1、2012届高考数学（文）二轮复习课件：第13讲 点、直线、平面之间的位置关系主干知识整合第13讲 主干知识整合 1平行关系的转化两平面平行问题常常转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图 第13讲 主干知识整合 2解决平行问题时要注意以下结论的应用(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交(4)平行于同一条直线的两条直线平行(5)平行于同一个平面的两个平面平行(6)如果一条直线与两个相
2、交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行3垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，垂直关系之间的转化有如下示意图 在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化第13讲 主干知识整合 例 1 若 a、b 是两条异面直线，、是两个不同平面，a，b，l，则()Al 与 a、b 分别相交Bl 与 a、b 都不相交Cl 至多与 a、b 中一条相交Dl 至少与 a、b 中的一条相交第13讲 要点热点探究 要点热点探究 探究点一空间线面位置关系的判断【点评】本题考查了空间直线的位
3、置关系，属于典型的位置关系的判断问题；空间中线与线的位置关系有相交、平行与异面；线面关系有直线与平面平行、直线与平面相交和直线在平面内，而面面的位置关系是相交和平行，下面结合变式进一步理解空间的位置关系D【解析】假设 l 与 a、b 均不相交，则 la，lb，从而 ab 与 a、b 是异面直线矛盾故 l 至少与 a、b 中的一条相交选 D.第13讲 要点热点探究【分析】首先结合已知条件画出图形有助于理解，根据图形的直观性不难得到这三条直线的位置关系第13讲 要点热点探究 如图 131，平面 平面，直线 l，A，C 是 内不同的两点，B，D 是 内不同的两点，且 A，B，C，D直线 l，M，N
4、分别是线段 AB，CD 的中点下列判断正确的是()图 131A当|CD|2|AB|时，M，N 两点不可能重合BM，N 两点可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交C当 AB 与 CD 相交，直线 AC 平行于 l 时，直线 BD 可以与 l相交D当 AB，CD 是异面直线时，直线 MN 可能与 l 平行 第13讲 要点热点探究 B【解析】若 M，N 两点重合，由 AMMB，CMMD 知 ACBD，从而 AC平面，故有 ACl，故 B 正确第13讲 要点热点探究 例 2 如图 132 所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDAB2，E，F，G 分别为
5、 PC，PD，BC 的中点(1)求证：PA平面 EFG；(2)求三棱锥 PEFG 的体积图 132 探究点二 平行关系的判断第13讲 要点热点探究【分析】第(1)问线面平行问题思路之一：可以借助线线平行来思考，即通过作辅助线，验证线线平行即可证明线面平行；思路二：借助面面平行来验证线面平行，即通过验证平面 EFG平面 PAB，进而证明线面平行；第(2)问要求三棱锥 PEFG 的体积可以转化为求得锥体GPEF 的体积，根据条件不难得出结论第13讲 要点热点探究【解答】(1)证法一：如图，取 AD 的中点 H，连接 GH，FH.E，F 分别为 PC，PD 的中点，EFCD.G，H 分别为 BC，A
6、D 的中点，ABCD 为正方形，GHCD.EFGH，E，F，H，G 四点共面F，H 分别为 DP，DA 的中点，PAFH.PA平面 EFG，FH平面 EFG，PA平面 EFG.证法二：E，F，G 分别为 PC，PD，BC 的中点，EFCD，EGPB.CDAB，EFAB.又 EF平面 PAB，AB平面 PAB，EF平面 PAB，同理 EG平面 PAB.EFEGE，平面 EFG平面 PAB.PA平面 PAB，PA平面 EFG.第13讲 要点热点探究(2)PD平面 ABCD，GC平面 ABCD，GCPD.ABCD为正方形，GCCD.PDCDD，GC平面 PCD.PF12PD1，EF12CD1，SPE
7、F12EFPF12.GC12BC1，VPEFGVGPEF13SPEFGC1312116.【点评】本题第(1)问考查线面平行的判断方法，第(2)问考查了线面垂直的判断有关平行的判断注意以下几个方面：(1)证线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换；(2)证线面平行常用的两种方法：一是利用线面平行的判定定理，把证线面平行转化为证线线平行；二是利用面面平行的性质，把证线面平行转化为证面面平行；(3)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个
8、面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决第13讲 要点热点探究 2011北京卷 如图 133，在四面体 PABC 中，PCAB，PABC，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC，BC，PB 的中点(1)求证：DE平面 BCP；(2)求证：四边形 DEFG 为矩形；(3)是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由图 133 第13讲 要点热点探究【解答】(1)证明：因为 D，E 分别为 AP，AC 的中点，所以 DEPC.又因为 DE平面 BCP，PC平面 BCP，所以 DE平面
9、BCP.(2)因为 D、E、F、G 分别为 AP、AC、BC、PB 的中点，所以 DEPCFG，DGABEF，所以四边形 DEFG 为平行四边形又因为 PCAB，所以 DEDG，所以平行四边形 DEFG 为矩形(3)存在点 Q 满足条件，理由如下：连接 DF，EG，设 Q 为 EG 的中点由(2)知，DFEGQ，且 QDQEQFQG12EG.分别取 PC、AB 的中点 M，N，连接 ME、EN、NG、MG、MN.与(2)同理，可证四边形 MENG 为矩形，其对角线交点为EG 的中点 Q，且 QMQN12EG.所以 Q 为满足条件的点第13讲 要点热点探究 例 3 2011课标全国卷 如图 13
10、4，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面 ABCD.(1)证明：PABD；(2)设 PDAD1，求棱锥 DPBC 的高图 134 探究点三 垂直关系的证明【解答】(1)证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得 BD 3AD，从而 BD2AD2AB2，故 BDAD.又 PD底面 ABCD，可得 BDPD，所以 BD平面 PAD，故 PABD.(2)如图，作 DEPB，垂足为 E.已知 PD底面 ABCD，则 PDBC.由(1)知 BDAD，又 BCAD，所以 BCBD.故 BC平面 PBD，BCDE.则 DE平面 PBC.由题设知 PD1，
11、则 BD 3，PB2.根据 DEPBPDBD 得 DE 32.即棱锥 DPBC 的高为 32.第13讲 要点热点探究 第13讲 要点热点探究 如图 135，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD是菱形，ABC60，PA平面 ABCD，点 M、N 分别为 BC、PA 的中点，且 PAAB2.(1)证明：BC平面 AMN；(2)求三棱锥 NAMC 的体积；(3)在线段 PD 上是否存在一点 E，使得 NM平面 ACE？若存在，求出 PE 的长；若不存在，请说明理由图 135第13讲 要点热点探究【解答】(1)证明：因为 ABCD 为菱形，所以 ABBC.又ABC60，所以 ABBCAC.又 M
12、为 BC 中点，所以 BCAM.而 PA平面 ABCD，BC平面ABCD，所以 PABC.又 PAAMA，所以 BC平面 AMN.(2)因为 SAMC12AMCM12 31 32，又 PA底面 ABCD，PA2，所以 AN1，所以三棱锥 NAMC 的体积 V13SAMCAN13 321 36.(3)存在，取 PD 中点 E，连接 NE，EC.因为 N、E 分别为 PA、PD 的中点，所以 NEAD 且 NE12AD.又在菱形 ABCD 中，CMAD，CM12AD，所以 NEMC，NEMC，所以四边形 MCEN 是平行四边形，所以 NMEC.又 EC平面 ACE，NM平面 ACE，MN平面 AC
13、E，故在 PD 上存在一点 E，使得 NM平面 ACE，此时 PE12PD 2.第13讲 规律技巧提炼 1关于空间点、直线和平面的公理是立体几何中进行作图和推理论证的依据，特别在空间作图中更是不可缺少，如在求二面角问题中，如果图形中没有显示出二面角的棱，则要根据平面的公理作出这个二面角的棱2在空间中线线平行和面面平行都有传递性，但线面平行没有传递性在空间任意平移两条直线不改变两条直线所成的角，同时注意两直线所成角的范围是0，2.3两异面直线所成的角归结到一个三角形中的内角时，容易忽视这个三角形中的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角规律技巧提炼第13讲 规律技巧提炼 4面面垂直的性
14、质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，在线面角、二面角的求解中很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线垂直问题的关键是线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直(线面垂直的定义)，通过线线垂直证明线面垂直(线面垂直的判定定理)、面面垂直(面面垂直的判定定理)，在解决垂直问题中要把这些垂直关系理清，确定合理的推理论证顺序第13讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：例 1 以长方体为载体考查空间的平行关系和垂直关系；例 2 是一个综合性较强的题目，可以通过这个题目强化学生解决立体几何问题时解题方法的选择第13讲 教师备用例题 例 1 如图，长
15、方体 ABCDA1B1C1D1 中，DADC2，DD1 3，E 是 C1D1 的中点，F 是 CE 的中点(1)求证：EA平面 BDF；(2)求证：平面 BDF平面 BCE.第13讲 教师备用例题【解答】证明：(1)连接 AC，交 BD 于 O 点，连接 OF，可得 OF 是ACE 的中位线，则 OFAE.又 AE平面 BDF，OF平面 BDF，所以 EA平面 BDF.(2)连接 DE，计算可得 DEDC2，又 F 是 CE的中点，所以 DFCE.又 BC平面 CDD1C1，所以 DFBC.又 BCCEC，所以 DF平面 BCE.因为 DF平面 BDF，所以平面 BDF平面 BCE.第13讲
16、教师备用例题 例 2 三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC1平面 ABC，ABC 是边长为 2 的等边三角形，D 为 AB 边中点，且CC12AB.(1)求证：平面 C1CD平面 ABC；(2)求证：AC1平面 CDB1；(3)求三棱锥 DCBB1 的体积第13讲 教师备用例题【解答】(1)证明：因为 CC1平面 ABC，又 CC1平面 C1CD，所以平面 C1CD平面 ABC.(2)证明：连接 BC1 交 B1C 于 O，连接 DO，则 O 是 BC1 的中点，所以 DO 是BAC1 的中位线，所以 DOAC1.因为 DO平面 CDB1，所以 AC1平面 CDB1.(3)因为 CC1平面 ABC，所以 BB1平面 ABC，所以 BB1为三棱锥 B1BCD 的高因为 BB1CC12AB4，所以 VDCBB1VB1CBD13SBCDBB11312 34 2242 33.所以三棱锥 DCBB1 的体积为2 33.