1、山西省山西大学附属中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理考试时间：90分钟 满分：100分 考查范围：必修二 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 直线的倾斜角是（ ）A30B60C120D1352. 下列正确的命题的序号是（ ）平行于同一条直线的两条直线平行；平行于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两个平面垂直.ABCD3. 在下列四个正方体中，能得出直线与所成角为的是（ ）ABCD4. 已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（ ）A若，则B若，则
2、C若，则D若，则5. 已知为直线的倾斜角，若，则直线的斜率为( )A3B-4CD6. 对于直线，下列说法不正确的是（ ）A无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变B无论如何变化，直线一定不经过第三象限C无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限D当取不同数值时，可得到一组平行直线7. 若实数，满足约束条件，则（ ）A既有最大值也有最小值B有最大值，但无最小值C有最小值，但无最大值D既无最大值也无最小值8. 在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ）A点F的轨迹是一条线段 B与BE是异面直线C与不可能平行 D三棱锥的体积为定值9. 已知，直线：，
3、：，且，则的最小值为（ ）A2B4C8D910. 函数的最小值为（ ）ABC4D811. 在三棱锥ABCD中，ABD与CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A7B8CD12. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动若，则面积的最大值为（ ）A B C D二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。13. 若直线不经过第四象限，则k的取值范围为 14. 已知点，动点满足，则的最小值为 15. 如图，在正方体中，点在上，三棱锥的体积记为，正方体的体积记为，则_16. 已知，且直线与平行，则的值为_17. 如右图，在
4、正方体中，点分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为_三、解答题：共4道题，44分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。18.（10分）已知的顶点边上的中线所在直线方程为边上的高所在直线方程为，求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程.19.（10分）在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.20.（12分）设直线，().（1）直线恒过定点，求出定点坐标；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（3）设直线与轴轴的正半轴交于点
5、，求当(点为（1）中的定点)取得最小值时直线的方程.21.（12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点.（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求的值；（3）在（2）的前提下，求二面角的余弦值.山西大学附中20202021学年第一学期高二年级第 次模块诊断数学试题（理科）考查时间：90分钟 满分：100分 考查内容：必修二 一、 选择题，本题共12小题，每小题3分，共36分。题号123456789101112答案BDADDCCCCBDC二、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。13. 14 15 160或1 17三、 解答题：本题共4小题，共44分。
6、18.已知的顶点边上的中线所在直线方程为边上的高所在直线方程为，求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程.【详解】（1）设，可知点C在直线CM上，且，解得.即：.（2）设，则AB中点，可知点B在直线上，中点在直线上，解得. 直线的方程为，即为.19.在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【详解】（I）证明：取中点，连接.在中，有分别为、中点， 在矩形中，为中点， ， 四边形是平行四边形 而平面，平面， 平面 （II）解： 四边形是矩形， ， 平面 平面,平面 平面=，平面 平面 平面 平面，平面 ， ，满足 ， 平面 平面 点到平面的距
7、离等于点到平面的距离. 而 ，三棱锥的体积为.20.设直线，().（1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（3）设直线与轴轴的正半轴交于点，求当(点为（1）中的定点)取得最小值时直线的方程.【详解】（1）因为，由，解得，则定点为；（2）因为直线在两坐标轴上的截距相等，当直线过原点时，则，此时直线的方程为；当直线不过原点时，直线方程化为，则，解得，所求直线为；综上，直线方程为或；（3）设，则直线的方程可设为，又直线过点，则，而当且仅当时等号成立，此时直线的方程为.21.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点.（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求的值.（理科）（3）在（2）的前提下，求二面角的余弦值.【详解】解：（1）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形.因为E为的中点，所以.又，因此.因为平面，平面，所以.而平面，平面且，所以平面又平面，所以.（2）设，H为上任意一点，连接，.由（1）知平面，则为EH与平面所成的角.在中，所以当最短时，最大，即当时，最大.此时，因此.又，所以，所以.（3）因为平面，平面，所以平面平面.过E作于O，则平面，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，在中，又F是PC的中点，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值为.