1、第1节数列的概念与简单表示法考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.1.数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.4.数列的通项公式如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来
2、表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.5.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.1.若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an2.在数列an中，若an最大，则若an最小，则1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)1，1，1，1，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN*，都有an1Sn1Sn.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的
3、数列.(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列.2.(多选)(2021长沙月考)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是()A.an(1)n11B.anC.an2sinD.ancos(n1)1答案ABD解析对n1，2，3，4进行验证，an2sin不合题意，其他都可能.3.(2022湘豫名校联考)已知数列an满足：对任意m，nN*，都有anamanm，且a22，那么a20()A.240 B.230 C.220 D.210答案D解析由anamanm，a22，得a20a2a18a2a2a16a210.故选D.4.(易错题)已知数列an的前n项
4、和为Snn23，则an的通项公式为_.答案an解析当n1时，a1S14，当n2时，anSnSn12n1，又a14不适合上式，所以an5.若ann29n10，则当数列an的前n项和Sn最大时，n的值为_.答案9或10解析要使Sn最大，只需要数列中正数的项相加即可，即需an0，n29n100，得1n10，又nN*，所以1n10.又a100，所以n9或10.6.已知ann2n，且对于任意的nN*，数列an是递增数列，则实数的取值范围是_.答案(3，)解析因为an是递增数列，所以对任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1).(*)因为n1，所以(2n1)3
5、，要使不等式(*)恒成立，只需3.考点一由an与Sn的关系求通项例1 (1)(多选)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则下列结论正确的是()A.an B.anC.Sn D.数列是等差数列答案BCD解析an1SnSn1Sn1Sn，两边同除以Sn1Sn，得1.是以1为首项，d1的等差数列，即1(n1)(1)n，Sn.当n2时，anSnSn1，又a11不符合上式，an(2)设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN.求a1的值；求数列an的通项公式.解令n1时，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.n2时，Tn12Sn1(n1)2
6、，则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.因为当n1时，a1S11也满足上式，所以Sn2an2n1(n1)，当n2时，Sn12an12(n1)1，两式相减得an2an2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，因为a1230，所以数列an2是以3为首项，公比为2的等比数列.所以an232n1，an32n12，当n1时也成立，所以an32n12.感悟提升(1)已知Sn求an的常用方法是利用an转化为关于an的关系式，再求通项公式.(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解
7、.方向2：利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解.训练1 (1)已知数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_.答案2n1解析当n1时，a1S12a11，a11.当n2时，Sn2an1，Sn12an11.，SnSn12an2an1，即an2an2an1，即an2an1(n2)，an是首项a11，q2的等比数列.ana1qn12n1.(2)设数列an满足a13a2(2n1)an2n，则an_.答案解析因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)，又由题设可得a1
8、2，满足上式，故an.考点二由数列的递推关系式求通项公式角度1累加法形如an1anf(n)，求an例2 在数列an中，a12，an1anln，则an等于()A.2ln n B.2(n1)ln nC.2nln n D.1nln n答案A解析因为an1anln ln(n1)ln n，所以a2a1ln 2ln 1，a3a2ln 3ln 2，a4a3ln 4ln 3，anan1ln nln(n1)(n2).把以上各式分别相加得ana1ln nln 1，则an2ln n(n2)，且a12也适合，因此an2ln n(nN*).角度2累乘法形如f(n)，求an例3 在数列an中，an1an(nN*)，且a1
9、4，则数列an的通项公式an_.答案解析由an1an，得，故，(n2)，以上式子累乘得，.因为a14，所以an(n2).因为a14满足上式，所以an.角度3构造法形如an1AanB(A0且A1，B0)，求an例4 (1)若a11，an12an3，则通项公式an_.答案2n13解析设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3).令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列.bn42n12n1，an2n13.(2)(2022广州调考)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn12Sn1，nN*，则数列an
10、的通项公式为_.答案an2n1，nN*解析因为Sn12Sn1，所以Sn12Sn1.因此Sn112(Sn1)，因为a1S11，S112，所以Sn1是首项为2，公比为2的等比数列.所以Sn12n，Sn2n1.当n2时，anSnSn12n1，a11也满足此式，所以an2n1，nN*.感悟提升(1)形如an1anf(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如an1anf(n)的递推关系式可化为f(n)的形式，可用累乘法，也可用ana1代入求出通项.(3)形如an1panq的递推关系式可以化为(an1x)p(anx)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键
11、.(4)形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.训练2 (1)已知数列an满足a12，anan1n(n2，nN*)，则an_.答案解析由题意可知，a2a12，a3a23，anan1n(n2)，以上式子累加，得ana123n.因为a12，所以an2(23n)2(n2).因为a12满足上式，所以an.(2)若数列an满足a11，an1，则数列an的通项公式an_.答案解析因为an1，a11，所以an0，所以，即.又a11，则1，所以是以1为首项，为公差的等差数列.所以(n1)，所以an.(3)已知数列an中，a13，且点Pn(an，an1)(nN)在直线4x
12、y10上，则数列an的通项公式an_.答案4n1解析因为点Pn(an，an1)(nN)在直线4xy10上，所以4anan110.所以an14.因为a13，所以a1.故数列是首项为，公比为4的等比数列.所以an4n1，故数列an的通项公式为an4n1.考点三数列的性质角度1数列的周期性例5 (2022衡水联考)若P(n)表示正整数n的个位数字，anP(n2)P(2n)，数列an的前n项和为Sn，则S2 022()A.1 B.0 C.1 009 D.1 011答案C解析由题意得a11，a20，a33，a42，a55，a64，a75，a82，a97，a100，a111，a120所以数列an为周期数列
13、，且周期为10.因为S105，所以S2 0225202(1)01 009.角度2数列的单调性例6 已知数列an的通项公式为an，若数列an为递减数列，则实数k的取值范围为()A.(3，) B.(2，)C.(1，) D.(0，)答案D解析因为an1an，由数列an为递减数列知，对任意nN*，an1an0，所以k33n对任意nN*恒成立，所以k(0，).故选D.角度3数列的最值例7 已知数列an的通项公式为an，则数列中的最大项为_.答案解析法一an1an，当n8时，an1an0，即an1an；当n8时，an1an0，即an1an；当n8时，an1an0，即an1an.则a1a2a3a8，a8a9
14、，a9a10a11，故数列an中的最大项为第8项和第9项，且a8a9.法二设数列an中的第n项最大，则即解得8n9.又nN*，则n8或n9.故数列an中的最大项为第8项和第9项，且a8a9.感悟提升1.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.2.求数列最大项与最小项的常用方法(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.(2)利用(n2)确定最大项，利用(n2)确定最小项.训练3 (1)已知数列an的通项公式是an，那么这个数列是()A.递增数列 B.递减数列C.
15、摆动数列 D.常数列答案A解析an1an0，an1an，选A.(2)(2021崇左二模)数列an满足：a1a21，anan1an2(n3，nN*).将数列an的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列bn，则b21()A.1 B.2 C.3 D.0答案B解析数列an满足a1a21，anan1an2(n3，nN*).a32，a43，a55，a68，a713，a821，a934，a1055，a1189，数列an的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列bn为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，可得数列bn构成一个周期为6的数列.b21b32.(3)(多选)在数列an中，an(n1)，则数列an
16、中的最大项可以是()A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项答案AB解析假设an最大，则有即所以即6n7，所以最大项为第6项和第7项.用不动点法求数列的通项若数列an的递推公式为an1f(an)，把此式中的an1、an均换成x得方程xf(x).我们把方程xf(x)的实数根x称为数列an的不动点.利用数列的非零不动点，即可简便快捷地求出数列an的通项公式.(1)若f(x)axb(a0，1)，p是f(x)的不动点.数列an满足an1f(an)，则an1pa(anp)，即anp是公比为a的等比数列.(2)设f(x)(c0，adbc0)，数列an满足an1f(an)，a1f(a1).若f(x)有
17、两个相异的不动点p，q，则k.例 (1)在数列an中，a11，an1an1，求数列an的通项公式.(2)若a11，an(nN*，且n2)，求数列an的通项公式.(3)设数列an满足8an1an16an12an50(nN*)，且a11，记bn.求数列bn的通项公式.解(1)设f(x)x1，令f(x)x，即x1x，得x2，x2是函数f(x)x1的不动点，an12(an2)，数列an2是以1为首项，以为公比的等比数列，an21，an2，nN*.(2)由x得an有两个相同的非零不动点1，则an11.两边取倒数得1.是以为首项，1为公差的等差数列，故当n2时，(n1)(1)n.an.又a11也满足上式.
18、an的通项公式为an.(3)由已知得an1，由方程x，得不动点x1，x2.，数列是首项为2，公比为的等比数列，2，解得an.故bn，nN*.1.数列an的前几项为，3，8，则此数列的通项可能是()A.an B.anC.an D.an答案A解析数列为，其分母为2，分子可表示为15(n1)5n4，因此通项公式可能为an.2.已知数列an满足an1，若a1，则a2 023()A.1 B. C.1 D.2答案B解析由a1，an1得a22，a31，a4，a52，可知数列an是以3为周期的数列，因此a2 023a36741a1.3.记Sn为数列an的前n项的和，若Sn2an1，则S6()A.31 B.31
19、 C.63 D.63答案D解析当n2时，anSnSn12an1(2an11)an2an1，当n1时，a1S11，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，an12n12n1，S663.4.(2022武汉月考)已知数列an的前n项和为Sn，a26，Sn(nN*).则数列an的通项公式为()A.an3n B.an3nC.ann4 D.ann22答案A解析当n1时，S1a1；当n2时，由Sn可得Sn1，上述两式作差得an，整理可得(n1)annan1，.由累乘法可得ana263n.因此，an3n(nN*).5.(多选)下列四个命题中，正确的有()A.数列的第k项为1B.已知数列an的通项公式为ann2
20、n50，nN*，则8是该数列的第7项C.数列3，5，9，17，33，的一个通项公式为an2n1D.数列an的通项公式为an，nN*，则数列an是递增数列答案ABD解析对于A，数列的第k项为1，A正确；对于B，令n2n508，得n7或n6(舍去)，B正确；对于C，将3，5，9，17，33，的各项减去1，得2，4，8，16，32，设该数列为bn，则其通项公式为bn2n(nN*)，因此数列3，5，9，17，33，的一个通项公式为anbn12n1(nN*)，C错误；对于D，an1，则an1an0，因此数列an是递增数列，D正确.6.已知数列an满足a11，an1(nN*).若bnlog2，则数列bn的
21、通项公式bn()A.n B.n1 C.n D.2n答案C解析由an1，得1，所以12，又12，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以122n12n.所以bnlog2log22nn.7.(2021大连一模)已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，且满足2an1Sn2(nN*)，则数列an的通项公式an_.答案解析因为2an1Sn2，当n2时，2anSn12，式减式得an1an，又当n1时，2a2S12，a2，所以数列an是以1为首项，公比为的等比数列，an.8.已知数列an的通项公式an，若a1a2ana1a2ak对nN*恒成立，则正整数k的值为_.答案5解析an，当n5时，an1；当n6时，ana1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*).数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10a8.故a的取值范围是(10，8).