1、2012届高考数学（文）二轮复习课件：第6讲 解三角形主干知识整合第6讲 主干知识整合 1正弦定理asinA bsinB csinC2R(R 为三角形外接圆的半径)2余弦定理a2b2c22bccosA；cosAb2c2a22bc；b2a2c22accosB；cosBa2c2b22ac；c2a2b22abcosC；cosCa2b2c22ab.第6讲 主干知识整合 3面积公式(1)三角形的面积等于底乘以高的12；(2)S12absinC12bcsinA12acsinBabc4R(其中 R 为该三角形外接圆的半径)；(3)若三角形内切圆的半径是 r，则三角形的面积 S12(abc)r；(4)若 pa
2、bc2，则三角形的面积S ppapbpc.4注意航海和测量中的一些术语，如仰角、俯角、方位角等要点热点探究第6讲 要点热点探究 探究点一 正、余弦定理的应用例 1 在ABC 中，若 b5，B4，sinA13，则 a()A.5 24B.5 23C.5 26 D.3 25第6讲 要点热点探究【分析】直接根据正弦定理即可求得 a 的值【解析】B 由正弦定理有：asinA bsinB，即a13 522，得 a5 23.【点评】本题属于解三角形问题，问题中涉及两角及其一边，恰恰符合正弦定理应用的范畴另外，已知两角及其一角的对边，解决问题的时候首选正弦定理第6讲 要点热点探究 若ABC 的内角 A、B、C
3、 满足 6sinA4sinB3sinC，则 cosB()A.154B.34C.3 1516 D.1116D【解析】由正弦定理得 sinA a2R，sinB b2R，sinC c2R，代入 6sinA4sinB3sinC，得 6a4b3c，b32a，c2a，由余弦定理得 b2a2c22accosB，将 b32a，c2a 代入式，解得 cosB1116.故选 D.第6讲 要点热点探究 探究点二 函数图象的分析判断例 2 设ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，已知 a1，b2，cosC14.(1)求ABC 的周长；(2)求 cos(AC)的值第6讲 要点热点探究【分析】(1)已知两
4、边及其夹角，借助余弦定理不难求得第三边，进而求得三角形的周长；(2)借助正弦定理解决角 A 的三角函数值是解决问题的关键，然后结合三角恒等变换的知识求得 cos(AC)第6讲 要点热点探究【解答】(1)c2a2b22abcosC144144，c2，ABC 的周长为 abc1225.(2)cosC14，sinC 1cos2C1142 154，sinAasinCc1542 158.ac，AC，故 A 为锐角，cosA 1sin2A1158278.cos(AC)cosAcosCsinAsinC7814 158 154 1116.第6讲 要点热点探究【点评】本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的
5、基础知识，同时考查基本运算能力解三角形主要应用正弦定理和余弦定理正弦定理解决的是已知三角形两边和其中一边的对角、三角中的两内角，余弦定理解决的是已知三角形两边及其夹角、已知三角形三边的两类问题在解题中只要分析清楚了三角形中的已知元素，就可以选用这两个定理中的一个求解三角形中的未知元素比如本题第(1)问选择余弦定理，而第(2)问选择正弦定理是解决问题的关键第6讲 要点热点探究 2011山东卷 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知cosA2cosCcosB2cab.(1)求sinCsinA的值；(2)若 cosB14，ABC 的周长为 5，求 b 的长 第6讲 要点热点探
6、究【解答】(1)由正弦定理，设 asinA bsinB csinCk.则2cab2ksinCksinAksinB2sinCsinAsinB.所以原等式可化为cosA2cosCcosB2sinCsinAsinB.即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，化简可得 sin(AB)2sin(BC)，又因为 ABC，所以原等式可化为 sinC2sinA，因此sinCsinA2.第6讲 要点热点探究(2)由正弦定理及sinCsinA2 得 c2a，由余弦定理及 cosB14得b2a2c22accosBa24a24a2144a2.所以 b2a.又 abc5.从而 a1，因此 b2.第
7、6讲 要点热点探究 例 3 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)，如图 61 所示，垂直放置的标杆 BC 高度 h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已经测得一组、的值，tan1.24，tan1.20，请据此算出 H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位：m)，使 与 之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为 125 m，问 d 为多少时，最大？图 61 探究点二 解三角形的实际应用第6讲 要点热点探究【分析】(1)求得塔高的关键在于 AE 所在的直角三角形 ABE 和三角形 AED，已知量与要求量之间的等量关系ADABDB
8、；(2)充分利用直角三角形的特点表示 tan，tan，借助差角公式和基本不等式求得 tan()的最值，进而得到 最大时所满足的条件【解答】(1)由 AB Htan，BD htan，AD Htan及 ABBDAD 得Htan htan Htan，解得 Hhtantantan 41.241.241.20124，因此，算出的电视塔的高度 H 是 124 m.第6讲 要点热点探究(2)由题设知 dAB，得 tanHd.由 ABADBD Htan htan，得 tanHhd，所以tan()tantan1tantanhdHHhdh2 HHh，当且仅当 dHHhd，即 d HHh55 5时，上式取等号所以当
9、 d55 5时，tan()最大因为 02，则 02，所以当 d55 5时，最大故所求的 d 是 55 5m.第6讲 要点热点探究【点评】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用特别注意，解三角形是高考必考内容，重点为正、余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度主要考查学生的基本运算能力、应用意识和解决实际问题的能力第6讲 要点热点探究 例 4 渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东 40方向距渔政船甲 70 km 的 C 处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西 20方向的
10、 B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置 C 处沿直线 AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在 B 处执行任务，渔政船甲航行 30 km 到达 D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在 B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船丙)，此时 B、D 两处相距 42 km，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置 C处实施营救？图 62第6讲 要点热点探究【分析】即求线段 BC 的长度根据题意，在BCD 中，已知 BD，DC，因此只要求出BDC 的余弦值，即可根据余弦定理求出 BC.根据三角形的外角定理，BDCABD60，
11、只要在ABD 中根据正弦定理求出ABD 的正弦值，然后根据同角三角函数关系求出其余弦值，再根据和角的余弦公式即可求出BDC 的余弦值第6讲 要点热点探究【解答】设ABD，在ABD 中，AD30，BD42，BAD60，由正弦定理得：ADsinBDsinBAD，即 sinADBDsinBAD3042sin605 314，又ADBD，060，cos 1sin21114，cosBDCcos(60)17.在BDC 中，由余弦定理得BC2 DC2 BD2 2DCBDcos BDC 402 422 8042cos(60)3844.BC62.答：渔政船乙要航行 62 千米才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营
12、救第6讲 要点热点探究【点评】解三角形的实际应用问题其基本的解题思想是把要求解的量(角和长度)纳入到可解三角形中，然后使用正弦定理、余弦定理解这个三角形在分析实际应用问题时，要善于根据题目给出的已知条件寻找这样的可解三角形如本题中ABD 是第一个基本的可解三角形，我们已知这个三角形的两条边长 AD，BD，和其中一边的对角BAD60，这个三角形中的所有元素都能求出，这样就为解另外的三角形提供了新的已知条件本题也可以在ABD 中求出 AB，然后在ABC 中使用余弦定理求 BC.第6讲 规律技巧提炼 1使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对角，另一类是已知一边和两个内角(实际
13、就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角规律技巧提炼第6讲 规律技巧提炼 2当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理，也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角，在这类试题中要注意方程思想的运用；一个含有三角形的三边的平方和、差和两边之积的方程，相当于在余弦定理中把其中的一个内角的余弦数值化了，就相当于知道了其中一个内角的余弦值余弦定理的一个重要功能是可以根据三角形三边的比
14、例关系求出三角形的内角3正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系正弦定理可以把各边的比值和各个内角正弦的比值之间相互转化，余弦定理只要知道了三角形三边之间的比例关系即可求出其中的内角第6讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：不含实际背景，给出三角形的边角关系，单纯的解三角形的试题，经过一轮复习后对学生已经没有太大的难度，解三角形问题的难点是在实际问题中解三角形，2011 年的高考试题中全国 18 套试卷中没有一套试卷考查解三角形的实际应用，这是十分反常的现象我们有理由预测在 2012 年的高考中不会再是这个情况，为此我们给出两道
15、解三角形的实际应用问题，配合正文中的探究点二，对解三角形实际应用进行强化第6讲 教师备用例题 例 1 在湖面上高 h 米处，测得一片云的仰角为，而湖中云之影(即云在湖中的像)的俯角为，则云高为_米第6讲 教师备用例题【答案】hsinsin【解析】如图所示，设湖面上高 h 米处为 A，测得云 C 的仰角为，而C 在湖中的像 D 的俯角为，CD 与湖面交于 M，过 A 的水平线交 CD 于 E，设云高 CMx，则 CExh，DExh，AE(xh)cot 且 AE(xh)cot，(xh)cot(xh)cot，解得 xtantantantanhsincoscossincoscossincoscossi
16、ncoscoshhsinsin.第6讲 教师备用例题 例 2 在ABC 中，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，AB AC 8，BAC，a4.(1)求 bc 的最大值及 的取值范围；(2)求函数 f()2 3sin24 2cos2 3的最值第6讲 教师备用例题【解答】(1)由题意，得 bccos8，b2c22bccos42，即 b2c232.又 b2c22bc，所以 bc16，即 bc 的最大值为 16，即 8cos16，所以 cos12，又 02，所以 03.(2)f()31cos22 1cos2 3 3sin2cos212sin26 1.因为 03，所以62656，sin26 1，当 2656，即 3时，f()min21212，当 262，即 6时，f()max2113.
