1、核心概念掌握 知识点一 复数三角形式的乘法设 z1，z2 的三角形式分别是：z1r1(cos1isin1)，z2r2(cos2isin2)，则 z1z2，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和01 r1(cos1isin1)r2(cos2isin2)02 r1r2cos(12)isin(12)几何意义：两个复数 z1，z2 相乘，可以先分别画出与 z1，z2 对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1 绕点 O 按(如果 20，就要把OZ1 绕点 O 按顺时针方向旋转角|2|)，再把它的模变为倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积 z1z2.特征：旋转伸
2、缩变换03 逆时针方向旋转 204 原来的 r2知识点二 复数三角形式的除法设 z1，z2 的三角形式分别是：z1r1(cos1isin1)，z2r2(cos2isin2)，则z1z2r1cos1isin1r2cos2isin2，01 r1r2cos(12)isin(12)(z20)这就是说，两个复数相除，商的模等于，商的辐角等于02 被除数的模除以除数的模所得的商03 被除数的辐角减去除数的辐角所得的差几何意义：两个复数 z1，z2 相除，可以先画出 z1，z2 对应的向量OZ1，OZ2，将向量OZ1 按顺时针方向旋转 2(若 20，则按逆时针方向旋转|2|)，再把模变为原来的1r2倍，所得
3、向量OZ就表示商z1z2.复数除法实质也是向量的04 旋转和伸缩1复数三角形式的乘法公式推广z1z2z3zn r1(cos1 isin1)r2(cos2 isin2)rn(cosn isinn)r1r2rncos(12n)isin(12n)2复数的乘方运算(棣莫佛定理)r(cosisin)nrn(cosnisinn)即复数的 n(nN*)次幂的模等于模的 n 次幂，辐角等于这个复数的辐角的 n 倍，这个定理称为棣莫佛定理1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)在复数范围内，1 的立方根是 1.()(2)z z|z|2.()(3)2cos3isin3 3cos6isin6 6i.()2做一做
4、(1)把 z2i 对应的向量OZ，按顺时针方向旋转2，所得向量对应的复数的代数形式为_(2)(1 3i)2019_.(3)12cos3isin3 6cos6isin6 _.答案(1)12i(2)22019(3)2cos6isin6答案 核心素养形成 题型一复数三角形式的乘法运算例 1 计算下列各式：(1)2cos 12isin 12 3cos56 isin56；(2)3cos6isin6 7cos34 isin34；(3)2cos3isin34.解(1)原式 6cos1256 isin1256 6cos1112 isin1112.(2)原式21cos634 isin63421cos1112 i
5、sin1112.答案(3)原式12cos3isin34116cos43 isin4311612 32 i12 32 i16 132 332i.答案 (1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和(2)复数三角形式乘法运算注意向量旋转的方向(3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式(1)如果向量OZ对应复数 4i，OZ逆时针旋转 45后再把模变为原来的 2倍，得到向量OZ1，那么与OZ1 对应的复数是_；(2)计算(1 3i)6.答案(1)44i(2)见解析答案 解析(1)OZ4i4cos2isin2，OZ1 4 2cos24 isin244 2 22 22
6、i 44i.(2)原式2cos3isin3626cos63 isin63 26.解析 题型二复数三角形式的除法运算例 2 计算(1i)3cos34 isin34.解 因为 1i 2cos4isin4，所以原式2cos4isin43cos34 isin34 23cos434 isin434 23cos2 isin2 63(0i)63 i.答案(1)商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角(2)结果一般保留代数形式(3)商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差实际上，argz1z2与 argz1，argz2 的关系是：argz1z2argz1
7、argz22k(kZ)计算：(1)6(cos70isin70)3(cos40isin40)；(2)8cos23 isin23 2cos6isin6.解(1)原式2cos30isin30 3i.(2)原式4cos2isin2 4i.答案 题型三 复数乘、除运算几何意义的应用 例 3 如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：12344.证明 如图，建立平面直角坐标系(复平面)1arg(3i)，2arg(5i)，3arg(7i)，4arg(8i)答案 所以1234 就是乘积(3i)(5i)(7i)(8i)的辐角而(3i)(5i)(7i)(8i)650(1i)，所以 arg(3i)(5
8、i)(7i)(8i)4，又因为1，2，3，4 均为锐角，于是 012342，所以12344.答案 复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件设复数 z1，z2 对应的向量为OZ1，OZ2，O 为坐标原点，且 z11 3i，若把OZ1 绕原点逆时针旋转43，把OZ2 绕原点顺时针旋转34，所得两向量恰好重合，求复数 z2.解 依题意(1 3i)cos43 isin43z2cos34 isin34.z2(1 3i)cos43 isin43 cos34 isin342cos23 43 34 isin23 43 342cos114 isin114 2 2
9、i.答案 随堂水平达标 1.cos4isin410()Ai BiC.22 22 i D.22 22 i解析 cos4isin410cos104 isin104 cos52 isin52 cos2isin2i.故选 A.解析 答案 A答案 2若复数 z i1i，则它的三角形式为()A.12cos4isin4B.2cos4isin4C.22 cos4isin4D.22 cos4isin4答案 C答案 解析 z i1i1212i，|z|22，复数 z 对应的点是12，12，位于第一象限，所以 argz4.故选 C.解析 3.cos6isin6 cos3isin3()Ai BiC1 D1解析 原式cos63 isin63 cos2isin2i.解析 答案 A答案 4计算 2cos4isin4 _.答案 2 2i答案 解析 解法一：原式222 22 i21i22 1i1i21i2 2 2i.解法二：原式2cos0isin0cos4isin42cos4 isin42 22 2 22 i 2 2i.解析 5求复数 z13i27 的模解 因为 32 i2cos6isin6，所以3i27cos6isin67cos76 isin76 32 12i，故 z1 32 12i，答案|z|1 3221222 342 32 3122 312 6 22.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件
