1、第十一章计数原理第二讲二项式定理1.2021八省市新高考适应性考试(1+x)2+(1+x)3+(1+x)9的展开式中x2的系数是()A.60B.80C.84D.1202.2021山东威海开学考试设nN*,则Cn1+Cn27+Cn372+Cnn7n-1=()A.8nB.8n7C.8n-17D.8n+173.2021江西七校联考若(3x-1x)n的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为()A.-540B.-162C.162D.5404.2020四川五校联考(3x3+x4)(2-1x)8的展开式中x2的系数为()A.-1 280B.4 864C.-4 864D.1 2805.2020江西模拟
2、二项式(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为()A.120 B.135C.140D.1006.若(x4-1xx)n的展开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.8B.10C.11D.127.2021贵阳摸底考试(x2-1x)5的展开式中x4的系数是.(用数字作答)8.2020 重庆南开中学模拟已知(ax+1)n(nN*)的展开式中,二项式系数和为32,且各项系数和为243,则a=.9.2020唐山模拟在(ax2-2x)5的展开式中,x4的系数为5,则实数a的值为.10.2021蓉城名校第一次联考已知二项式(3x-1x)n的展开式中所有项的系数和为512,函数f(r)=Cnr,r0
3、,n且rN,则函数f(r)取最大值时r的值为()A.4B.5C.4或5D.611.2020山西忻州高三模拟设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=() A.5B.6C.7D.812.2020唐山市摸底考试在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是()A.-10B.0C.10D.2013.2020江西红色七校第一次联考(x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为.14.2019江淮十校联考若(x+a)9 =a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a9(x+1)9,当a5=126时,实
4、数a的值为.15.若(x3+1x2)n(nN*)的展开式中只有第6项的系数最大,则该展开式的常数项为.16. 递进型若二项式(ax2+1x)5的展开式中的常数项为10,则实数a的值为,展开式中所有无理项的系数之和为.17.并列型已知(1+x+x2)3(1+2x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,则a3=,a1+a2+a7=.18.2021南京检测与函数综合设函数f(x)=(a-x)(1+x)4,其导函数f(x)的展开式中各项系数之和为64,则实数a=.19.2021江西师大附中段考与数列综合已知(x+124x)n的展开式中,前三项的系数成等差数列,则展
5、开式中系数最大的项是.20.2020山东青岛检测与集合、排列组合综合已知aN,二项式(x+a+1x)6的展开式中含有x2项的系数不大于240,记a的取值集合为A,则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有个.21.2020东北三校联考在二项式(x-2y)6的展开式中,设二项式系数和为A,各项系数和为B,x的奇次幂项的系数和为C,则ABC=.答 案第二讲二项式定理1.D由题意可得x2的系数为C22+C32+C42+C92=C33+C32+C42+C92=C43+C42+C92=C103=120,故选D.2.CCn1+Cn27+Cn372+Cnn7n-1=17(Cn17+Cn272+Cn373+
6、Cnn7n)=17(Cn0+Cn17+Cn272+Cn373+Cnn7n-1) =17(1+7)n-1=8n-17.故选C.3.A在(3x-1x)n中令x=1,则由题意可得,2n=64,解得n=6.(3x-1x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r(3x)6-r(-1x)r=36-r(-1)rC6rx3-r,令3-r=0,得r=3,所以(3x-1x)6的展开式的常数项为33(-1)3C63=-540,故选A.4.A由(2-1x)8的展开式的通项Tr+1=C8r28-r(-1x)r可得,要想得到x2项,需第一个括号里取3x3,第二个括号里取C8127(-1x),或者第一个括号里取x4,第二个括号里
7、取C8226(-1x)2,故展开式中的x2项为3x3C8127(-1x)+x4C8226(-1x)2,化简得-1 280x2.故选A.5.B(1-x)10的展开式的通项Tr+1=C10r(-x)r=(-1)rC10rxr,分别令r=4,r=3,r=2,可得展开式中x4的系数为(-1)4C104+(-1)3C103+(-1)2C102=135.故选B.6.C(x4-1xx)n的展开式的通项Tr+1=Cnr(x4)n-r(-1xx)r=(-1)rCnrx4n-112r,当4n-112r=0,即n=118r时展开式中含有常数项,所以n的最小值为11.故选C.7.10(x2-1x)5的展开式的通项Tr
8、+1=C5r(x2)5-r(-1x)r=(-1)rC5rx10-2rx-r=(-1)rC5rx10-3r,令10-3r=4,得r=2,展开式中x4的系数是(-1)2C52=10.8.2依题意得,二项式系数和为2n=32,解得n=5.令x=1,得各项系数和为(a+1)5=243,所以a+1=3,所以a=2.9.12由条件可知(ax2-2x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(ax2)5-r(-2x)r=(-2)rC5ra5-rx10-3r,令10-3r=4,解得r=2,故(-2)2C52a3=5,解得a=12.10.C令x=1,则有2n=512n=9,所以函数f(r)=C9r,r0,9,rN,该函
9、数对应的正是(3x-1x)9的二项式系数,根据二项式系数对称性的特征,可知r=4或r=5时,f(r)取得最大值.11.B根据二项式系数的性质知,(x+y)2m的展开式中二项式系数最大的项有一项,易知C2mm=a,(x+y)2m+1的展开式中二项式系数最大的项有两项,易知C2m+1m=C2m+1m+1=b.又13a=7b,所以13C2mm=7C2m+1m,将各选项中m的取值逐个代入验证,知m=6满足等式,故选B.12.B解法一(x-y)5展开式的通项Tk+1=Ck5x5-k(-y)k=(-1)kC5kx5-kyk,所以(x+y)(x-y)5的展开式的通项为(-1)kC5kx6-kyk或(-1)k
10、C5kx5-kyk+1,则当k=3时,有(-1)kC5kx6-kyk=-10x3y3,当k=2时,有(-1)kC5kx5-kyk+1=10x3y3,所以x3y3的系数为0,故选B.解法二(x+y)(x-y)5=(x+y)(x-y)(x-y)(x-y)(x-y)(x-y),要想出现x3y3,有两种情况:(1)先在第一个多项式中取x,再在后五个多项式中任选两个多项式,在这两个多项式中取x,最后在余下的三个多项式中取-y,所以有xC52x2(-y)3=-10x3y3;(2)先在第一个多项式中取y,再在后五个多项式中任选三个多项式,在这三个多项式中取x,最后在余下的两个多项式中取-y,所以有yC53x
11、3(-y)2=10x3y3.所以x3y3的系数为0,故选B.13.-320(x-2y+1)(2x+y)6=x(2x+y)6-2y(2x+y)6+(2x+y)6,(2x+y)6的展开式的通项Tr+1=C6r(2x)6-ryr=C6r26-rx6-ryr.x(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为C6323=160;-2y(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为-2C6224=-480;(2x+y)6的展开式中无x4y3项.综上,(x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为-320.14.0或2因为x+a=(x+1)+(a-1),所以(x+a)9=(x+1)+(a-1)9,其展开式的通
12、项Tr+1=C9r(a-1)9-r(x+1)r,所以a5=C95(a-1)4=126,所以(a-1)4=1,解得a=0或2.15.210由于(x3+1x2)n的展开式中只有第6项的系数最大,所以展开式中共有11项,所以n=10.所以(x3+1x2)n=(x3+1x2)10,展开式的通项Tr+1=C10r(x3)10-rx-2r=C10rx30-5r,所以当r=6时,C10rx30-5r为常数项,所以常数项为210.16.2121易知(ax2+1x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(ax2)5-r(1x)r=C5ra5-rx10-5r2.令10-5r2=0,解得r=4,所以常数项为T5=C54a
13、5-4=10,解得a=2.由10-5r2Z,且0r5,可得r=1,3,5,因此展开式中的所有无理项为T2,T4,T6,其中T2=C5125-1x10-52=80x152,T4=C5325-3x10-152=40x52,T6=C5525-5x10-252=x-52,故展开式中所有无理项的系数之和为80+40+1=121.17.1980 (1+x+x2)3=(1+x)+x23,所以(1+x+x2)3的展开式中x3的系数为C31C21+C30C33=6+1=7,(1+x+x2)3的展开式中x2的系数为C31C20+C30C32=6,所以a3=7+26=19.对于(1+x+x2)3(1+2x)=a0+
14、a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,令x=0,得a0=1;令x=1,得a0+a1+a2+a7=81.所以a1+a2+a7=81-1=80.18.72f(x)=-(1+x)4+4(a-x)(1+x)3.令x=1,得-16+32(a-1)=64,解得a=72.19.7x52和7x74展开式中前三项的系数分别是1,n2,18n(n-1),由题意知,2n2=1+18n(n-1),解得n=8或n=1(舍去).于是 Tk+1=C8k(x)8-k(124x)k=C8k2-kx4-34k.第k+1项的系数是C8k2-k,第k项的系数是C8k-12-k+1,第k+2项的系数是C8
15、k+12-k-1.若第k+1项的系数最大,则C8k2-kC8k-12-k+1且C8k2-kC8k+12-k-1,解得2k3.又kZ,因此k=2,3.故系数最大的项是T3=C822-2x4-342=7x52和T4=C832-3x4-343=7x74.20.18(x+a+1x)6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r(a+1x)r=C6rx6-2r(a+1)r,令6-2r=2,则r=2,因此(x+a+1x)6展开式中含有x2项的系数为C62(a+1)2,由题意知C62(a+1)2240,则|a+1|4,得0a3,因为aN,所以a的取值集合A=0,1,2,3,所以由集合A中元素构成的无重复数字的三
16、位数共有C31A32=18(个).21.-1691解法一(x-2y)6=C60x6+C61x5(-2y)+C62x4(-2y)2+C63x3(-2y)3+C64x2(-2y)4+C65x(-2y)5+C66(-2y)6,得A=C60+C61+C62+C63+C64+C65+C66=26=64,B=C60+C61(-2)+C62(-2)2+C63(-2)3+C64(-2)4+C65(-2)5+C66(-2)6=1,C=C61(-2)+C63(-2)3+C65(-2)5=-364,所以ABC=-64364=-1691.解法二在二项式(x-2y)6的展开式中,二项式系数和A=26=64,令x=y=1,得各项系数和B=(-1)6=1,令f(x)=(x-2)6,得x的奇次幂项的系数和C=f(1)-f(-1)2=1-362=-364,所以ABC=-64364=-1691.