1、9.2椭圆（精讲）一椭圆的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹2.焦点：两个定点F1，F2.3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4.半焦距：焦距的一半5.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集.二椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A
2、2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e(0e1)a，b，c的关系a2b2c2一.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则1.b|OP|a；2.ac|PF|ac.二.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形，r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：(1)当r1r2时，即点P的位置为短轴端点时，最大；(2)Sb2tan c|y0|，当|y0|b时，即
3、点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.三标准方程1.利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.2.椭圆的标准方程的两个应用方程1与(0)有相同的离心率.与椭圆1(ab0)共焦点的椭圆系方程为1(ab0，kb20)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.四椭圆离心率建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：1.直接求出a，c，利用离心率公式e求解2.由a与b的关系求离心率，利用变形公式e 求解3.构造a，c的齐次式离心率e的求解中可以不求出
4、a，c的具体值，而是得出a与c的关系式，从而求得e.五弦长(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|x1x2|y1y2|(k0)六直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题；(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 考点一 椭圆的定义及应用【例1-1】（2023春江西高三统考阶段练习）已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（）A2B3CD【答案
5、】D【解析】设椭圆的焦距为，则，的周长为，解得，故选：D【例1-2】（2023河南开封统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（）A6B12CD【答案】C【解析】由椭圆，得，.设，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.【一隅三反】1（2023春贵州黔东南高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（）A1B2C4D5【答案】C【解析】因为,所以四边形是平行四边形.所以.由椭圆的定义得.所以.故选：C2（2024秋广东广州高三华南师大附中校考开学考试）椭圆的两焦点分别为 ，是椭圆上一点，当的面积取得最大值时，（）AB
6、CD【答案】C【解析】，所以，所以，则当最大时，面积最大，此时点位于椭圆的上下端点，则，因为，所以，所以.故选：C.3（2023全国高三专题练习）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（）ABCD【答案】B【解析】由题意椭圆，为两个焦点，可得，则，即，由余弦定理得，故，联立，解得：，而，所以，即，故选：B考点二 椭圆的标准方程【例2】（2023秋课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在轴上，且经过两个点和；(2)经过点和点Q.(3)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；(4)焦点在y轴上，且经过两个点和；(5)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点【答案】(1)(2)(3)(
7、4)(5)【解析】（1）由于椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为，由于椭圆经过点和，故所求椭圆的标准方程为.（2）设椭圆方程为，则，椭圆方程为.（3）由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为，易知，又，故所求椭圆的标准方程为；（4）椭圆的焦点在y轴上，可设它的标准方程为，椭圆经过点和，解之得，故所求椭圆的标准方程为；（5）根据题意可知，又焦点在y轴上，故焦点坐标为，椭圆经过点，由椭圆的定义可得，即，故椭圆的标准方程为.【一隅三反】1（2023秋课时练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】依题意，方程表示椭圆，则，解得或，即实数m的取值范围是.故选：B2（20
8、23秋高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（）ABCD【答案】C【解析】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误.B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误.C选项，方程，即，表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确.D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误.故选：C3（2023秋广东）已知是椭圆的一个焦点，则实数（）A6BC24D【答案】D【解析】椭圆化为：，显然，有，而椭圆的一个焦点为，因此，所以.故选：D4（2023秋高二课时练习）F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且，则椭圆的标准方程为（）ABC1或D1或【答案】D【解析】当焦点在x轴上时，因为，所以，所以
9、，所以椭圆方程为；同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为.故选：D考点三 离心率【例3-1】（2023秋陕西西安高三校联考开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（）ABCD【答案】B【解析】由题得，即，由焦距为4得，解得，可得椭圆方程为，所以，所以离心率为.故选：B.【例3-2】（2023秋安徽高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为，P，Q为C上两点，若，则C的离心率为（）ABCD【答案】D【解析】设，则，.在中得：，即.因此，在中得：，故，所以.故选：D【一隅三反】1（2022秋广东惠州高三统考阶段练习）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（）ABCD【
10、答案】C【解析】椭圆焦点在轴上，离心率，解得：.故选：C.2（2023秋四川成都高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆，又点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即，故选：A3（2023河南校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（）ABCD【答案】A【解析】依题意，直线的斜率为，设，则，且，由两式相减得：，于是，解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，所以椭圆的离心率.故选：A考点四 直线与椭圆
11、的位置关系【例4-1】（2023秋课时练习）若直线与椭圆有唯一公共点，则实数 【答案】【解析】直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得 .方程的判别式.因为直线l与椭圆C有唯一公共点则，解得.故答案为：.【例4-2】（2022全国高三专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是 【答案】【解析】椭圆，y0时，x1时，即切线斜率，椭圆上点P(1,1)处的切线方程是，即故答案为：【一隅三反】1（2023春上海闵行）直线与椭圆恒有两个不同的交点，则a的取值范围是 【答案】【解析】椭圆长半轴长为，由题意得，则若恒有两个不同的交点，则，故答案为：.2（2022秋江西南昌）如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则
12、实数a的取值范围是 .【答案】【解析】直线l：过定点，因为直线l：与椭圆C：总有公共点，所以点在椭圆内部或椭圆上，则有，故答案为：3（2023全国专题练习）直线与椭圆(m0)有且仅有一个公共点P，则m ，点P的坐标是 .【答案】 【解析】法1：联立方程得，得，所以，得，所以.法2：设，则处切线，可化为，比对得，代入椭圆方程得：，得.得，所以，得，所以.法3：椭圆长轴长，焦点.由椭圆的定义知，椭圆上每一个点P，均满足，椭圆上外部的每一个点P，均满足，直线与椭圆有且仅有一个公共点P，则对于直线上任意一点，满足，当且仅当在点处时，等号成立，即当在处时，取得最小值.求得关于直线对称的点为，所以，因此，
13、椭圆方程为，P的坐标是.故答案为：；考点五 弦长与中点弦的问题【例5-1】（2023春河南高三校联考阶段练习）已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分(1)求直线的方程；(2)求的面积【答案】(1)(2)【解析】（1）因为弦被点平分，所以设交点坐标则，两式相减得：），所以直线的斜率，故直线的方程为（2），联立椭圆与直线方程得所以，所以，又因为直线过点，所以【例5-2】（2023全国高三专题练习）已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（）ABCD【答案】C【解析】设，则，且，作差得，所以，即直线l的斜率是故选：C【一隅三反】
14、1（2023秋河南郑州高三校考开学考试）已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积【答案】(1)(2)【解析】1）依题意得，所以，所以椭圆C的方程为.（2）因为直线的倾斜角为，所以斜率为，又直线过点，所以直线，联立，消去并整理得，设，则，所以，所以.2（2023全国高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 【答案】【解析】由题意，在椭圆中，一个焦点为，设椭圆的方程为,，设直线与椭圆的交点为,弦中点为直线截得弦的中点的横坐标为， 即.，解得：椭圆的方程
15、为：，故答案为：.故答案为：.考点六 直线与椭圆的综合运用【例6】（2023全国高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 【答案】【解析】由题意，在椭圆中，一个焦点为，设椭圆的方程为,，设直线与椭圆的交点为,弦中点为直线截得弦的中点的横坐标为， 即.，解得：椭圆的方程为：，故答案为：.故答案为：.【一隅三反】1（2024海南省直辖县级单位校考模拟预测）椭圆的离心率，过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为，求直线与直线的斜率之积.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因为椭圆的离心率，所以 ，即，又因为椭圆过点，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为；（2）如图所示：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与椭圆方程联立求得，又，所以，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消去y得：，由韦达定理得，所以，.2（2023海南海口校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点 ，定直线，动点在上的射影为，且满足.(1)记点的运动轨迹为，求的方程；(2)过点作斜率不为0 的直线与交于 两点，与轴的交点为，记直线和直线的斜率分别为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）设，则，因为，所以，化简得，即的方程为.（2）由题意知，设过点作斜率不为0的直线为，联立可得，则，又，则，所以得证.
