1、第3节导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.1.函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.则a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值.(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.则b叫做函数yf(x)的极大值点，f
2、(b)叫做函数yf(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在区间a，b上的最大(小)值的步骤：求函数yf(x)在区间(a，b)上的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局
3、部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则x0为极值点.()(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.()(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.()(4)函数f(x)在区间a，b上一定存在最值.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)反例：f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点.(3)反例：f(x)x2在区间(1，2)上的最小值为0.2.如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析
4、由题意知在x1处f(1)0，且其两侧导数值符号为左负右正.3.(多选)(2022青岛月考)已知f(x)，则f(x)()A.在(，)上单调递减B.在(，1)上单调递增C.有极大值，无极小值D.有极小值，无极大值答案BC解析由题意知f(x)，当x1时，f(x)0，f(x)递增，x1时，f(x)0，f(x)递减，f(1)是函数的极大值，也是最大值f(1)，函数无极小值.4.(2021新乡三模)某冷饮店的日销售额y(单位：元)与当天的最高气温x(单位：，20x40)的关系式为yx2x3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为()A.907元 B.910元 C.915元 D.920元答案C解析yx2x3，20
5、x40，yxx2x(x38).当20x38时，y0，即函数在20，38上单调递增，当38x40时，y0，即函数在38，40上单调递减，当x38时，函数取值最大值，ymax382383915.5.(易错题)函数f(x)x3ax22x1有极值，则实数a的取值范围是_.答案(，)(，)解析f(x)3x22ax2，由题意知f(x)有变号零点，(2a)24320，解得a或a.6.若函数f(x)x34xm在0，3上的最大值为4，则m_.答案4解析f(x)x24，x0，3，当x0，2)时，f(x)0，当x(2，3时，f(x)0，所以f(x)在0，2)上单调递减，在(2，3上单调递增.又f(0)m，f(3)3
6、m.在0，3上，f(x)maxf(0)4，所以m4.考点一利用导数求函数的极值角度1根据函数图象判断极值例1 (多选)(2022重庆检测)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则()A.3是函数yf(x)的极值点B.1是函数yf(x)的极小值点C.yf(x)在区间(3，1)上单调递增D.2是函数yf(x)的极大值点答案AC解析根据导函数的图象可知，当x(，3)时，f(x)0，所以函数yf(x)在(，3)上单调递减，在(3，1)上单调递增，可知3是函数yf(x)的极值点，所以A正确.因为函数yf(x)在(3，1)上单调递增，可知1不是函数yf(x)的极小值点，2也不是函数yf(x)的极
7、大值点，所以B错误，C正确，D错误.感悟提升由图象判断函数yf(x)的极值，要抓住两点：(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2求已知函数的极值例2 已知函数f(x)ln xax(aR).(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解(1)当a时，f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)l
8、n 21故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值.(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，则函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，若x，则f(x)0，若x，则f(x)0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x.感悟提升运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.角度3由函数的极值求参数例3 设函数g(x)
9、ln xmx，若g(x)存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围.解g(x)ln xmx，g(x)m，令h(x)mx2xm，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2xm0有两个不相等的正数根x1，x2.0，h(0)m0，故只需满足即可，解得0m.故m的取值范围为.感悟提升1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.训练1 (1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的
10、是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.(2)设函数f(x)，若f(x)在x2处取得极大值，求a的取值范围.解因为f(x)，所以f(x).若a0，令f(x)0，则x或x2，当2时，即0，a0或a1.若a1时，x(，2)2f(x)00f(x)极大值极小值此时，f(x)在x2处取得极大值，
11、符合题意.若a0时，当x2或x时，f(x)0，当2x时，f(x)0，f(x)在x2处取得极小值，不符合题意；若2，即1a0时，当x或x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，f(x)在x2处取得极小值，不符合题意；若2，即a1时，f(x)0，f(x)无极值，不符合题意；若a0时，f(x)，当x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，f(x)在x2处取得极小值，不符合题意.综上，a的取值范围为(，1).考点二利用导数求函数的最值例4 (2021北京卷)已知函数f(x).(1)若a0，求yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和
12、最小值.解(1)当a0时，f(x)，则f(x).当x1时，f(1)1，f(1)4，故yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为y14(x1)，整理得4xy50.(2)已知函数f(x)，则f(x).若函数f(x)在x1处取得极值，则f(1)0，即0，解得a4.经检验，当a4时，x1为函数f(x)的极大值，符合题意.此时f(x)，其定义域为R，f(x)，令f(x)0，解得x11，x24.f(x)，f(x)随x的变化趋势如下表：x(，1)1(1，4)4(4，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间为(，1)，(4，)，单调递减区间为(1，4).极大值为f(1)1，极小值为f(4)
13、.又因为x0；x时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(2，2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以a2.3.函数f(x)在2，)上的最小值为()A. B.e2 C. D.2e答案A解析依题意f(x)(x22x3)(x3)(x1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，)上单调递增，故函数在x3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f(3).4.已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()A. B. C. D.答案C解析由题中图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1bc0，84b2c0，解得b3，c2，所以f(
14、x)x33x22x，所以f(x)3x26x2，x1，x2是方程3x26x20的两根，所以x1x22，x1x2，xx(x1x2)22x1x242.5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x4)f(x)，函数f(x2)为偶函数，当x(0，2)时，f(x)x3x26xa.若x(2，0)时，f(x)的最大值为，则a()A.3 B.2 C. D.答案A解析由函数f(x2)是偶函数，得f(x)关于直线x2对称，即f(x4)f(x)，因为f(x4)f(x)，所以f(x)f(x)，故f(x)为奇函数，因为f(x)在(2，0)上的最大值为，所以f(x)在(0，2)上的最小值是，当x(0，2)时，f(x)3x29
15、x6，令f(x)0，得x1，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，故x1时，f(x)取极小值，即最小值，故f(x)minf(1)a，故a3.6.(多选)(2022烟台模拟)已知函数f(x)，则下列结论正确的是()A.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值C.当ek0时，方程f(x)k有且只有两个实根D.若xt，)时，f(x)max，则t的最小值为2答案ABC解析由f(x)0，得x2x10，x，故A正确；f(x)，当x(，1)(2，)时，f(x)0，当x(1，2)时，f(x)0，f(x)在(，1)，(2，)上单调递减，在(1，2)上单调递增，f
16、(1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确；又f(1)e，f(2)，且当x时，f(x)，x时，f(x)0，f(x)的图象如图所示，由图知C正确，D不正确.7.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件.答案3解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y时，f(x)2x12ln x，所以f(x)2.当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(x)在上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)212ln 11；当0ln e1.综上，f(x)min1.10.已知函数f(x)exco
17、s xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减，所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，a)时，xa
18、0，g(x)单调递增；当x(a，0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.所以，当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)a3sin a，当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.当a0时，g(x)x(xsin x)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.所以，当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sin a.综上所述：当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sin a.