1、第一章 计数原理 1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1二项式定理(ab)n_(nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n 的二项展开式，展开式中一共有_项(3)二项式系数：各项的系数_(k0,1,2，n)叫做二项式系数C0nanC1nan1bC2nan
2、2b2CknankbkCnnbnn1Ckn2二项展开式的通项公式(ab)n 展开式的第_项叫做二项展开式的通项，记作 Tk1_.k1Cknankbk课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考 1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示 二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念二项式系数是指 C0n，C1n，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b 的值有关课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考 2：二项式(ab)n 与(ba)n 展开式中第 k
3、1 项是否相同？提示 不同(ab)n 展开式中第 k1 项为 Cknankbk，而(ba)n 展开式中第 k1 项为 Cknbnkak.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n 展开式中共有 n 项()(2)在公式中，交换 a，b 的顺序对各项没有影响()(3)Cknankbk 是(ab)n 展开式中的第 k 项()(4)(ab)n 与(ab)n 的二项式展开式的二项式系数相同()课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)因为(ab)n 展开式中共有 n1 项(2)因为二项式的第 k1
4、项 Cknankbk 和(ba)n 的展开式的第 k1 项Cknbnkak 是不同的，其中的 a，b 是不能随便交换的(3)因为 Cknankbk 是(ab)n 展开式中的第 k1 项(4)因为(ab)n 与(ab)n 的二项式展开式的二项式系数都是 Crn.答案(1)(2)(3)(4)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(x1)n 的展开式共有 11 项，则 n 等于()【导学号：95032072】A9 B10C11 D12B 由二项式定理的公式特征可知 n10.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3(y2x)8 展开式中的第 6 项的二项式
5、系数为()AC68BC58(2)5CC58DC68(2)6C 由题意可知：Tk1Ck8y8k(2x)kCk8(2)kxky8k当 k5 时，二项式系数为 C58.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4化简：(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1_.【导学号：95032073】x4(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1(x1)14x4课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难二项式定理的正用和逆用 (1)求x 12 x4的展开式(2)化简：C0n(x1)nC1n(x1)n1C2n(x1)n2(1)kCkn(x1)n
6、k(1)nCnn.思路探究(1)解答本题先将 x看成 a，12 x看成 b，利用二项式定理展开，也可以先将x 12 x4化简后再展开(2)可先把 x1 看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)法一：x 12 x4C04(x)4C14(x)3 12 xC24(x)212 x2C34x12 x3C4412 x4x22x32 12x 116x2.法二：x 12 x42x12 x4 116x2(2x1)4 116x2(16x432x324x28x1)x22x32 12x 116x2.(2)原式C0n(x1)nC1n(x1)n1(
7、1)C2n(x1)n2(1)2Ckn(x1)nk(1)kCnn(1)n(x1)(1)nxn.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(ab)n 展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2)逆用：将展开式合并成二项式(ab)n 的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1(1)求二项式3 x 1x4的展开式；(2)化简
8、(x2)55(x2)410(x2)310(x2)25(x2)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)3 x 1x4C04(3 x)4C14(3 x)3 1x C24(3 x)2 1x2C34(3 x)1x3C44 1x481x2108x5412x 1x2.(2)原式C05(x2)5C15(x2)4C25(x2)3C35(x2)2C45(x2)C55(x2)01(x2)151(x1)51.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页二项展开式通项的应用 已知二项式2 x1x6(1)求展开式第 4 项的二项式系数，(2)求展开式第 4 项的系数，(3)求
9、第 4 项.【导学号：95032074】思路探究 利用二项式定理的展开式中某一项课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 由已知得2 x1x6的展开式的通项是Tk1Ck6(2 x)6k1xkCk626k(1)kx63k2(k0,1,2，6)(1)展开式第 4 项的二项式系数为 C3620.(2)展开式第 4 项的系数为 C3623(1)3160.(3)展开式的第 4 项为 T4160 x32.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法(1)二项式系数都是组合数 Ckn(k0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式
10、系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念(2)第 k1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ckn.例如，在(12x)7 的展开式中，第四项是 T4C37173(2x)3，其二项式系数是C3735，而第四项的系数是 C3723280.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2已知x2xn展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162.(1)求 n 的值；(2)求展开式中含 x3 的项，并指出该项的二项式系数课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)因为 T3C2n(x)n22x24C2nxn62，T2C1n(x)n12x
11、 2C1nxn32，依题意得 4C2n2C1n162，所以 2C2nC1n81，所以 n281，n9.(2)设第k1项含x3项，则Tk1Ck9(x)9k2xk(2)kCk9x93k2，所以93k23，k1，所以第二项为含 x3 的项：T22C19x318x3.二项式系数为 C199.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页求展开式中的特定项 探究问题1如何求x1x4展开式中的常数项提示 利用二项展开式的通项 Ck4x4k 1xkCk4x42k 求解，令 42k0，则 k2，所以x1x4展开式中的常数项为 C24432 6.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重
12、难返首页2(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的？提示(ab)(cd)展开式中的各项都是由 ab 中的每一项分别乘以 cd 中的每一项而得到课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3如何求x1x(2x1)3 展开式中含 x 的项？提示 x1x(2x1)3 展开式中含 x 的项是由 x1x中的 x 与1x分别与(2x1)3 展开式中常数项 C331 及 x2 项 C1322x212x2 分别相乘再把积相加得 xC331xC13(2x)2x12x13x.即x1x(2x1)3 展开式中含 x 的项为 13x.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 已知
13、在3 x 33 xn的展开式中，第 6 项为常数项(1)求 n；(2)求含 x2 项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.【导学号：95032075】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 写出通项Tr1 令r5，x的指数为零 1求出n值 修正通项公式 2求x2项的系数 考察x指数为整数 分析求出k值 3写出有理项课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 通项公式为：Tr1Crnxnr3 (3)rxr3Crn(3)rxn2r3.(1)第 6 项为常数项，r5 时，有n2r30，即 n10.(2)令102r32，得 r12(106)2，所求的系
14、数为 C210(3)2405.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)由题意得，令102r3k(kZ)，则 102r3k，即 r532k.rZ，k 应为偶数，k2,0，2，即 r2,5,8，所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 C210(3)2x2，C510(3)5，C810(3)8x2.即 405x2，61 236,295 245x2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法1求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第 k 项，TkCk1n ank1bk1；(2)求含 xk 的项(或 xpyq 的项)；(3)求常数项；
15、(4)求有理项课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练3(1)在(1x3)(1x)10 的展开式中，x5 的系数是_(2)若x ax26展开式的常数项为
16、60，则常数 a 的值为_课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)207(2)4(1)x5 应是(1x)10 中含 x5 项、含 x2 项分别与 1，x3 相乘的结果，其系数为 C510C210(1)207.(2)x ax26的展开式的通项是 Tk1Ck6x6k(a)kx2kCk6x63k(a)k，令 63k0，得 k2，即当 k2 时，Tk1为常数项，即常数项是 C26a，根据已知得 C26a60，解得 a4.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1(x 2)10 展开式中 x6 项的二项式系数为()AC410 BC41
17、0C4C410D4C410B 含 x6 项为展开式中第五项，所以二项式系数为 C410.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(12x)5 的展开式中，x2 的系数等于()【导学号：95032076】A80 B40C20 D10B(12x)5 的展开式的通项为 Tr1Cr5(2x)r2rCr5xr，令 r2，得 22C2541040，故选 B.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3在2x21x6的展开式中，中间项是_160 x3 由 n6 知中间一项是第 4 项，因为 T4C36(2x2)31x3C36(1)323x3，所以 T4160 x3.课
18、时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4在x2 12x9的展开式中，第 4 项的二项式系数是_，第 4 项的系数是_84 212 Tk1Ck9(x2)9k 12xk12kCk9x183k，当 k3 时，T4123C39x9212 x9，所以第 4 项的二项式系数为 C3984，项的系数为212.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5求x3 23x25的展开式的第三项的系数和常数项.【导学号：95032077】解 T3C25(x3)323x22C2549x5，所以第三项的系数为 C2549409.通项 Tk1Ck5(x3)5k23x2k23kCk5x155k，令 155k0，得 k3，所以常数项为 T4C35(x3)223x238027.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（七）点击上面图标进入 谢谢观看
