1、2020-2021学年上学期七年级数学尖子生同步培优题典【沪教版】专题9.4 乘法公式 姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知，则的值为（）A5B6C7D8【解答】解：，（a+）29，即a2+2+9，则7，故选：C【知识点】分式的化简求值、完全平方公式 2.如果a，b，c满足a2+2b2+2c22ab2bc6c+90，则abc等于（）A9B27C54D
2、81【解答】解：a2+2b2+2c22ab2bc6c+9，（a22ab+b2）+（b22bc+c2）+（c26c+9），（ab）2+（bc）2+（c3）20，（ab）20，（bc）20，（c3）20，ab，bc，c3，即abc3abc27故选：B【知识点】完全平方公式、非负数的性质：偶次方 3.已知a+b7，ab8，则a2b2的值是（）A11B15C56D60【解答】解：a+b7，ab8，a2b2（a+b）（ab）7856故选：C【知识点】平方差公式 4.已知x+y+z0，且，则代数式（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2的值为（）A3B14C16D36【解答】解：x+y+z0，且，（x+1
3、）2+（y+2）2+（z+3）212+12+12（1（x+1）+1（y+2）+1（z+3）2（x+y+z+6）2（x+1）2+（y+2）2+（z+3）236（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2的值为36故选：D【知识点】分式的加减法、完全平方公式 5.把式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2256+1）化筒的结果为（）A210241B21024+1C25121D2512+1【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2256+1）（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2256+1）（221）（22+1）（24+1）（28+1）（2256+1
4、）（241）（24+1）（28+1）（2256+1）（281）（28+1）（2256+1）25121故选：C【知识点】平方差公式、规律型：数字的变化类 6.设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b（a+b）2，则下列结论有：a*b0，则a0且b0a*bb*aa*（b+c）a*b+a*ca*b（a）*（b）正确的有（）个A1B2C3D4【解答】解：a*b0，a*b（a+b）2，（a+b）20，即：a+b0，a、b互为相反数，因此不符合题意，a*b（a+b）2，b*a（b+a）2，因此符合题意，a*（b+c）（a+b+c）2，故不符合题意，a*b（a+b）2，（a）*（b）（ab）2，（a+b
5、）2（ab）2，a*b（a）*（b）故符合题意，因此正确的个数有2个，故选：B【知识点】完全平方公式、实数的运算二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7.当x1时，ax+b+1的值为3，则（a+b1）（1ab）的值为【解答】解：把x1代入得：a+b+13，即a+b2，则原式（21）（12）1（1）1故答案为：1【知识点】平方差公式、完全平方公式 8.如果（3x+3y+1）（3x+3y1）80，那么x+y的值是【解答】解：（3x+3y+1）（3x+3y1）80，（3x+3y）2180，9（x+y）281，（x+y）29，x+y3，故答案为：3
6、【知识点】平方差公式 9.运用乘法公式计算2020240402019+20192的结果是【解答】解：原式20202220202019+20192（20202019）21，故答案为：1【知识点】完全平方公式 10.我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出如图，此表揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）01，它只有一项，系数为1；（a+b）1a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；根据以上规律，（a+b）5展开式共有六
7、项，系数分别为拓展应用：（ab）4【解答】解：（a+b）5a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5（ab）4a44a3b+6a2b24ab3+b4故答案为：1 5 10 10 5 1，a44a3b+6a2b24ab3+b4【知识点】完全平方公式 11.如图，边长为n的正方形纸片剪出一个边长为n3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若该长方形一边的长为3，则另一边的长为【解答】解：设另一边长为x，根据题意得，3xn2（n3）2，x2n3故答案为：2n3【知识点】平方差公式的几何背景 12.如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一
8、个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为【解答】解：（2m+3）24m2+12m+9，拼成的长方形一边长为m，长方形的长为：4m2+12m+9（m+3）2m3m+6这个长方形的周长为：2（3m+6+m）8m+12故答案为：（8m+12）【知识点】平方差公式的几何背景 13.请看杨辉三角，并观察等式：根据前面各式的规律，则（a+b）5的展开式为【解答】解：（a+b）1a+b，（a+b）2a2+2ab+b2，（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，故答
9、案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5【知识点】数学常识、完全平方公式 14.观察下列各式的规律：（ab）（a+b）a2b2（ab）（a2+ab+b2）a3b3（ab）（a3+a2b+ab2+b3）a4b4可得到（ab）（a2019+a2018b+ab2018+b2019）【解答】解：归纳总结得：（ab）（a2019+a2018b+ab2019+b2019）a2020b2020故答案为：a2020b2020【知识点】平方差公式、规律型：数字的变化类三、解答题（本大题共6小题，共58分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知a+b5
10、，ab3，求a2+b2和的值【解答】解：a+b5，ab3，a2+b2（a+b）22ab522325619，【知识点】完全平方公式、分式的化简求值 16.（1）分解因式：（ab）2+4ab；（2）用简便方法计算：2019220182020【解答】解：（1）（ab）2+4ab，a22ab+b2+4ab，a2+2ab+b2，（a+b）2；（2）2019220182020，20192（20191）（2019+1），2019220192+1，1【知识点】因式分解-运用公式法、平方差公式 17.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）（1）探究：上述操
11、作能验证的等式是：（请选择正确的一个）Aa2b2（a+b）（ab） Ba2+aba（a+b） Ca22ab+b2（ab）2（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知4x29y224，2x+3y8，求2x3y的值；计算：【解答】解：（1）根据图形得：a2b2（a+b）（ab），上述操作能验证的等式是A，故答案为：A；（2）4x29y2（2x+3y）（2x3y）24，2x+3y8，2x3y2483；，【知识点】平方差公式的几何背景 18.如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形
12、的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；（2）如果图中的a，b（ab）满足a2+b235，ab23，求a+b的值；（3）已知（5+2x）2+（32x）260，求（5+2x）（32x）的值【解答】解：（1）根据图中条件得，该图形的总面积a2+2ab+b2，该图形的总面积（a+b）2；（2）由（1）可知（a+b）2a2+2ab+b2，a2+b235，ab23，（a+b）235+4681，a+b0，a+b9；（3）设5+2xa，32xb，则a2+b260，a+b（5+2x）+（32x）8，（a+b）2a2+2ab+b2，6460+2ab，ab2，（5+2x）（32x）2【知识点】多项式乘多项式、完全
13、平方公式的几何背景 19.探索题（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51观察以上等式，发现规律，利用所得规律，解决下列问题：（1）直接写出（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）（2）直接写出（x1）（xn1+xn2+x2+x+1）（3）直接写出26+25+24+23+22+2+1的值【解答】解：（1）（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61；故答案为：x61；（2）（x1）（xn1+xn2+x+1）xn1；故答案为：xn1；（3）原式（21）（26+25+24+23+22+2+1）27112
14、7，故答案为：127【知识点】平方差公式、规律型：数字的变化类、多项式乘多项式 20.【知识生成】我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式例如：图1可以得到（a+b）2a2+2ab+b2基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（a+b+c）2；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c12，ab+bc+ac27，则a2+b2+c2；（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的长方形，则x+y+z；【知识迁移】（4）类似地，用两种不
15、同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体请你根据图4中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：【解答】解：（1）由图2得：正方形的面积（a+b+c）2；正方形的面积a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c12，ab+ac+bc27，122a2+b2+c2+227，a2+b2+c21445490，故答案为：90；（3）由题意得：（2a+b）（a+3b）xa2+yb2+zab，2a2+7ab+3b2xa2+yb2+zab，x+y+z12，故答案为：12；（4）原几何体的体积x322xx34x，新几何体的体积x（x+2）（x2），x34xx（x+2）（x2）故答案为：x34xx（x+2）（x2）【知识点】多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景、完全平方式、认识立体图形
