1、学案62 双曲线一、课前准备：【自主梳理】1.双曲线的定义1、平面内一点P与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.即|PF1|-|PF2|=2a（a0).(1)若2a|F1F2|,则点P的轨迹为 ;(2)若2a=|F1F2|,则点P的轨迹为 ;(3) 若2a1)（即 ）的点的轨迹叫做双曲线.定点F为双曲线的 ，定直线为双曲线的 .2.双曲线的几何性质条件=标准方程范 围顶 点对称性对称轴对称轴： 实轴长： ，虚轴长： 对称中心焦 点准线方程焦半径焦 距离心率渐近线方程共渐近线的双曲线方程【自我检测】1已知P是双曲线1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3xy0.设F1、F2分别为双曲
2、线的左、右焦点若|PF2|3，则|PF1|_.2. 已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y4x，则该双曲线的离心率是_.3. 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为_.4已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=_.5已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_.二、课堂活动：【例1】填空题：（1）已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为_.（2）过双曲线1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(
3、O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为_.（3）已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 _ .（4）已知F1、F2为双曲线Cx2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2| _.【例2】已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；变式1.求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；变式2.已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。【例3】已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(2,0)(1)求双曲线方程；(2)设Q是双
4、曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|2|，求直线l的方程课堂小结三、课后作业已知双曲线1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为_已知P是双曲线1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3xy0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若|PF2|3，则|PF1|_.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_.；如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是_.5设F1和F2为双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF260，则F1PF2的面积是_ 6过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支
5、上，若|PQ|7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是_.7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_。8若双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是_9(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2y210相交于点P(3，1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；(2)已知双曲线的离心率e，且与椭圆1有共同的焦点，求该双曲线的 方程10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求双
6、曲线方程；(2)求证：;(3)求F1MF2面积四、 纠错分析错题卡题 号错 题 原 因 分 析自我检测参考答案1.5 2. 3. 4. m4 5. yx例1参考答案(1) 9 (2) (3) 1 (4) 4例2 【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，。所以所求双曲线的方程为；变式1椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为，则。又过点，。综上得，所以。点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。变式2.因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为；点在双曲线上，点的坐标适合方程。将分别代入方程中，得方程组：将和看着整体，解得，即双曲线的标准方程为。点评：本题
7、只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。例3【解析】 (1)由题意可设所求的双曲线方程为1(a0，b0)则有e2，c2，a1，则b所求的双曲线方程为x21.(2)直线l与y轴相交于M且过焦点F(2,0)l的斜率k一定存在，设为k，则l：yk(x2)令x0得M(0,2k)|2|且M、Q、F共线于l2或2当2时，xQ， yQk Q，Q在双曲线x211，k，当2时，同理求得Q(4，2k)代入双曲线方程得，161，k则所求的直线l的方程为：y(x2)或y(x2)课后作业1. yx. 2. |PF1|5. 3.双曲线的标准方程是 4. ，5. 6
8、. 148 7. 4 8. 1e29.解：(1)切点为P(3，1)的圆x2y210的切线方程是3xy10.双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，两渐近线方程为3xy0.设所求双曲线方程为9x2y2(0)点P(3，1)在双曲线上，代入上式可得80，所求的双曲线方程为1.(2)在椭圆中，焦点坐标为(，0)，c，又e，a28，b22.双曲线方程为1.10.解：(1)e，可设双曲线方程为x2y2.过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二：(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1MF26.
