1、1在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB2BC4，BFCFAEDE，EF2，EFAB，AFCF.(1)若G为FC的中点，证明：AF平面BDG；(2)求平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值2. (2016长春模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，DAB60，PD平面ABCD，PDAD1，点E，F分别为AB和PD的中点(1)求证：直线AF平面PEC；(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值3. (2016兰州模拟)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB2，BCCD1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.(1)求证：AD1B
2、C；(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值4.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，ABC60，AB2CB2.在梯形ACEF中，EFAC，且AC2EF，EC平面ABCD.(1)求证：BCAF；(2)若二面角DAFC的大小为45，求CE的长5如图是多面体ABCA1B1C1和它的三视图(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE平面A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA所成的角(锐角)的余弦值6如图，在RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上过点E作EFBC交AC于点F，
3、将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与P重合)，使得PEB60.(1)求证：EFPB；(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值是否为定值？答 案1解：(1)证明：如图，连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点，OGAF.AF平面BDG，OG平面BDG，AF平面BDG. (2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQABEF，M，Q，F，E共面作FPMQ于P，ENMQ于N，则ENFP且ENFP.连接EM，FQ，AEDEBFCF，ADBC，ADE和BCF全等，EMFQ，ENM和FPQ全等，MNPQ1，BFCF，Q为BC的中点，BCFQ，
4、又BCMQ，FQMQQ，BC平面MQFE，PFBC，PF平面ABCD.以P为原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(3,1,0)，B(1,1,0)，C(1，1,0)， 得令z11，得x10，y12，同理得平面BCF的一个法向量为n2(2,0,1)，cosn1，n2，平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为.2.解：(1)证明：如图，作FMCD交PC于M，连接ME. 点F为PD的中点，FMCD.AEABFM，AEMF为平行四边形，AFEM.AF平面PEC，EM平面PEC，直线AF平面PEC. (2)连接DE，DAB60，DEDC. 如图所示，建立坐标系，则P(0，0,1
5、)，C(0,1,0)，E，A，0，B，取x1，则z，平面PAB的一个法向量为n.PC与平面PAB所成角的正弦值为.3.解：(1)证明：连接D1C，则D1C平面ABCD，D1CBC.在等腰梯形ABCD中，连接AC，AB2，BCCD1，ABCD，BCAC，BC平面AD1C，AD1BC.(2)法一：ABCD，D1DC，CD1，D1C.在底面ABCD中作CMAB，连接D1M，则D1MAB，D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角在RtD1CM中，CM，D1C，D1M，cosD1MC，即平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.法二：由(1)知AC，BC，D1C两两垂直，
6、ABCD，D1DC，CD1，D1C.在等腰梯形ABCD中，AB2，BCCD1，ABCD，AC，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，设平面ABC1D1的法向量n(x，y，z)，可得平面ABC1D1的一个法向量n(1，1) 平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.4.解：(1)证明：在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos 603，所以AB2AC2BC2，由勾股定理知ACB90，所以BCAC.又因为EC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCEC.又因为ACECC，所以BC平面ACEF，又AF平面ACEF，所以
7、BCAF. (2)因为EC平面ABCD，又由(1)知BCAC，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CEh，则C(0,0,0)，A(，0,0)，F，D（，0），设平面DAF的法向量为n1(x，y，z)，令x，所以n1.又平面AFEC的一个法向量n2(0,1,0)，所以cos 45，解得h，所以CE的长为.5解：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，C1(1，1,2)，则(1,1,2)，(1，1,0)，(0，2，2)设E(x，y，z)，则(x，y2，z)，(1x，1y,2z
8、)则 则E，.得解得2，所以线段CC1上存在满足条件的一点E，使BE平面A1CC1.(2)设平面C1A1C的法向量为m(x，y，z)，取x1，则y1，z1，故m(1，1,1)而平面A1CA的一个法向量为n(1,0,0)，则cosm，n，故平面C1A1C与平面A1CA所成的角(锐角)的余弦值为.6解：(1)证明：在RtABC中，EFBC，EFAB，EFEB，EFEP.又EBEPE，EB，EP平面PEB，EF平面PEB.又PB平面PEB，EFPB.(2)在平面PEB内，过点P作PDBE于点D，由(1)知EF平面PEB，EFPD，又BEEFE，BE，EF平面BCFE，PD平面BCFE.在平面PEB内过点B作直线BHPD，则BH平面BCFE.如图所示，以B为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系设PEx(0x4)，又ABBC4，BE4x，EFx.在RtPED中，PED60，PDx，DEx，BD4xx4x，C(4,0,0)，F(x,4x,0)，P.从而(x4,4x,0)，.设n1(x0，y0，z0)是平面PCF的一个法向量，即取y01，得n1(1,1，)是平面PFC的一个法向量又平面BFC的一个法向量为n2(0,0,1)，设二面角PFCB的平面角为，则cos |cosn1，n2|.因此当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值为定值，且定值为.