9.3 双曲线（精讲）（学生版）.docx

1、9.3双曲线（精讲）一.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)若ac，则集合P为空集.二双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质图形焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(

2、0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e(1，)渐近线yxyxa，b，c关系c2a2b2(ca0，cb0)三.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为e.四直线与双曲线的位置关系和弦长1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定2.弦长公式设直线ykxb与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| |x1x2|.一求标

3、准方程1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定量”2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为(0)或mx2ny21(mn0)，再根据条件求解3.常用设法：与双曲线1共渐近线的方程可设为(0)；若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的方程可设为(0)二.求双曲线离心率或其取值范围的方法1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求

4、解.3.双曲线1(a0，b0)的渐近线可由0即得两渐近线方程0.4.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为yx(a0，b0)，即0，则双曲线的方程可设为(0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线1(a0，b0)的渐近线yx的斜率k与离心率e的关系：e.三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中当P为短轴端点时，最大.S|PF1|PF2|sin b2tan c|y0|，当|y0|b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为

5、bc.焦点三角形的周长为2(ac).(2) 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则SPF1F2，其中为F1PF2.考点一 双曲线的定义及应用【例1-1】（2023陕西渭南）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（）ABC或D不确定【例1-2】（2023广东潮州）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（）ABCD【例1-3】（2023江苏 ）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， 【一隅三反】1（2023江苏）（多选）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且

6、，则（）A5B3C7D62（2023秋江西南昌高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .【答案】 3（2023全国 课堂例题）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 .考点二 双曲线的标准方程【例2-1】（2023秋课时练习）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（）ABCD【例2-2】（2024秋浙江高三舟山中学校联考开学考试）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（）ABCD【例2-3】（2023江苏 ）下列选项中的曲线与共焦点的双曲线是（）AB1C1D1【一隅三反】（2023江苏）根据下列条件，求双曲线的标

7、准方程：(1)，经过点；(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点；(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上(4)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；(5)焦点在轴上，经过点和点(6)虚轴长为12，离心率为；(7)焦点在x轴上，离心率为，且过点；(8)顶点间距离为6，渐近线方程为yx.(9)以直线为渐近线，过点；(10)与椭圆有公共焦点，离心率为.考点三 离心率与渐近线【例3-1】（2023福建泉州统考模拟预测）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（）ABCD【例3-2】（2023河南校联考二模）已知双曲线：的左右焦点分别是，是双曲线上的一点，且，则双曲线的离心率是（）ABC

8、D【例3-3】（2023秋广东高三校联考阶段练习）已知双曲线C：（，），斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（）ABCD【一隅三反】1（2023广西桂林）双曲线的渐近线方程是（）ABCD2（2023春新疆巴音郭楞）设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（）ABCD3（2023江西江西师大附中校考三模）已知是双曲线C：的左焦点，直线与双曲线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）ABC2D考点四 直线与双曲线的位置关系【例4-1】（2023湖南）已知双曲线，直线，试确定实数k

9、的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点【一隅三反】1（2022全国高三专题练习）已知直线与双曲线有两个不同的交点，则的取值可以是（）ABC1D2（2023重庆统考二模）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（）A2条B3条C4条D无数条3（2023四川遂宁射洪中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（）ABCD4（2023四川成都四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（）条A0B2C3D4考点五 弦长与中点弦【例5-1】（2023全国课

10、堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 【例5-2】（2023山东模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（）A1条B2条C3条D4条【例5-3】（2023福建）已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（）A3B4C5D6【一隅三反】1（2023安徽）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（）ABCD2（2023春河南周口 ）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（）ABCD3（2023河北）经过点作直线交双曲线于两点，

11、且为中点(1)求直线的方程(2)求线段的长考点六 直线与双曲线的综合运用【例6】（2023秋安徽）已知双曲线C：（，）的离心率为2，在C上.(1)求双曲线C的方程；(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且，求证：直线l过定点.【一隅三反】1（2023秋江苏南京高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，虚轴长为2.(1)求双曲线的方程；(2)设直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点.2（2023秋辽宁鞍山高三统考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且经过点(1)求双曲线的方程；(2)点在直线上，、分别为双曲线的左、右顶点，直线、分别与双曲线交于、两点求证：直线过定点