1、 核心概念掌握 知识点一 一组数据的方差与标准差知识点二 总体方差与总体标准差 知识点三 样本方差与样本标准差知识点四 标准差、方差描述数据的特征标准差刻画了数据的_或_，标准差越大，数据的离散程度_；标准差越小，数据的离散程度_在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的但在解决实际问题中，一般多采用标准差01 离散程度02 波动幅度03 越大04 越小知识点五 分层随机抽样估计总体方差设层数为 2 层的分层随机抽样，第 1 层和第 2 层包含的样本变量由 x1，x2，xn 及 y1，y2，yn 表示样本数总体数方差平均数第 1 层mMs2xx第 2 层nNs2yy则总体方差 s2Ms2x
2、x z2Ns2y y z2MN 1方差的简化计算公式：s21n(x21x22x2n)n x2，或写成 s21n(x21x22x2n)x2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方2平均数、方差公式的推广(1)若数据 x1，x2，xn 的平均数为 x，那么 mx1a，mx2a，mxna 的平均数是 m xa.(2)若数据 x1，x2，xn 的方差为 s2，那么数据 x1a，x2a，xna 的方差也是 s2；数据 ax1，ax2，axn 的方差是 a2s2.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)方差越大，数据的稳定性越强()(2)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大()(3)样本的平均
3、数和标准差一起反映总体数据的取值信息一般地，绝大部分数据落在 x2s，x2s内()(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小()2做一做(1)下列说法不正确的是()A方差是标准差的平方B标准差的大小不会超过极差C若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为 0D标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散(2)某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：平均命中环数为_；命中环数的标准差为_(3)样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3，若该样本的
4、平均值为 1，则该样本的方差为_答案(1)D(2)7 2(3)2答案 核心素养形成 题型一样本的标准差与方差的求法例 1 从甲、乙两种玉米中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；试计算甲、乙两组数据的方差和标准差解 x甲 110(25414037221419392142)30，s2甲 110(2530)2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2(3930)2(2130)2(4230)2104.2，s 甲 104.210.2
5、08.x乙 110(27164427441640401640)31，同理 s2乙128.8，s 乙 128.811.349.答案 对标准差与方差概念的理解(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小(2)标准差、方差的取值范围：0，)标准差、方差为 0 时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差某班 40 名学生平均分成两组，两组学生某次考试
6、成绩情况如下表所示：组别平均数标准差第一组904第二组806求这次考试成绩的平均数和标准差注：标准差s1nx1 x2xn x21nx21x22x2nn x2解 设第一组数据为 x1，x2，x20，第二组数据为 x21，x22，x40，全班平均成绩为 x.根据题意，有 x902080204085，42 120(x21x22x22020902)，62 120(x221x222x24020802)，答案 x21x22x24020(4262902802)291040.再由变形公式，得 s2 140(x21x22x24040 x2)140(x21x22x24040852)140(291040289000
7、)51，s 51.答案 题型二样本标准差、方差的实际应用例 2 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的 8 次测试成绩记录如下：甲：95 82 88 81 93 79 84 78乙：83 92 80 95 90 80 85 75(1)试比较哪个工人的成绩较好；(2)甲、乙成绩位于 xs 与 xs 之间有多少？解(1)x甲18(9582888193798478)85，x乙18(8392809590808575)85.s2甲18(9585)2(8285)2(8885)2(8185)2(9385)2(7985)2(8485)2(7885)235.5，s2乙18(8385)2(92
8、85)2(8085)2(9585)2(9085)2(8085)2(8585)2(7585)241.答案 x甲 x乙，s2甲s 乙，乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛.答案 题型三标准差、方差的图形分析例 3 样本数为 9 的四组数据，他们的平均数都是 5，条形图如下图所示，则标准差最大的一组是()A第一组B第二组C第三组D第四组解析 第一组中，样本数据都为 5，数据没有波动幅度，标准差为 0；第二组中，样本数据为 4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为 63；第三组中，样本数据为 3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为2 53；第四组中，样本数据为 2,2,2,2,5,8,8,
9、8,8，标准差为 2 2，故标准差最大的一组是第四组解析 答案 D答案 由图形分析标准差、方差的大小从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义也可以直观得到答案甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差答案 C答案 解析 由题图可得，甲的成绩为 4,5,6,7,8，乙的成绩为 5,5,5,6,9，所以甲、乙的成绩的平均数均是 6，故 A
10、不正确；甲、乙成绩的中位数分别为 6,5，故B 不正确；甲、乙成绩的极差都是 4，故 D 不正确；甲的成绩的方差为15(222122)2，乙的成绩的方差为15(12332)2.4.故 C 正确答案 随堂水平达标 1下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()A平均数B中位数C方差D众数解析 由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度解析 答案 C答案 2样本数据 2,4,6,8,10 的标准差为()A40 B8C2 10D2 2解析 x15(246810)6，则标准差为1526246266286210622 2.解析 答案 D答案 3甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成
11、绩和方差如下表所示：若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是_(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)答案 丙答案 解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙解析 4已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_解析 这组数据的平均数x4.74.85.15.45.555.1，则方差 s24.75.124.85.125.15.125.45.125.55.1250.160.0900.090.1650.1.解析 答案 0.1答案 5甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为检验
12、质量，各从中抽取 6 件测量，数据为：甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定解(1)x甲16(9910098100100103)100，x乙16(9910010299100100)100.s2甲16(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)273，s2乙16(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 s2甲s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件