1、6.2.3平面向量的坐标及其运算第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式(教师独具内容)课程标准：1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算教学重点：1.了解正交基底，掌握向量的正交分解及坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式教学难点：平面向量坐标运算的应用.知识点一平面向量的坐标(1)向量的垂直平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作ab.(2)正交基底：如果平面向量的基底e1，e2中，e1
2、e2，就称这组基底为正交基底(3)正交分解：在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解(4)坐标的定义一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果axe1ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a(x，y)如图，在平面上指定一点O作为原点，以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，以e1(或e2)的模为单位长度建立平面直角坐标系，对于平面上任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的坐标就是向量a的坐标(5)向量的坐标表示若xe1ye2(x，y)，则的坐标为(x，y)点A的坐标为(x，y)知识点二平面上向量的运算与坐标的关系(
3、1)向量坐标的运算已知平面上的两个向量a，b，满足a(x1，y1)，b(x2，y2)abx1x2且y1y2.即平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等ab(x1x2，y1y2)uavb(ux1vx2，uy1vy2)uavb(ux1vx2，uy1vy2)(2)向量的模向量a(x，y)，则|a| .知识点三两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点(1)两点之间的距离公式AB| .(2)中点坐标公式设线段AB的中点为M(x，y)，则x，y.1求平面上向量坐标的三种方法(1)将向量用单位向量e1，e2表示出来；(2)将向量的始点平移到原点，读
4、出终点的坐标；(3)用向量终点的坐标减去始点的坐标2向量的坐标与点的坐标的区别(1)当且仅当向量的始点为坐标原点时，向量坐标与终点坐标相同(2)(x，y)在直角坐标系中有双重含义，既可以表示一个点，也可以表示一个向量为了区分，我们通常说点(x，y)，向量(x，y)(3)向量坐标前带“”而点的坐标前不带注意：两个相等向量的始点和终点可以不同3向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关若a(a1，a2)，则将a任意平移后其坐标仍为(a1，a2)4通过平面直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对也表示一个向量也就是说，一个平面
5、向量就是一个有序实数对这样就可以把许多几何问题代数化1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)把一个向量分解成两个互相垂直的基向量，叫做向量的正交分解()(2)(2，1)即表示B(2，1)，A(0,0)()(3)两个相等向量的始点和终点相同()答案(1)(2)(3)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知(x，y)，B的坐标是(2,1)，那么的坐标为_(2)在平面直角坐标系内，已知i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，若ai2j，则向量用坐标表示为a_.(3)若点A(3,5)，B(2,1)，则向量的坐标为_(4)若a(3,2)，b(0，1)，则2ba的坐标是_答案(1)(2x,1y
6、)(2)(1，2)(3)(1，4)(4)(3，4)题型一 平面向量的坐标表示例1已知向量e1(1,0)，e2(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)；若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2；若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的始点是原点O；若x，yR，a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)其中正确结论的个数是()A1B2C3D4解析由平面向量基本定理，知正确；例如，a(1,0)(1,3)，但11，故错误；因为向量可以平移，所以a(x，y)与a的始点是不是原点无关，故错误；当a的终
7、点坐标是(x，y)时，a(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故错误答案A点睛向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.由于向量的起点可以任意选取，如果向量是以坐标原点为始点的，则向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，则向量的坐标就与其终点的坐标不同.如图，分别用单位正交基底i，j表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标解由题图可知a2i3j，a(2,3)同理可得b2i3j(2,3)，c2i3j(2，3)，d2i3j(2，3)题型二 平面向量的坐标运算例2设向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求下列各向量的坐标(1)ab；(2)ab；(3)3a；(4)2a5b.解(1
8、)ab(1,2)(3，5)(2，3)(2)ab(1,2)(3，5)(4,7)(3)3a3(1,2)(3,6)(4)2a5b2(1,2)5(3，5)(2,4)(15，25)(13，21)点睛平面向量坐标的线性运算(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行(2)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则|c|_；(2)已知向量a(x23x4，x3)，b(0,2)，若ab，求x的值答案(1)(2)见解析解析(1)由已知得3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)，所以c，|c| .(2)根据“两向量相等，则其对应坐标相等
9、”列方程组求解ab，解得x1.题型三 两点间的距离公式与中点坐标公式例3已知平面内的三个点A(1，2)，B(7,0)，C(5,6)(1)求的坐标；(2)求ABAC的长解(1)A(1，2)，B(7,0)，C(5,6)，(71,02)(6,2)，(51,62)(6,8)(3,4)，(6,2)(3,4)(3,6)(2)由两点间的距离公式得，AB2.AC10.ABAC102.故ABAC的长为102.点睛(1)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去始点坐标即可得到该向量的坐标.(2)求线段的长度时，注意利用两点间的距离公式求解.已知点A(0,1)，B(3,2)，向
10、量(4，3)，点M为BC的中点(1)求点M的坐标；(2)求BC2BM的长解(1)设C(x，y)，则(x0，y1)(x，y1)(4，3)，即解得所以C(4，2)，由中点坐标公式知，M，即M.(2)由两点间的距离公式，可知BC.BM .BC2BM2.BC2BM的长为2.题型四 平面向量坐标运算的应用例4已知平面上三个点的坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点解设点D的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，(4,6)(3,7)(1，2)(x，y)，D(0，1)；当平行四边形为ABDC时，同(1)可得D(2，3)；当平行四边形为ADB
11、C时，同(1)可得D(6,15)综上所述，点D可能为(0，1)或(2，3)或(6,15)点睛1进行向量坐标运算的常见方法(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等向量的坐标对应相等这一原则，通过列方程(组)进行求解(3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般是先求出基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法求出相应系数2利用向量的坐标运算求参数的思路已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算
12、的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)，B(4,3)，C(3,6)，(R)(1)试求实数为何值时，点P在第二、四象限的角平分线上；(2)试求实数为何值时，点P在第三象限内解设P(x，y)，因为，所以(4,3)(4,4)(44，34)(1)因为点P在第二、四象限的角平分线上，所以xy，所以44(34)，解得，所以当时，点P在第二、四象限的角平分线上(2)因为点P在第三象限内，所以所以解得1.所以当1时，点P在第三象限内1已知(2,4)，(2,6)，则()A(0
13、,5)B(0,1)C(2,5)D(2,1)答案D解析(2,6)(2,4)(4,2)，(2,1)2若向量a(x2,3)与向量b(1，y2)相等，则x_，y_.答案31解析解得3如下图，向量a，b，c的坐标分别是_、_、_.答案(4,0)(0,6)(2，5)解析解法一：将各向量向基底所在直线分解a4i0j，a(4,0)b0i6j，b(0,6)，c2i5j，c(2，5)解法二：分别将向量a，b，c的始点平移到原点，则终点坐标即为向量的坐标，得a(4,0)，b(0,6)，c(2，5)解法三：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a(6,2)(2,2)(4,0)；b(2,6)(2,0)(
14、0,6)；c(3，6)(1，1)(2，5)4已知O为坐标原点，向量(1,2)，(2，1)，若2，则OP的长为_答案解析设P(x，y)，则(x1，y2)，而(3，3)，2，解得故OP的长为 .5已知ab(2，8)，ab(8,16)，求a，b及|3ab|.解解法一：设a(m，n)，b(p，q)，则有解得所以a(3,4)，b(5，12)，3ab(4,0)，故|3ab|4.解法二：a(ab)(ab)(3,4)，b(ab)(ab)(5，12)，3ab2(ab)(ab)(4,0)，故|3ab|4.一、选择题1已知a(1,1)，b(1，1)，则ab()A(1,2)B(1，2)C(1，2)D(1,2)答案A解
15、析ab(1,1)(1，1)(1,2)2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c()A3abB3abCa3bDa3b答案B解析由已知可设cxayb所以c3ab.3设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A(2,6)B(2,6)C(2，6)D(2，6)答案D解析由题意，得4a4b2c2(ac)d0，则d4a4b2c2(ac)6a4b4c6(1，3)4(2,4)4(1，2)(2，6)故选D.4已知向量a(1,2)，2ab(3,2)，则|b|()A.B2 C.D2答案A解析b(3,2)2a(3,2
16、)(2,4)(1，2)，故|b|.5(多选)对于n个向量a1，a2，a3，an，若存在n个不全为0的实数k1，k2，k3，kn，使得k1a1k2a2k3a3knan0成立，则称向量a1，a2，a3，an是线性相关的按此规定，能使向量a1(1,0)，a2(1，1)，a3(2，2)是线性相关的实数为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的取值可以为()Ak14，k22，k31Bk13，k2，k3Ck12，k21，k3Dk16，k21，k3答案AC解析因为向量a1(1,0)，a2(1，1)，a3(2,2)是线性相关的，所以k1a1k2a2k3a30，即k1(1,0)k2(1，1)k3(2,2)0，即(
17、k1k22k3，k22k3)0，所以结合选项，可知A，C满足.故选AC.二、填空题6若A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则AB2BC_.答案5解析AB，BC2，故AB2BC45.7已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P在直线OA上，且，又点P是线段OB的中点，则点B的坐标是_答案(4,2)或(12，6)解析若点P在线段OA上，则2，2，(2,1)，点P的坐标为(2,1)P是OB的中点，点B的坐标为(4,2)若点P在线段AO的延长线上则2，2.(6，3)，点P的坐标是(6，3)P是OB的中点，点B的坐标为(12，6)综上，点B的坐标为(4,2)或(12，6)8.如图，在正方形ABCD
18、中，O为中心，且(1，1)，则_；_；_.答案(1，1)(1,1)(1,1)解析根据题意，知点A与点B关于y轴对称，与点C关于原点对称，与点D关于x轴对称，又因(1，1)，O为坐标原点，A(1，1)，B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)，(1，1)，(1,1)，(1，1)三、解答题9已知a(3x4y，2xy)，b2x3y1，3xy3，若2a3b，试求x与y的值解a(3x4y，2xy)，b，由2a3b可得(6x8y，4x2y)，解得10已知ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N分别是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.解因为A(7,8)，B(3,5)
19、，C(4,3)，所以(4，3)，(3，5)又因为D是BC的中点，所以().又M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，故有.1在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且AOC，|2，若，则_.答案2解析因为|2，AOC，所以C(，)，又，所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.2已知A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(x，y)(1)求32的坐标；(2)若A，B，C，D四点构成平行四边形ABCD，求点D的坐标解(1)(1,3)，(2,4)，(1,1)，323(1,3)2(2,4)(1,1)(0,2)(2)四边形ABCD为平行四边形，又(x1，y2)，解得故点D的坐标为(2，1)
