1、河北省廊坊市2021届高三数学上学期摸底试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由二次根式及对数函数的性质可得，再由交集的定义即可得解.【详解】由题意，所以
2、.故选：C.2. 函数的零点所在一个区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据零点存在定理判断【详解】，在上有零点故选：B【点睛】本题考查零点存在定理，在上连续的函数，若，则在上至少有一个零点3. 已知角终边过点，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角函数的定义可得，再由两角和的正切公式即可得解.【详解】因为角终边过点，所以，所以.故选：A.4. 已知两条直线，则（ ）A. 或B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两条直线平行的条件列式，由此求得的值.【详解】由于，所以，解得.故选：C5. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案
3、】C【解析】【分析】由指数、对数函数的性质可得，即可得解.【详解】由题意，所以.故选：C.6. 设向量满足，则=（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】利用向量的积的运算进行求解即可【详解】设，又由，所以，解得，得，故选: B7. 易经中记载着一种几何图形-八卦图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦图的面积.如图，现测得正八边形的边长为，则整个八卦图(包括中间的太极图)的面积约为（ ）()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接正八边形的中心及顶点，由余弦定理结合三角形面积公式即可得解.【详解】连接正八边形的中心及
4、顶点，如图，由题意，设，则即，所以，所以整个八卦图的面积.故选：B.8. 已知函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出图象，通过移动结合函数的零点与方程的解的判断即可得结果.【详解】由题意，函数，的图象如图：方程的解为，方程的解为或；当时，函数恰有两个零点，3；当时，函数有2个零点，5；则实数m的取值范围是：故选：A.二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 下列说法正确的是（ ）A. 是的充分不必要条件B. “”的否定是“”C. 若
5、，则D. 定义在上的偶函数的最大值为.【答案】AD【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义可判断A；由特称命题的否定可判断B；由诱导公式、同角三角函数的关系及二倍角公式即可判断C；由偶函数的性质可求得，即可判断D.【详解】对于A，可推出，但推不出，所以是的充分不必要条件，故A正确；对于B，命题“”为特称命题，所以该命题的否定为“”，故B错误；对于C，若，则，即，所以，所以，所以，故C错误；对于D，因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以，所以的最大值为，故D正确.故选：AD.10. 等差数列中，为其前项和，则以下正确的是A. B. C. 的最大值为D. 使得的最大整数【答案】BCD【解析】【分
6、析】先由题设求出等差数列的公差，再逐项判断其正误即可【详解】解：，数列的公差，故A错误；，故B正确；，当时，取得最大值；，故D正确；故选：BCD【点睛】根据等差数列中的基本量的计算及性质进行计算是求解此类问题的常见方法.利用二次函数的性质求等差数列前项和的最大值是常见的方法.11. 函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ）A. 函数在上单调递增B. 函数图象关于直线对称C. 当时，函数的最小值为D. 要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位【答案】AD【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可得，再由三角函数的图象与性质可判断A、B、C
7、；由三角函数图象的变换及诱导公式可判断D.【详解】由函数的最大值为2可得，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期满足，所以，又的图象关于点对称，所以即，所以，当时，所以函数在上单调递增，故A正确；当时，所以直线不是函数图象的对称轴，故B错误；当时，故C错误；将图象向右平移个单位可得的函数为：，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.12. 已知函数在上可导且，其导函数满足，设函数，下列结论正确的是（ ）A. 函数在上为单调递增函数B. 是函数的极大值点C. 函数至多有两个零点D. 时，不等式恒成立【答案】
8、BCD【解析】【分析】根据，求导，再根据，判断正负，得到的单调性再逐项判断.【详解】因为，所以，又因为，所以当时，则递减；当时，则递增；所以当时， 取得极大值，当时，无零点，无零点；当时，有一个零点，有一个零点；当时，有两个零点，有两个零点，故函数至多有两个零点；当时，所以不等式恒成立，故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题的关键是发现的导数，与条件的关联，得出函数的单调性，进而研究函数的极值，最值以及零点和恒成立问题.三填空题：本题共4小，每小题5分，共20分.13. 圆的圆心到直线的距离为，则_.【答案】；【解析】【分析】首先圆的方程写成标准方程，利用点到直线的距离公式求解.【详解】，圆心到
9、直线的距离 ，解得：.故答案为：14. 若实数满足不等式组，则的最大值为_.【答案】3【解析】【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图，设，则，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时，取最大值，由可得点，所以.故答案：3.15. 椭圆的左右焦点分别为，椭圆上的点满足：且，则_.【答案】1【解析】【分析】先根据数量积运算得，再结合椭圆的定义与余弦定理即可得.【详解】解：因为且，所以，由椭圆的定义得，故所以在中，由余弦定理得，代入数据得，解得：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于应用定义与余弦定理列方程求解得.16. 定义在上的函数满足
10、且.当时，.则函数在区间上所有的零点之和为_.【答案】【解析】【分析】由是周期函数，奇函数，得对称中心，又也有对称性，利用对称性及单调性得的图象与图象的交点的性质，也即零点的性质，从而可得和可画出图象说明【详解】得，是偶函数，是周期为4的周期函数，因此可得的图象也关于直线对称是奇函数，它关于直线对称，也关于对称，函数在区间上所有的零点，即为方程的解，在同一坐标系中作出和的大致图象，如图，它们在上有6个交点，横坐标从小到大依次为，其中，由对称性知，题中零点和为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查函数零点之和，解题时把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，作出函数图象，利用函数的性质特别是对称性，观
11、察出交点的对称性，得出交点横坐标的和四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 在平面直角坐标系中，已知向量而（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由平面向量垂直的坐标表示可得，即可得解；（2）由平面向量夹角的坐标表示及三角恒等变换可得，再结合三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1），由可得；（2）由题意，.18. 已知各项均不相等的等比数列an中，Sn为其前n项和，a1=2，在S3=6；4a2，a3，a5成等差数列，这三个条件中任选一个补充为条件，并作答：（1）求an；（2）设bn=nan，求
12、bn的前n项和Tn；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，选：求出即得解；选：根据已知求出即得解；选：求出即得解.（2）求出，再利用错位相减法求解.【详解】（1）解：设等比数列的公比为， 选：选：选：（2）两式相减得，.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）分组求和法；（3）裂项相消法；（4）错位相减法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征，选择对应的方法求和，本题选择的是错位相减法求和.19. 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（1）求；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2
13、）.【解析】【分析】（1）利用同角三角函数将已知式子中的三角函数化为正弦，再利用正弦定理统一为边，然后利用余弦定理可求得结果；（2）先利用利用正弦定理得，再求出，即可求得答案【详解】解：（1），（2），即周长的取值范围为.【点睛】方法点睛：对于给的条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一成边的关系，要么统一成角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变换方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而可得结果20. 2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能
14、.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元（1）判断是否为等比数列？并说明理由；（2）若企业每年年底上缴资金，第年年底企业的剩余资金超过万元，求的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）由题意得，从而得，而当，即时，所以不是等比数列；（2）由（1）可知， ，由可得，然后利用单调递增，可得答案【详解】解：（1）由题意得，当时，
15、即时，是以为首项，为公比的等比数列.当，即时， 不是等比数列（2）当时，由（1）知，即，法一：易知单调递增，又，的最小值为6法二：，的最小值为6.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合应用问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.21. 设抛物线的顶点到焦点的距离为1.（1）求抛物线方程；（2）设过点的直线分别与抛物线交于，两点(不同于点)，
16、以为直径的圆恰好经过点，证明：直线经过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.【解析】【分析】（1）由抛物线的性质可得，即可得解；（2）设直线方程，联立方程结合韦达定理可得、，转化条件为，代入运算化简可得，即可得解.【详解】（1）由题意得，抛物线的方程为；（2）设直线方程为：，联立得，以为直径的圆过点，均存在且不为0，同理，即，验证，直线经过定点.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出直线方程，结合韦达定理求得、，再将点在圆上转化为，最后结合直线过定点即可得解.22. 已知函数.（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）当时，判断的零点个数并说明理由；（3）若恒成立
17、，求的取值范围.【答案】（1）；（2）无零点，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求导，并判断导数的单调性，以及利用零点存在性定理说明存在使，并利用导数判断函数的单调性，证明函数的最小值的正负，说明零点个数；（2）不等式等价于，构造函数，利用函数的单调性可知，利用参变分离的方法，求的取值范围.【详解】（1）当时，切线方程为，即（2）当时，易知在单调递增，且，存在唯一零点，且当时，单调递减，当时，单调递增.对两边取对数，得：无零点.（3）由题意得，即，即，易知函数单调递增，0单调递增极大值单调递减，令，则，令得，列表得，.【点睛】关键点点睛：本题第三问考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键利用不等式等价于，并且通过观察不等号两边的形式，构造函数，并判断单调性，根据单调性解不等式，这样问题迎刃而解.
