红球的概率；(2)甲至少摸到一次红球的概率；(3)甲摸到红球的次数 的分布列及数学期望解 记“甲摸球一次摸出红球”为事件 A，“乙摸球一次摸出红球”为事件 B，则P(A)P(B)44813，P(A)P(B)23，且事件 A，B 相互独立(1)在前三次摸球中，乙恰好摸到一次红球的概率为PP(A A B)P(A B B)13231323132329.(2)因为甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率为P1P(A B)P(A B A)2313(23)31427，所以甲至少摸到一次红球的概率为P21P1114271327.(3)根据题意，的可能取值为 0,1,2,3，则P(0)P(A B)P
12、(A B A)2313(23)31427，P(1)P(AA)P(A B A)1323(23)2131027，P(2)P(AA A)(13)223 227，P(3)P(AAA)(13)3 127.故 的分布列为0123P 14271027227127数学期望 E()01427110272 2273 1271727.规范演练 1高二某班共有 60 名学生，其中女生有 20 名，三好学生占16，而且三好学生中女生占一半现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为()A.16 B.112 C.18 D.110解析 设事件 A 表示“任选一名同学是男生”；
13、事件 B 为“任取一名同学为三好学生”，则所求概率为 P(B|A)依题意得 P(A)406023，P(AB)560 112.故 P(B|A)P(AB)P(A)1122318.C 3(2011浙江)有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()A.15 B.25 C.35 D.45解析 第一步先排语文书有 A222(种)排法第二步排物理书，分成两类一类是物理书放在语文书之间，有 1 种排法，这时数学书可从 4 个空中选两个进行排列，有 A2412(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有 2 种
14、排法，再选一本数学书放在语文书之间有 2 种排法，另一本有 3 种排法因此同一科目的书都不相邻共有 2(12223)48(种)排法，而 5 本书全排列共有A55120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是 4812025.B 3设随机变量 XB(2，p)，YB(4，p)，若 P(X1)59，则P(Y1)_.解析 XB(2，p)，P(X1)P(X1)P(X2)C12p(1p)C22p22p2p2p22pp259，p13.YB(4，13)，P(Y0)C042341681，P(Y1)1P(Y0)6581.65814如图，在单位圆 O 的某一直径上随机的取一点 Q，过点 Q 且与该直径垂直的弦长长度
15、不超过 1 的概率为_解析 弦长不超过 1，即|OQ|32，而 Q 点在直径 AB 上是随机的，事件 A弦长超过 1由几何概型的概率公式得 P(A)32 22 32.弦长不超过 1 的概率为 1P(A)1 32.1 325(2011重庆)某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中：(1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数 的分布列与期望解(1)方法一 所有可能的申请方式有 34 种，恰有 2 人申请 A片区房源的申请方式有 C2422 种，从而恰有 2 人申请
16、A 片区房源的概率为C242234 827.方法二 设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次独立重复试验记“申请 A 片区房源”为事件 A，则 P(A)13.从而，由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知，恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 P4(2)C24132232 827.(2)的所有可能值为 1,2,3.又 P(1)334 127，P(2)C23(C12C34C24C22)341427或P(2)C23(242)341427，P(3)C13C24C123449或P(3)C24A3334 49.综上知，的分布列为123P127142749从而有 E()1 12721
17、4273496527.6由于某高中建设了新校区，为了交通方便要用三辆通勤车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路堵车的概率为14，不堵车的概率为34；汽车走公路堵车的概率为 p，不堵车的概率为 1p，若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响(1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 716，求走公路堵车的概率；(2)在(1)的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数 的分布列和数学期望解(1)由已知条件得 C121434(1p)(34)2p 716，即 3p1，则 p13，p 的值为13.即走公路堵车的概率为13.(2)可能的取值为 0,1,2,3，P(0)34342338，P(1)C12143423343413 716，P(2)141423C1214341316，P(3)141413 148.的分布列为 0123P 3871616148所以 E()0381 7162163 14856.返回