1、2020-2021学年度高一下学期期末考试模拟试卷03详细解析教师版命题人：全练优化高中命题组卷I（选择题） 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ） 1. 已知复数，则等于( ) A.B.C.D.【答案】A【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解答】解：复数，则.故选.2. 如图所示正三棱锥中，是上一点，且，则三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.【答案】D【考点】球的表面积和体积球内接多面体棱锥的结构特征【解答】解： 三棱锥是正三棱锥， ， 平面， ，即，两两垂直 ， .设外接球的半径为，则， 球的表面积.故选.3. 如图，已知，分别是棱长为的正方体的棱，
2、的中点，则截面与底面的夹角的余弦值是( ) A.B.C.D.【答案】A【考点】二面角的平面角及求法【解答】解：因为平面，过作与，连接，如图，则即为截面与底面所成二面角的平面角.正方体的棱长为，在中，因为，所以，所以，所以.故选4. 已知正三棱锥的四个顶点，都在球的球面上，是正三角形，正三棱锥的高为，且，则球的体积为（ ） A.B.C.D.【答案】D【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体5. 棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）A.B.C.D.【答案】C【考点】简单组合体的结构特征【解答】解：
3、棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图为，则图中，为中点，则，在中， ， 三角形的面积是，故选6. 在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，四棱锥为阳马，底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是（ ） A.B.平面C.与平面所成的角等于与平面所成的角D.与所成的角等于与所成的角【答案】D【考点】异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面所成的角7. 为了了解某校高三名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于分为及格，不低于分为优秀，则及格率与优秀人数分别是( ) A.，B.，C.，D.
4、，【答案】C【考点】频数与频率频率分布直方图【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为，优秀的频率，优秀的人数.故选.8. 考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的条棱，甲从这条棱中任选一条，乙从这条棱中任选一条，则这两条棱互相垂直的概率为（ ） A.B.C.D.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式空间中直线与直线之间的位置关系【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这条棱中任选一条，乙从这条棱中任选一条，共有种结果，满足条件的事件是这两条棱互相垂直，当甲选底面上的一条直角边时，乙有种选法，共有条直角边，乙共有种结果，当甲选底面上的一条斜边时，乙有种选法，几何体有条地面的
5、斜边，共有种结果，当甲选三条侧棱之一时，乙有种选法，共有种结果，综上所述共有种结果， 两条棱互相垂直的概率是：，故选 二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ） 9. 如图所示，在四边形中，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（） A.B.C.四面体的体积为D.直线与平面所成角为【答案】B,C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算空间中直线与平面之间的位置关系两条直线垂直的判定直线与平面所成的角【解答】解：对于，若，又，则平面，所以，显然与题意矛盾，故错误；对于，因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以因为，所以，所以，所以，即，故正确
6、；对于，四面体的体积，故正确；对于，由前面知道平面，所以为直线与平面所成角的平面角，所以，故错误故选10. 已知，表示直线， ，表示平面定义：若把命题中的直线改为平面，平面改为直线，得到的命题为真命题，则命题叫做对偶命题下列命题为对偶命题的是（） A.，则B.，则C.，则D.，则【答案】A,C,D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解答】解：将各个选项中命题的直线改为平面，平面改为直线，则：，则根据平行线的传递性可知，故该选项正确；，则不一定成立，故该选项错误；，则一定成立，故该选项正确；，则一定成立，故该选项正确.故选.11.
7、下列命题中是真命题的有() A.有，三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为B.一组数据，的平均数、众数、中位数相同C.若甲组数据的方差为，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是甲D.一组数，的分位数为【答案】B,D【考点】分层抽样方法极差、方差与标准差众数、中位数、平均数【解答】解：，乙、丙抽取的个体数分别为，则样本容量为，故错误；，平均数为，中位数为，众数为，故正确；，乙的平均数为，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故错误；，将该组数据总小到大排列，由，则该组数据的分位数为，故正确故选12. 甲、乙、丙、丁名志愿者报名参加三项志愿者活动，每人限报一项，每项活动均有人报
8、名，则( ) A.不同的报名方法有种B.不同的报名方法有种C.甲，乙报名参加同一项志愿者活动的概率是D.甲，乙报名参加同一项志愿者活动的概率是【答案】B,D【考点】古典概型及其概率计算公式排列、组合的应用【解答】解：人分三组参加三项活动共种，甲、乙参加同一项，丙、丁两人各选一项，共种，所求概率故选卷II（非选择题） 三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ） 13. “”由个大写的英文字母构成，若从这个字母中任选个，则取到的个字母中恰有个字母为中心对称图形的概率为_. 【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解答】解：从，这个字母
9、中任取个有，共种不同的取法，则取到的个字母中恰有个字母为中心对称图形的有，共种不同的取法，故所求概率为故答案为：14. 中， ，边上的中线，则_. 【答案】【考点】余弦定理【解答】解：由余弦定理得，因为，所以，解得，此时所以.故答案为：.15. 魔方又叫鲁比克方块，是由匈牙利建筑学教授鲁比克艾尔内于年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹通常意义下的魔方，即指三阶魔方，三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，共由个色块组成现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，
10、只可以扭动最外侧的六个表面，某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记事件为“顶面白色色块的个数为”，则事件发生的概率 _ 【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解答】解：总的基本事件共有种，事件包含种，故所求的概率故答案为：16. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为），事件为“正面朝上的点数为”，事件为“正面朝上的点数为偶数”，则_. 【答案】【考点】互斥事件的概率加法公式【解答】解：由题意可得，且事件与事件互斥， 故答案为： 四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ） 17. 记的内角，的对边分别为，已知，点在边上， . 证明：；若，求【答
11、案】证明：在中，由正弦定理得，又， ，即解：若，则，则整理得，又， ，等式两边同除以，得，令，则，即，即， 或.当时，此时（舍）， ， 【考点】正弦定理余弦定理【解答】证明：在中，由正弦定理得，又， ，即解：若，则，则整理得，又， ，等式两边同除以，得，令，则，即，即， 或.当时，此时（舍）， ， 18. 随着智能手机的普及，大学生迷恋智能手机的现象非常严重为了调查双休日大学生使用智能手机的时间，采用不记名方式随机调查了大一年级名学生，将名大学生使用智能手机的时间分成组： ，分别加以统计，得到如下频率分布直方图，根据频率分布直方图完成下列问题 估计学生使用智能手机的平均时间（同一组中的数据用该
12、组区间的中点值作代表）；用分层抽样的方法从使用手机时间在区间，的学生中抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生，求这名学生取自不同区间的概率【答案】解：根据题意，平均时间的估计值为，所以学生使用智能手机的平均时间为小时用分层抽样的方法从使用时间在区间，中抽取的人数分别为，分别设为，所有的基本事件为，共种，设这名学生取自不同区间为事件，符合条件的总事件数为种， ，故这名学生取自不同区间的概率为【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率分层抽样方法【解答】解：根据题意，平均时间的估计值为，所以学生使用智能手机的平均时间为小时用分层抽样的方法从使用时间在区间，中抽取的人数分别为，分别
13、设为，所有的基本事件为，共种，设这名学生取自不同区间为事件，符合条件的总事件数为种， ，故这名学生取自不同区间的概率为19. 袋中装有个形状、大小完全相同的球，其中黑球个、白球个、红球个规定取出一个黑球记分，取出一个白球记分，取出一个红球记分；在抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的个球规定取出球的总积分多者获胜 求甲、乙成平局的概率；如果可以选择先后取球的顺序，你会先取还是后取，为什么？【答案】解：记黑球为，号；白球为，号；红球为，号则甲取球的所有可能性共有下列种情况：，平局时甲、乙两人的得分均应该为分，所以，甲应取出黑、白、红小
14、球各一个，共有种情况故平局的概率为甲获胜时，得分只能是分或分，即取出的个小球只能是红白，红白，或红黑，共有种情况，故甲（先取者）获胜的概率为所以乙（后取者）获胜的概率为故先取后取获胜的可能性是一样的【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解答】解：记黑球为，号；白球为，号；红球为，号则甲取球的所有可能性共有下列种情况：，平局时甲、乙两人的得分均应该为分，所以，甲应取出黑、白、红小球各一个，共有种情况故平局的概率为甲获胜时，得分只能是分或分，即取出的个小球只能是红白，红白，或红黑，共有种情况，故甲（先取者）获胜的概率为所以乙（后取者）获胜的概率为故先取后取获胜的可能
15、性是一样的20. 如图，在三棱锥中，平面平面， ，为的中点 证明：；若是边长为的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积【答案】证明：在中，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以解：如图，取的三等分点，使得，取的三等分点，使得，连接，因为，所以，又，所以，所以，由知，平面，所以平面，所以，又，所以，所以，同理，所以，并且.因为，所以，所以，因为，平面，所以平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，又因为，所以为等腰直角三角形，所以，在中，由相似易得，所以【考点】两条直线垂直的判定二面角的平面角及求法柱体、锥体、台体的体积计算【解答】证明：在中，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以
