1、2012届高考数学（文）二轮复习课件：第9讲 等差数列与等比数列主干知识整合第9讲 主干知识整合 1Sn 与 an 的关系在数列an中，Sna1a2an，从而 anS1，n1，SnSn1，n2.2等差数列性质如果数列an是公差为 d 的等差数列，则(1)ana1(n1)d，Snna1nn12dna1an2.(2)对正整数 m，n，p，q，amanapaqmnpq，aman2apmn2p.第9讲 主干知识整合 3等比数列性质如果数列an是公比为 q 的等比数列，则(1)ana1qn1，Sna11qn1qa1anq1q，q1，na1，q1.(2)对正整数 m，n，p，q，amanapaqmnpq，
2、amana2pmn2p.4等差、等比数列前 n 项和的性质若等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sm，S2mSm，S3mS2m，为等差数列；若等比数列的前 n 项和为 Sn，则在公比不等于1 时，Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列5等差、等比数列单调性等差数列的单调性由公差 d 的范围确定，等比数列的单调性由首项和公比的范围确定例 1(1)2011天津卷 已知an是等差数列，Sn 为其前 n 项和，nN*.若 a316，S2020，则 S10 的值为_(2)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若a11，公差 d2，Sk2Sk24，则 k()A8 B7 C6 D5第9讲 要点热点探究
3、 探究点一 等差数列的通项、前n项和的性质要点热点探究【点评】在等差数列问题中，最基本的量是其首项和公差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本量方法，其中蕴含着方程思想的运用(1)110(2)D【解析】(1)设等差数列的首项为 a1，公差为 d，由题意得，a3a12d16，S2020a120192d20，解之得 a120，d2，S1010201092(2)110.(2)Sk2Skak1ak22a1(2k1)d4k4，4k424，可得 k5，故选 D.第9讲 要点热点探究【分析】(1)要抓住an为等差数列，列出关于 a1，d 的方程组，求出 a
4、1，d 可得；(2)思路一：直接利用前 n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可思路二：利用 Sk2Skak2ak1，根据通项公式即可求解，运算稍简第9讲 要点热点探究(1)在等差数列an中，a22，a34，则 a10()A12 B14 C16 D18(2)2011江西卷 设an为等差数列，公差 d2，Sn 为其前 n 项和若 S10S11，则 a1()A18 B20 C22 D24 (1)D(2)B【解析】(1)设等差数列an的公差为 d，由 a22，a34，得a1d2，a12d4，解得a10，d2，a10a1(101)d9d18.故选 D.(2)由 S10S11，得 a11S11S100，
5、a1a11(111)d0(10)(2)20.故选 B.第9讲 要点热点探究 例 2 设an为等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 a1a2a5a88，则 S7()A13 B14 C15 D16【分析】充分利用等差中项的性质特点，化简求值第9讲 要点热点探究 B【解析】依题意，由于 a1a52a3，a2a82a5，由 a1a2a5a88 得 a3a54，S77a1a727a3a52 14，选择 B.【点评】本题考查了等差数列性质的运用，常见等差数列的性质为：若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则 amanapaq，Sm，S2mSm，S3mS2m，仍然成等差数列；aman(mn)ddamanmn
6、.第9讲 要点热点探究 在等差数列an中，a1a2a39，a4a5a627，则 a7a8a9()A36B45C63D81第9讲 要点热点探究 B【解析】依题意，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9 构成等差数列，所以 a7a8a9921845，选择 B.第9讲 要点热点探究 例 3 设等比数列an的前 n 项和为 Sn.已知 a26,6a1a330，求 an 和 Sn.【分析】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于 a1 和公比 q的方程，求出 a1 和 q，然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可 探究点二 等比数列的通项、前n项和的性质第9讲 要点热点探究 【解答】设an
7、的公比为 q，由题设得a1q6，6a1a1q230.解得a13，q2，或a12，q3.当 a13，q2 时，an32n1，Sn3(2n1)；当 a12，q3 时，an23n1，Sn3n1.第9讲 要点热点探究【点评】本题考查了等比数列中知三求二问题，本题中根据已知量找到 a1，q 的关系式，而后求出 a1，q，进而借助公式求得 an，Sn.第9讲 要点热点探究 (1)2011广东卷 已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比 q_.(2)已知在等比数列an中，a1a310，a4a654，则等比数列an的公比 q 的值为()A.14B.12 C2 D8 (1)2(2)B【解析】(
8、1)an为等比数列，所以 a4a3a2q2a2q4，即 2q22q4，所以 q2q20，解得 q1 或 q2.又an是递增等比数列，所以 q2.(2)依题意，由于 a1a310，a4a654，所以 q3a4a6a1a318，q12，选择 B.第9讲 要点热点探究 例 4 2011湖北卷 成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列bn中的 b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn54 是等比数列 探究点三 等差、等比数列的综合问题第9讲 要点热点探究【分析】(1)由条件可以先求得数列bn的第三项
9、，进而借助等比数列的通项公式求出 bn，(2)充分结合等比数列的定义不难证明【解答】(1)设成等差数列的三个正数分别为 ad，a，ad.依题意，得 adaad15.解得 a5.所以bn中的 b3，b4，b5 依次为 7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得 d2 或 d13(舍去)故bn的第 3 项为 5，公比为 2.由 b3b122，即 5b122，解得 b154.所以bn是以54为首项，2 为公比的等比数列，其通项公式为 bn542n152n3.(2)证明：由(1)得数列bn的前 n 项和 Sn5412n12 52n254，即 Sn5452n2.所以 S15452，Sn
10、154Sn5452n152n22.因此Sn54 是以52为首项，公比为 2 的等比数列第9讲 要点热点探究 第9讲 要点热点探究【点评】本题考查了等差数列与等比数列综合应用，在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解；解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略第9讲 要点热点探究 已知数列 a1，a2，a30，其中 a1，a2，a10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列；a10，a11，a20 是公差为
11、 d 的等差数列；a20，a21，a30 是公差为 d2 的等差数列(d0)(1)若 a2040，求 d；(2)试写出 a30 关于 d 的关系式，并求 a30 的取值范围；(3)续写已知数列，使得 a30，a31，a40 是公差为 d3 的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列提出同(2)类似的问题(2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？第9讲 要点热点探究【解答】(1)a1010，a201010d40，d3.(2)a30 a20 10d2 10(1 d d2)10 d12234(d0)当 d(，0)(0，)时，a307.5，)(3)所给数列可推广为无穷数列an，其中
12、a1，a2，a10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 n1 时，数列a10n，a10n1，a10(n1)是公差为 dn 的等差数列研究的问题可以是：试写出 a10(n1)关于 d 的关系式，并求出 a10(n1)的取值范围研究的结论可以是：由 a40a3010d310(1dd2d3)，依次类推可得：a10(n1)10(1ddn)101dn11d，d1，10n1，d1.当 d0 时，a10(n1)的取值范围为10，)等第9讲 规律技巧提炼 1在数列中根据数列前 n 项和的定义得到的关系式 anS1，n1，SnSn1，n2 占有重要位置，很多数列试题就是以此为出发点设计的在根据数列的通项
13、an 与前 n 项和 Sn 的关系求解数列的通项公式时，要考虑两个方面，一个是根据 Sn1Snan1 把数列中的和转化为数列的通项之间的关系；一个是根据 an1Sn1Sn 把数列中的通项转化为和的关系，先求 Sn 再求 an.在使用这个关系式 anS1，n1，SnSn1，n2 时，一定要注意分 n1，n2 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起规律技巧提炼第9讲 规律技巧提炼 2在等差数列涉及的五个量 a1，an，d，Sn，n 中，已知其中的3 个就一定能求出另外的两个，基本方法就是根据等差数列的通项公式、求和公式列出方程，通过方程求解未知在等差数列问题中最基本的量是首项和公差，
14、在很多问题中要用这两个基本量表示其他的量来解决问题在等比数列中的通项公式和求和公式中涉及 a1，q，an，Sn，n 五个量，只要知道了其中的三个量就可以通过解方程组的方法求出另外两个量，但等比数列中最基本的量是其首项 a1 和公比q，在等比数列问题中要紧紧抓住这两个量第9讲 规律技巧提炼 3判断数列an是否是等差数列的方法有：(1)根据等差数列的定义，即证明 an1and(常数)；(2)证明 an1anan22；(3)证明其通项公式是关于 n 的一次函数(这样的等差数列公差不等于零)等判断数列an为等比数列的基本方法是定义4三个数 a，b，c 成等差数列的充要条件是 bac2，但三个数 a，b
15、，c 成等比数列的必要条件是 b2ac.第9讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：例 1 属于创新性题型，体现等比中项的应用；例 2 考查等比数列定义的应用和求通项的方法，且第(2)问中求最大值考查函数求值的方法，体现数列知识和函数知识的综合第9讲 教师备用例题 例 1 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a，最高销售限价 b(ba)以及实数 x(0 xa，ba0，x21x，即 x2x10，解得 x1 52，因为 0 x1，所以最佳乐观系数 x 的值等于1 52.第9讲 教师备用例题 例 2 在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证明数列ann是等比数列；(2)设数列an的前 n 项和为 Sn，求 Sn14Sn 的最大值第9讲 教师备用例题【解答】(1)证明：由题设 an14an3n1，得 an1(n1)4(ann)，nN*.又 a111，所以数列ann是首项为 1，且公比为 4 的等比数列(2)由(1)可知 ann4n1，则数列an的通项公式为 an4n1n.所以数列an的前 n 项和 Sn4n13nn12.Sn14Sn4n113n1n2244n13nn1212(3n2n4)，故 n1 时最大值为 0.