1、91图形的旋转考点一、图形的旋转图形的旋转:将图形绕某一定点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。这个定点称为旋转中心,这个角度称为旋转角.考点二、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角相等且都等于旋转角。题型一：识别生活中的旋转现象1下列事件中,属于旋转运动的是()A小明向北走了4米B时针转动C电梯从1楼到12楼D一物体从高空坠下2下列现象中属于旋转的有（）个地下水位逐年下降传送带的移动方向盘的转动水龙头开关的转动钟摆的运动荡秋千运动A5B4C3D23下列事件中，属于旋转运动的是（）A小明向北走了4米B小明在荡秋千C电梯从1楼到12楼D一
2、物体从高空坠下4在以下生活现象中，属于旋转变换的是（）A钟表的指针和钟摆的运动B站在电梯上的人的运动C坐在火车上睡觉的旅客D地下水位线逐年下降5有下列现象：地下水位逐年下降：传送带的移动；方向盘的转动：水龙头开关的转动；钟摆的运动：荡秋千运动其中属于旋转的有（）A2个B3个C4个D5个题型二：确定旋转中心和旋转角6图中，不能由一个基本图形通过旋转而得到的是()ABCD7将如图所示的图形绕中心按顺时针方向旋转60后可得到的图形是（）ABCD8下列图中的“笑脸”，由图（1）按逆时针方向旋转90得到的是（ ）ABCD9如图，经过平移和旋转变换可能将甲图案变成乙图案的是（）（默认三角形都是全等的）AB
3、CD10如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（）A（1，1）B（4，4）C（2，1）D（1，1）或（4，4）11如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（）A点AB点BC点CD点D12如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则旋转中心是（）A格点AB格点BC格点CD格点D13如图，COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转角为（）AAODBAOBCBOCDAOC14如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点都在
4、方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90，得到ABC，则点P的坐标为（）A（0，4）B（1，1）C（1，2）D（2，1）15如图，ABC是等边三角形，D为BC边上的点，ABD经旋转后到达ACE的位置，那么旋转角为（）A75B60C45D1516如图，将ABC绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（）ABCD17在如图44的正方形网格中，MNP绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A点AB点BC点CD点D题型三：利用旋转性质计算角度18如图，在中，将绕点顺时针旋转90后得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接.若，则的大小是（）A77B69C67D3219如图，将绕
5、点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，则的度数是（）ABCD1下列运动属于旋转的是 （）A篮球的运动B气球升空的运动C钟表钟摆的摆动D一个图形沿某直线对折的过程2如图，由所给图形经过旋转不能得到的是（）ABCD3如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（）A点B点C点D点4如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（）A6B10CD5如图，在中，在同一平面内，将绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边的延长线上，则()ABCD6如图，在中，点是线段上一动点，将绕点按顺时针方向旋转，得到、点是线段的中点，则长度的最小值为（）ABCD7如图，在平面
6、直角坐标系中，点，将线段作以下变换：以点为旋转中心，将的长变为两倍并逆时针旋转得到，连接；以点为旋转中心，将的长变为两倍并逆时针旋转得到，连接；依此规律得到线段，则线段的长度为（）ABCD8如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将绕点A逆时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标为（）ABCD二、填空题9如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点为网格线的交点.若线段绕原点顺时针旋转90后，端点的坐标变为_10如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点三角形（顶点是网格线的交点）以点为旋转中心，三角形绕点逆时针旋转90得到三角形；将三角形向左平移5个单位得到三角形这
7、样，三角形可以看做由三角形先以点为旋转中心，绕点顺时针旋转90，然后向左平移5个单位得到的除此以外，三角形还可以由三角形怎样变换得到呢？请你选择一种方法，写出变换过程是_1如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，连接，则的度数是（）ABCD2如图，中，将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（）ABCD3如图，在中，将以点A为中心顺时针旋转得到，若点B的对应点D点恰好落在边上，交于点F则下列结论一定正确的是（）AB平分CD4在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，把线段绕点A旋转后得到线段，使点B的对应点落在x轴上，则点的坐标是（）ABC或D或5如图，点
8、，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转90得到，连接则的最小值是（）ABC2D46如图，在矩形中，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（）ABC4D7如图，O是等边内一点，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点B逆时针旋转得到；点O与的距离为4；点；其中正确有多少（）个A5B4C3D28等腰直角三角形和等腰直角三角形中，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（）AB4CD二、填空题9如图，D是内一点，则的长是_10如图，直线l上依次有，四点，且，以为边作等边，连接，；若，则的长是_11如图，为等边三角
9、形，点P为内一点，且，M、N为、上的动点，且，则的最小值为_12如图和中，点在边上，将绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当时，旋转时间_秒13如图，已知ABC中，C90，ACBC，将ABC绕点A逆时针反向旋转60到ABC的位置，连接CB，则CB的长为_三、解答题14如图1，在中，点D是上一点，过D作，交于点E(1)证明：；(2)如图2，将绕点C逆时针旋转，旋转角为，线段与是否仍然相等？请说明理由；如图3，为中边上的高，当点A，D，E在同一直线上，写出线段，之间的数量关系，并说明理由；设，绕点C逆时针旋转过程中，直接写出线段的取值范围15如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时
10、针旋转，得到线段，连接，(1)求证：；(2)连接，若，求的度数16（1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，并延长到点，使，连接若，则，之间的数量关系为 ；（2）【类比探究】如图2，当点在线段的延长线上，且时，试探究，之间的数量关系，并说明理由；（3）【拓展应用】如图3，在中，在上，若的面积为12，请直接写出的面积 17已知：和均为等腰直角三角形，按图1放置，使点在上，取的中点，连接，我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”(1)观察发现：图1中，的数量关系是_，位置关系是_；(2)探究证明：将图1中的绕点顺
11、时针转动，再连接，取的中点（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；(3)拓展延伸：将图1中的绕点转动任意角度（转动角度在到之间），再连接，取的中点（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论18（1）问题发现：如图1，在中，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A逆时针旋转90得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；（1）探究证明：如图2，在与中，将绕点A旋转，使点D落在的延长线上时，连接，写出此时线段，之间的等量关系，并证明；（2）拓展延伸：如图3，在四边形中，若，请求出的长题型探究详解题型一答案1B【分析】根据旋转的定义即可判断.【详解】A. 小
12、明向北走了4米，是平移运动；B. 时针转动是旋转运动，C. 电梯从1楼到12楼，是平移运动D. 一物体从高空坠下，是平移运动故选B.【点睛】此题主要考查旋转的定义，解题的关键是熟知旋转与平移的特点.2B【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解【详解】解：地下水位逐年下降，是平移现象；传送带的移动，是平移现象；方向盘的转动，是旋转现象；水龙头开关的转动，是旋转现象；钟摆的运动，是旋转现象；荡秋千运动，是旋转现象属于旋转的有共4个故选：B【点睛】本题考查了生活中的平移与旋转，是基础题，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键3B【分析】根据旋转的定义，即可求解【详解】解：A、小明向
13、北走了4米是平移，A不符合题意；B、小明在荡秋千是旋转，B符合题意；C、电梯从1楼到12楼是平移，C不符合题意；D、一物体从高空坠下是平移，D不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了旋转的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转是解题的关键4A【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；C、坐在火车
14、上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；故选：A【点睛】本题是考查图形的平移、旋转的意义图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定作圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象5C【分析】根据平移和旋转的定义对各运动进行分析，即可找出其中的旋转运动【详解】解：属于旋转，共有4个故选：C【点睛】本题考查旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键题型二答案6C【分析】根据旋转的过程观察各选项从基本图形能否转成整体的图形【详解】A可以从基本图形转到整体图形；B可以通过旋转将基本图形旋转成整体图形；C不可以通过旋转得到整体图
15、形；D可以通过旋转将基本图形旋转成整体图形故选C.7A【分析】根据旋转图形的性质可以得出旋转后的图形.【详解】解：根据旋转图形的性质：可以得出旋转后的图形为.故选A8A【详解】本题考查的旋转的基本性质，A项由图（1）按逆时针方向旋转90，正确；B项由图（1）按逆时针方向旋转180；C项由图（1）按顺时针方向旋转90；D项和图（1）相同，没有旋转故选A9A【详解】根据平移和旋转的性质进行选择，平移不改变图形的大小和形状，旋转改变图形的方向，可以作出选择解：B、C、D通过旋转和平移，和乙图各点不对应，均错误；A经过平移和旋转变换可能将甲图案变成乙故选A10A【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的
16、垂直平分线的交点即为旋转中心【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心，E（1，1），故选：A【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心11C【分析】分别将两个三角形的三个顶点与B，C，D，三角相连，判断连线是否长度相等，围成角度是否相等，如果都相等则是旋转中心【详解】解，连接FC，PC，由图可知， ，且，连接EC，RC，由图可知， ，且，连接GC，QC，由图可知， ，且，故点C为旋转中心，故选：C【点睛】本题考查图形的旋转，能够判断旋转中心是解决本题的关键12B【分析】根据图形旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等判断即可
17、【详解】解：根据图形旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等可以判断，三角形甲绕点B旋转可得到三角形乙，故选：B【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握对应点到旋转中心相等的性质是解题的关键13D【分析】根据旋转角的定义：图形在作旋转运动时，一个点与旋转中心的连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线这两条线的夹角即为旋转角，进行判断即可【详解】解：由图可知，与均为旋转角故选D【点睛】本题考查了旋转角的定义解题的关键在于熟练掌握旋转角的定义14C【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P【详解】解：选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P，由图知，旋转中心P
18、的坐标为（1，2）故选：C【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质15B【分析】根据题意可知旋转角为，根据等边三角形的性质即可求解【详解】解：ABD经旋转后到达ACE的位置，ABC是等边三角形，旋转角为，故选B【点睛】本题考查了等边三角形的性质，找旋转角，找到旋转前后对应的线段所产生的夹角即为旋转是解题的关键16B【分析】分别找到两组对应点A与，C与，然后作线段和的垂直平分线，它们的交点即为所求【详解】解：将以某点为旋转中心，顺时针旋转90得到，点A的对应点为点，点C的对应点为点，如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为，旋转中心P的坐标为故选B【点睛】本题主要
19、考查旋转中心的确定，掌握两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键17B【分析】根据旋转中心的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可得到.【详解】解：MNP绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P1，连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B故选B【点睛】此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点.题型三答案:18A【分析】先利用旋转的性质得AC=AC，B=ABC，CAC=90，则可判断ACC为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的
20、性质得ACC=ACC=45，然后利用三角形外角性质得ABC=77，从而得到B的度数【详解】ABC绕点A顺时针旋转90后得到ABC，AC=AC,B=ABC,CAC=90，ACC为等腰直角三角形，ACC=ACC=45，CCB=32，ABC=BCC+CCB=45+32=77，B=77.故选:A.【点睛】考查旋转的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转前后对应边相等.19D【分析】根据旋转的性质可得，进而根据等边对等角的性质求解即可【详解】解：由题意知，故选D【点睛】本题考查了旋转的性质和等边对等角的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键随堂演练详解1C【分析】根据旋转的定义进行
21、判断即可【详解】解：A篮球的运动不一定是旋转，故A不符合题意；B气球升空的运动属于平移，不属于旋转，故B不符合题意；C钟表钟摆的摆动属于旋转，故C符合题意；D一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转，故D不符合题意故选：C【点睛】本题主要考查了旋转的定义，解题的关键是熟练掌握旋转的定义2C【分析】由如图图形旋转，分别判断、解答即可【详解】解：A由图形旋转而得出；故本选项不符合题意；B由图形旋转而得出；故本选项不符合题意；C不能由如图图形经过旋转得到；故本选项符合题意；D由图形旋转而得出；故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而
22、旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键3B【分析】连接、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点即为旋转中心【详解】解：如图，由绕某点旋转一定的角度，得到，则连接、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，三条线段的垂直平分线正好都过点B，旋转中心是点B故选：B【点睛】本题考查了旋转的基本性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上4D【分析】首先在中可结合“所对的直角边等于斜边的一半”求出，再结合旋转的性质可知为等腰直角三角形，从而求解即可【详解】解：在中，由旋转的性质可知，为等
23、腰直角三角形，故选：D【点睛】本题考查直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质，掌握直角三角形中的“斜中半”定理，熟练运用旋转的性质是解题关键5D【分析】根据旋转的性质得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理，得出，根据三角形的外角的性质得出，根据三角形内角和定理即可求解【详解】解：依题意，又，故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的外角的性质与三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键6A【分析】根据旋转的性质以及垂线段最短即可求得的最小值【详解】解：如图，在旋转过程中，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，当三点共线且时，由垂线段最短可知线段的值最小，即的值最
24、小，在中， ，在中，点是线段的中点，的最小值为：，故选【点睛】本题考查了旋转的性质，特殊角的三角函数，垂线段最短，根据题意画出辅助线是解题的关键7C【分析】先在图上大致画出变化的结果，发现规律，即可得到答案【详解】根据题意：，在中，故选：C【点睛】本题考找规律，注意最后用勾股定理求解8B【分析】根据旋转性质，作出点C，再根据图写出坐标即可【详解】解：如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，C(-2,3)，故选：B【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质，根据旋转性质作出图形9【分析】根据题意作出旋转后的图形，然后读出坐标系中点的坐标即可【详解】解：线段OA绕原点O
25、顺时针旋转90后的位置如图所示，旋转后的点A的坐标为（2，-2），故答案为：（2，-2）【点睛】题目主要考查图形的旋转，点的坐标，理解题意，作出旋转后的图形读出点的坐标是解题关键10答案不唯一如：三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先向左平移5个单位得到的，再以点O为旋转中心，绕点O顺时针旋转90得到【分析】先向左平移5个单位，再以点O为旋转中心，绕点O顺时针旋转90得到【详解】解：如图，观察图形可知，三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先向左平移5个单位，再以点O为旋转中心，绕点O顺时针旋转90得到故答案为：三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先向左平移5个单位
26、得到的，再以点O为旋转中心，绕点O顺时针旋转90得到【点睛】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的性质，正确作出图形高分突破详解1C【分析】设，则，根据平行线的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得【详解】解：设，由旋转的性质得：，在中，解得，即，故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键2D【分析】首先根据旋转可得，根据等腰三角形的性质，可得，再根据，进而可得的度数【详解】解：，将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，故选：【点睛】本题
27、考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质3B【分析】由旋转的性质得出，进而得出，得出，得出平分，即可得出答案【详解】解：以点A为中心顺时针旋转得到，平分，故选项B正确；根据已知条件无法判断选项A、C、D一定成立故选：B【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握旋转的性质，等边对等角等知识是解题的关键4C【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用旋转的性质得出的长，进而得出答案注意题目中未说明点落在x轴正半轴还是负半轴，所以要分类求解【详解】，当点落在x轴的正半轴时，；当点落在x轴的负半轴时，综上可知，点的坐标是或故选：C【点睛】本题主要
28、考查了勾股定理以及坐标与图形变换的性质，正确得出的长是解题的关键，同时要注意这类题的易错点忽略分类讨论，导致漏解5A【分析】如图1所示，当点P在x轴正半轴时，过点C作轴交x轴于D，设，利用一线三垂直模型证明推出，进而得到点C在直线上运动，则当与直线垂直时，有最小值，据此求解即可【详解】解：如图1所示，当点P在x轴正半轴时，过点C作轴交x轴于D，设，由旋转的性质可得，又，点C在直线上运动，同理可证当点P在x轴负半轴时，点C在直线上运动，当与直线垂直时，有最小值，设直线与x轴交于点E，与y轴交于F，如图2所示， ，又，是等腰直角三角形，的最小值为，故选A【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全
29、等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，确定点C的运动轨迹是解题的关键6D【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长最后在中，利用三边关系即可得出答案【详解】解：如图，连接，过点A作，截取，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，又，在中，且当点G，P，E三点共线时取等号，的最小值为故选D【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识正确作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键7C【分析】证明，又，所以可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论正确；由是等边三角形，可知结论正确；在中，三边长为3，
30、4，5，结合勾股定理的逆定理证明是直角三角形；进而求得，故结论正确；，故结论错误；如图，将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将转化为，计算可得结论错误【详解】解：由题意可知，又，在和中，又，可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论正确；如图，连接，且，是等边三角形，故结论正确；，在中，且，是直角三角形，故结论正确；，故结论错误；如图所示，将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点同理可得是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形，则，故结论错误综上所述，正确的结论为：故选C【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形，直角三角形的性质利用勾股定
31、理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点在判定结论时，将向不同方向旋转，体现了结论结论解题思路的拓展应用8B【分析】和都是等腰直角三角形，可证，由全等三角形对应角相等得为底边，则高最小时，三角形面积最小，则当为的切线时，P到的距离最短，求得这个最小点，再得到矩形为正方形，由勾股定理和正方形的边长相等可求得的长，即可求解【详解】解：和都是等腰直角三角形，点P在以为直径的圆上，则当为底边，则高最小时，三角形面积最小，此时最小，绕点A顺时针旋转一周，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，当为的切线时，P到的距离最短，四边形为矩形，矩形为正方形， ，此时的面积为即面积的最
32、小值为4故选：B【点睛】本题主要考查了图形的旋转，圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意得到点P的轨迹是解题的关键9【分析】将绕点D顺时针旋转至，连接，交于F，交于M，勾股定理求出，易证得到，从而证得，在与中解得再求得、，最后在中运用勾股定理求解即可【详解】解：将绕点D顺时针旋转至，连接，交于F，交于M，则，又，在与中，解得：，在中，故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质的应用、勾股定理解直角三角形；解题的关键是旋转构造全等，从而证明10#【分析】设则把绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得，再证明得到，过点作于，如图，由于，则，所以点与点重合，然后在中，利用
33、含度的直角三角形三边的关系以及勾股定理求得，从而得到的长【详解】解：设则为等边三角形，把绕点顺时针旋转得到，在和中，过点作于，如图，点与点重合，即，在中，即，故答案为【点睛】本题考查了旋转的性质等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键11【分析】先将绕点顺时针旋转得到，连接、，得到，可证得，然后将绕点逆时针旋转得到，连接，则，可证得，从而得解【详解】解：如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，则， ，是等边三角形，如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则，是等边三角形，则的最小值为，故答案为【点睛】本题考查了等边三角形性质、全
34、等三角形的性质、图形的旋转，两次利用旋转构造全等三角形是解题关键1211或29【分析】讨论：如图1，COD绕点O顺时针旋转得到COD，CD交OB于E，根据平行线的判定，当OEC=B=40时，CDAB，则根据三角形外角性质计算出COC=110，从而可计算出此时COD绕点O顺时针旋转110得到COD所需时间；如图2，COD绕点O顺时针旋转得到COD，CD交直线OB于F，利用平行线的判定得当OFC=B=40时，CDAB，根据三角形内角和计算出COC=70，则COD绕点O顺时针旋290得到COD，然后计算此时旋转的时间【详解】如图1，COD绕点O顺时针旋转得到COD，CD交OB于E，则COD=COD=
35、90，OCD=C=70，当OEC=B=40时，CDAB，COC=OEC+OCE=40+70=110，COD绕点O顺时针旋转110得到COD所需时间为11010 =11（秒）；如图2，COD绕点O顺时针旋转得到COD，CD交直线OB于F，则COD=COD=90，OCD=C=70，当OFC=B=40时，CDAB，COC=180-OFC-OCF=180-40-70=70，COD绕点O顺时针旋转的角度为：360-70=290，COD绕点O顺时针旋得到COD所需时间为29010=29（秒）；综上所述，在旋转的过程中，在第11秒或29秒时，边CD恰好与边AB平行故答案为：11或29【点睛】考查了平行线的判
36、定和性质，旋转变换的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观13【分析】连接BB，设BC与AB交点为D，根据C90，ACBC，得到ABAC2，根据旋转，得到ACBACB90，ACACBCBC，ABAB2，BAB60，推出BC垂直平分AB，ABB为等边三角形，得到CDAB1，推出，得到BDAB，得到CBCDBD1【详解】解：连接BB，设BC与AB交点为D，如图，ABC中，C90，ACBC，ABAC2，ABC绕点A逆时针反向旋转60到ABC的位置，ACBACB90，ACACBCBC，ABAB2，BAB60，BC垂直平分AB，ABB为等边三角形，CDAB1，BD，CBCDBD1故答案为1【点睛】
37、本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形，求出，BD的长是解题的关键14(1)证明见解析(2)成立；证明见解析，证明见解析；的取值范围是【分析】（1）先证明，可得，再利用线段间的和差关系求得； （2）证明，从而证出；证明，结合，再利用线段的和差可得答案；利用三角形的三边关系可得，如图，当在线段上时，取最小值，当在线段的延长线时，如图，取得最大值，从而可得答案【详解】（1）解：，（2）仍然成立 理由如下：由旋转可得：，如图，即，如图，当在线段上时，取最小值，的最小值为：，当在线段的
38、延长线时，如图，取得最大值，的最大值为，旋转过程中，的取值范围是【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形三边关系的应用，理解题意，画出符合题意的图形是解本题的关键15(1)见解析(2)【分析】（1）由等边三角形的性质知，由旋转的性质知，从而得，再证可得答案；（2）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解【详解】（1）证明：是等边三角形，线段绕点顺时针旋转，得到线段，在和中，（2）解：如图， ，为等边三角形，【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键16（1
39、）；（2），理由见解析；（3）5【分析】（1）证明，可得，从而推出，再证明，得到，从而得到结论；（2）在上取，证明，得到，推出，证明，得到，从而有；（3）将顺时针方向旋转至，得到，根据，可得，再证明，可得【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，在和中，在和中，；（2）如图，在上取，在和中，在和中，即；（3）将顺时针方向旋转至， 根据旋转的性质可得，,，在和中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，找准每一问中的全等三角形是解题的关键17(1)，相互垂直(2)仍然成立，证明见解析(3)仍然成立，证明见解析【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于
40、斜边的一半”可知，根据，得到，（2）延长交于点，先证明，得到，根据，得到，又因为，所以且（3）延长至点，使，连接，可证明，得到，继而求得，得到，所以，可得且【详解】（1）解：，为的中点，即：，故答案为：，相互垂直；（2）解：仍然成立证明：如图2，延长交于点，又，又，且（3）解：仍然成立证明：如图3，延长至点，使，连接、，在与中，又，在和中，为等腰直角三角形，且【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键18（1）问题发现：；（1）探究证明：见解析（2）拓展延伸：【分析】（1）问题发现：证明，利用全等三角形对应边相等对应角相等即可求解（1）探究证明：证明，利用全等三角形对应边相等对应角相等即可求解（2）拓展延伸：先利用旋转构造出等腰三角形，再构造直角三角形利用勾股定理求解【详解】（1）问题发现：解：由旋转知：，在中，线段与的数量关系是，位置关系是；（1）探究证明：证明：在与中，即；（2）拓展延伸：解：如图，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，连接，是等边三角形，旋转后，与重合，过点E作，垂足为点F，【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形，勾股定理等知识，解题关键是牢记相关概念并灵活应用，要求学生会通过作辅助线构造等边三角形和直角三角形
