1、第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题考点自测1.已知下列命题:第二象限角大于第一象限角;不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;若sin =sin ,则与的终边相同;若cos 0B.cos 20D.sin 206.已知sin +cos =12,(0,),则1-tan1+tan= ()A.-7B.7C.3D.-3图4-1-17.2019北京,8,5分如图4-1-1,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,APB是锐角,大小为.图中阴影区域的面积的最大值为 ()A.4+4cos B.4+4sin C.2+2co
2、s D.2+2sin 8.2018全国卷,11,5分已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2=23,则|a-b|=()A.15B.55C.255D.1拓展变式1.在一块顶角为120、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形,现有如图4-1-3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短,则方案更优.2.(1)2021洛阳市联考已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与直线y=3x重合,且sin 0,P(m,n)是角终边上一点,且|OP|=10(O为坐标原点),则m-n等于 ()A.2B.-2C.4D.-
3、4(2)2017北京,12,5分理在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin =13,则cos(-)=.3.(1)2020全国卷,9,5分理已知(0,),且3cos 2-8cos =5,则sin =()A.53B.23C.13D.59(2)2016全国卷,5,5分理若tan =34,则cos2+2sin 2= ()A.6425B.4825C.1D.1625(3)2018全国卷,15,5分理已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=.4.(1)2017全国卷,6,5分函数f(x)=15sin(x+3)+cos(x-6)的最大值为 (
4、)A.65B.1C.35D.15(2)设f()=2sin(+)cos(-)-cos(+)1+sin2+cos(32+)-sin2(2+)(1+2sin 0),则f(-236)=.5.已知tan =2,则cos(52+2)= ()A.35B.45C.-35D.-45答 案第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.A举反例:第一象限角370不小于第二象限角100,故错;易知正确;由于sin 6=sin 56,但6与56的终边不相同,故错;当=时,cos =-1,此时既不是第二象限角,也不是第三象限角,故错.综上可知只有正确,故选A.2.A因为22340,cos 30,所以sin
5、 2cos 3tan 40.3.D由点P(cos 300,sin 300)是角终边上一点,可得sin -cos =sin 300-cos 300=-32-12.4.D由正切函数的周期性可知,tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(30+45)=33+11-33=2+3,故选D.5.D为第四象限角,sin 0,sin 2=2sin cos 0.故选D.6.A解法一sin +cos =12,两边同时平方得1+2sin cos =14,所以sin cos =-380,则cos 0.因为(sin -cos )2=1-2sin cos =74,所以sin -cos =72.所以1-
6、tan1+tan=1-sincos1+sincos=cos-sincos+sin=-7212=-7,故选A.解法二因为sin +cos =12,所以2sin(+4)=12,sin(+4)=2422,又(0,),故+4(34,),则cos(+4)=-1-sin2(+4)=-144.所以tan(+4)=1+tan1-tan=-17,所以1-tan1+tan=-7.7.B如图D 4-1-1,设点O为圆心,连接PO,OA,OB,AB,在劣弧AB上取一点C,则阴影区域面积为ABP和弓形ACB的面积和.因为A,B是圆周上的定点,所以弓形ACB的面积为定值,故当ABP的面积最大时,阴影区域面积最大.又AB的
7、长为定值,故当点P为优弧APB的中点时,点P到弦AB的距离最大,此时ABP面积最大,阴影区域面积也最大.下面计算当点P为优弧APB的中点时阴影区域的面积.因为APB为锐角,且APB=,所以AOB=2,AOP=BOP=180-,则阴影区域的面积S=SAOP+SBOP+S扇形OAB=21222sin(180-)+12222=4+4sin ,故选B.图D 4-1-18.B由题意知a1=b2,即b=2a.因为cos 2=2cos2-1=23,所以cos2=56,即(1a2+1)2=56,所以a2=15,则|a-b|=|-a|=|a|=55.1.一由已知可知A=B=6,AM=BN=1,AD=2,则方案一
8、中扇形的弧长为26=3,方案二中扇形的弧长为123=23;方案一中扇形的面积为12226=3,方案二中扇形的面积为121223=3.由此可见:两种方案中利用废料面积相等,方案一中切割时间更短.因此方案一更优.2.(1)A因为P(m,n)在直线y=3x上,所以n=3m,又sin 0,所以m0,n0.由|OP|=10,得m2+n2=10.联立,并结合m0,n0,所以角为第一象限角或第二象限角.当角为第一象限角时,可取其终边上一点(22,1),则cos =223,又点(22,1)关于y轴对称的点(-22,1)在角的终边上,所以sin =13,cos =-223,此时cos(-)=cos cos +s
9、in sin =223(-223)+1313=-79;当角为第二象限角时,可取其终边上一点(-22,1),则cos =-223,因为点(-22,1)关于y轴对称的点(22,1)在角的终边上,所以sin =13,cos =223,此时cos(-)=cos cos +sin sin =(-223)223+1313=-79.综上可得,cos(-)=-79.3.(1)A3cos 2-8cos =5,3(2cos2-1)-8cos =5,3cos2-4cos -4=0,解得cos =2(舍去)或cos =-23.(0,),sin =1-cos2=53.故选A.(2)A解法一由tan =sincos=34
10、,cos2+sin2=1,得sin=35,cos=45或sin=-35,cos=-45,则sin 2=2sin cos =2425,则cos2+2sin 2=1625+4825=6425.故选A.解法二cos2+2sin 2=cos2+4sincoscos2+sin2=1+4tan1+tan2=1+31+916=6425.故选A.(3)-12解法一sin +cos =1,cos +sin =0,sin2+cos2+2sin cos =1,cos2+sin2+2cos sin =0,两式相加可得sin2+cos2+sin2+cos2+2(sin cos +cos sin )=1,sin(+)=-
11、12.解法二由已知可得sin =1-cos ,cos =-sin ,由同角三角函数关系式可得sin2+cos2=(1-cos )2+(-sin )2=1,整理得cos =12,所以sin =12.又cos =-sin ,所以cos sin =-cos2=sin2-1=-34,故sin(+)=sin cos +cos sin =-12.4.(1)A因为cos(x-6)=cos(x+3)-2=sin(x+3),所以f(x)=65sin(x+3),于是f(x)的最大值为65,故选A.(2)3因为f()=(-2sin)(-cos)+cos1+sin2+sin-cos2=2sincos+cos2sin2+sin=cos(1+2sin)sin(1+2sin)=1tan,所以f(-236)=1tan(-236)=1tan(-4+6)=1tan6=3.5.D由诱导公式可得,cos(52+2)=cos2+(2+2)=cos(2+2)=-sin 2=-2sincossin2+cos2=-2sincoscos2sin2+cos2cos2=-2tantan2+1=-2222+1=-45.故选D.