1、课时过关检测(五十一) 直线与椭圆的位置关系A级基础达标1直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，则实数m的取值范围是()Am9B9m10C1m9D1m9解析：C直线ykx1恒过定点P(0,1)，焦点在x轴上的椭圆1，可得0m9，由直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，可得P在椭圆上或椭圆内，即有1，解得m1，由可得1m9故选C2若直线mxny9和圆x2y29没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点有()A1个B至多一个 C2个D0个解析：C因为直线mxny9和圆x2y29没有交点，所以3，即m2n29，所以1，即点(m，n)在椭圆1内，所以过点(m，n)的直线与椭圆1的交
2、点有2个，故选C3已知F1，F2是椭圆G：1的左、右焦点，过F1作直线l交G于A，B两点，若|AB|，则F2AB的面积为()A B CD解析：C由G：1知c2524232，所以F1(3，0)，把x3代入椭圆方程可得y2，故y，又|AB|，所以ABx轴，则S|AB|2c6，故选C4已知点P(x，y)是椭圆1上任意一点，则点P到直线l：yx5的最大距离为()ABC5D5解析：A设直线yxm与椭圆相切，由得13x218mx9m2360，(18m)2413(9m236)0，解得m，切线方程为yx和yx，与l距离较远的是yx，所求最大距离为d故选A5(2022青岛质检)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如
3、图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为()ABCD解析：D设内层椭圆方程为1(ab0)，内外椭圆离心率相同，外层椭圆可设成1(m1)，设切线AC的方程为yk1(xma)，与1联立得：(b2a2k)x22ma3kxm2a4ka2b20，由0, 则k，同理可得k(m21)，kk2, 则，因此，e故选D6(多选)设椭圆1的右焦点为F，直线ym(0m)与椭圆交于A，B两点，则()A|AF|BF|为定值BABF的周长的取值范围是6,12C当m
4、时，ABF为直角三角形D当m1时，ABF的面积为解析：ACD设椭圆的左焦点为F，则|AF|BF|，|AF|BF|AF|AF|6为定值，A正确；ABF的周长为|AB|AF|BF|，|AF|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0,6)，ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y与椭圆方程联立，可解得A，B，又F(，0)，20ABF为直角三角形，C正确；将y1与椭圆方程联立，解得A(，1)，B(，1)，SABF21，D正确故选A、C、D7已知F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，|F1F2|2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S4，则弦长|A
5、B|_解析：S4，2c|yAyB|4，又|F1F2|2，|yAyB|4，直线过椭圆左焦点且斜率为2，|AB|yAyB|42答案：28直线5x4y10交椭圆C：1(ab0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为_解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)，则两式相减得b2(yy)a2(xx)0，即，即kMN，因为kMN，kOP，所以，所以e答案：9 (2022衡水模拟)已知直线ykx1与椭圆1交于点A，B，与y轴交于点P，若3，则实数k的值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线ykx1与y轴交于点P，所以P
6、(0，1)联立直线与椭圆方程得消去y得(34k2)x28kx80，0由根与系数的关系得x1x2，x1x2因为3，所以(x1，1y1)3(x2，y21)，所以x13x2，将其代入x1x2，得x2将x13x2，x2代入x1x2，可得32，解得k2，所以k答案：10已知点B是圆C：(x1)2y216上的任意一点，点F(1,0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)直线l：y2xm与E交于点M，N，且|MN|，求m的值解：(1)由条件可得|PC|PF|PC|PB|BC|4|FC|2，所以动点P的轨迹E是以F，C为焦点的椭圆，设其方程为1(ab0)，所以2a4,2c2，所
7、以a2，c1，b，所以动点P的轨迹方程为1(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立可得19x216mx4m2120，由256m276(4m212)0，得m(，)，由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为|MN|，解得m1B级综合应用11(多选)已知P是椭圆E：1(m0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k20)，若|k1|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A椭圆E的方程为y21B椭圆E的离心率为C曲线ylog3x经过E的一个焦点D直线2xy20与E有两个公共点解析：ACD设P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0x
8、1，y0y1，则N(x1，y1)，1，1，所以ym，ym，k1k2于是|k1|k2|222，依题意，得1，解得m1，故E的方程为y21，A正确；离心率为，B错误；焦点坐标为(，0)，曲线ylog3x经过焦点(，0)，C正确；又直线2xy20过点(1,0)，且点(1,0)在E内，故直线2xy20与E有两个公共点，D正确故选A、C、D12已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线AB与椭圆交于A，B两点，则F1AB的周长是_，F1AB内切圆面积的最大值是_解析：根据椭圆定义可知F1AB的周长C4a4；在F1AB内，SCr2r，问题转化为求F1AB面积最大值，设AB：xmy1，A(x1
9、，y1)，B(x2，y2)，则(m22)y22my10于是S|F1F2|y1y2|，则2rrr2，等号在m0时取到答案：413已知椭圆C：1(ab0)左焦点为F1(1,0)，经过点F1的直线l与圆F2：(x1)2y28相交于P，Q两点，M是线段PF2与C的公共点，且|MF1|MP|(1)求椭圆C的方程；(2)l与C的交点为A，B，且A恰为线段PQ的中点，求ABF2的面积解：(1)由圆F2：(x1)2y28可得|PF2|2，因为|MF1|MP|，所以2a|MF1|MF2|MP|MF2|PF2|2，即a，又c1，故b1，所以椭圆C的方程为y21(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A为线
10、段PQ的中点，则AF1AF2，所以xy10，又y1，解得x10，y11，若y11，则A(0,1)，直线l的方程为yx1，由解得即B，所以ABF2的面积S|F1F2|y1y2|2，若y11，同理可求得ABF2的面积S，综上所述，ABF2的面积为C级迁移创新14如图，椭圆1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H若F1，H是线段MN的三等分点，则F2MN的周长为()A20B10 C2D4解析：D由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(c,0)，点N的横坐标为c，联立方程，得得N，H，M把点M的坐标代入椭圆方程得1，化简得c2，又c2a2
11、4，a24，得a25，a由椭圆的定义知|NF2|NF1|MF2|MF1|2a，F2MN的周长为|NF2|MF2|MN|NF2|MF2|NF1|MF1|4a4，故选D15定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比已知椭圆C1：y21(1)若椭圆C2：1，试判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的焦点在x轴上的椭圆Cb的标准方程若在椭圆Cb上存在两点M，N关于直线yx1对称，求实数b的取
12、值范围解：(1)椭圆C2与C1相似如图，在同一坐标系中作出C1，C2的图象椭圆C2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为4的等腰三角形，而椭圆C1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为2的等腰三角形，两三角形的三边对应成比例，这两个等腰三角形相似，且相似比为21，椭圆C2和C1相似，且相似比为21(2)椭圆Cb的方程为1(b0)由题意，可设lMN：yxt，M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)联立消去y，整理得5x28tx4(t2b2)0，则x0t，y0MN的中点在直线yx1上，t1，解得t故直线lMN的方程为yx若M，N存在，则方程5x28x40有两个不同的实数解，24540，解得b