1、山西省山西大学附属中学2018-2019学年高二数学5月模块诊断试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.复数的虚部是（）A. 2B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用复数虚部的定义判断可得答案.【详解】解：复数的虚部是2故选：A【点睛】本题主要考查复数的基本概念，相对简单.2.下面几种推理过程是演绎推理是（）A. 某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B. 由三角形的性质，推测空间四面体的性质C. 平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，
2、所以菱形的对角线互相平分D. 在数列中，可得，由此归纳出的通项公式【答案】C【解析】【分析】推理分为合情推理(特殊特殊或特殊一般)与演绎推理（一般特殊），其中合情推理包含类比推理与归纳推理，利用各概念进行判断可得正确答案.【详解】解：A中是从特殊一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C为三段论，是从一般特殊的推理，是演绎推理；D为不完全归纳推理，属于合情推理故选：C【点睛】本题考查推理中的合情推理与演绎推理，注意理解其概念作出正确判断.3.6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人，每人1本，共有
3、不同分法（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】先分语文书有 种，再分数学书有，故共有=，故选A.4.已知，则常数的值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可得，可得常数的值.【详解】解：因为，所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查定积分的相关知识，相对简单.5.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对函数求导，将问题转化成在恒成立，从而求出的取值范围【详解】，在区间上是减函数，在上恒成立，即上恒成立，实数的取值范围为故选A【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法，是高考中的热点问题
4、，解题的关键是将函数在给定区间上是减函数转化为导函数小于等于零恒成立，属于基础题6.用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，被3整除，为了使用假设，在分解的过程中一定要分析出含有的项，可得答案.【详解】解：假设时命题成立，即：被3整除当时，故选：A【点睛】本题是一道关于数学归纳法的题目，总体方法是熟练掌握数序归纳法的步骤.7.的展开式中常数项为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可得.【详解】的展开式中常数项为. 故答案为D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，
5、二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题8.已知,为的导函数，则的图象是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得函数的导函数，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】依题意，令，则.由于，故排除C选项.由于，故在处导数大于零，故排除B,D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.9.某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两
6、门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种【答案】C【解析】【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；若一名学生物理和历史都选，则有种组合；因此共有种组合.故选C【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.10.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数，对函数求导，利用导数方法判断函数单调性，再结合图
7、像，即可求出结果.【详解】由得，令，则，设，则，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上单调递减，在上单调递增；所以；又当时，作出函数图像如下：因为函数恰有两个零点，所以与有两不同交点，由图像可得：实数的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.11.设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，可得在上为减函数，可得在
8、区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，原不等式等价于或,从而可得的值范围.【详解】根据题意，设，其导数 ，又由当时，则有 ，即函数在 上为减函数，又由，则在区间上，又由，则，在区间上，又由，则，则在和上，又由为奇函数，则在区间和上，都有，或，解可得或，则的取值范围是，故选D.【点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往
9、从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.12.已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由两条直线的公切线，表示出切点坐标，构造函数，利用导函数求得极值点；根据极值点，求出两侧的单调性，再根据单调性求得的最大值。【详解】的公共切点为，设切线与的图象相切与点 由题意可得 ，解得 所以 令 则令，解得 当 时， 当 时， ，函数在上单调递增当 时， ，函数在上单调递减当t从右侧趋近于0时， 趋近于0 当t趋近于 时， 趋近于0所以 所以选B【点睛】
10、本题考查了导数的综合应用，利用导数的单调性求得值域，属于难题。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数满足，则_【答案】【解析】【分析】由题意求出z，可得的值.【详解】解：由，得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的求模问题，是一道基础题.14.已知，设，则_【答案】1023【解析】【分析】根据组合数公式性质可得；分别代入和求得和，作差即可得到结果.【详解】 即：代入可得：代入可得：本题正确结果：【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解.15.在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发
11、现了一组有趣的数：，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果：_【答案】【解析】【分析】观察等式左边表达式的上标和下标，找到规律；观察等式右边表达式可知，右边是斐波那契数列中的某些项，由此写出下一组的规律并计算其结果.【详解】观察等式左边表达式可知，下一组有六个式子相加，上标从逐一递减至，下标从逐一递增至.斐波那契数列为，故等式右边为，由此可知下一组为.【点睛】本小题主要考查合情推理，考查分析与思考问题的能力，属于基础题.16.已知函数（为自然对数的底数），若，使得成立，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由，要满足，使，可得函数为减函数或函数存在极值点，对求导，可得不恒成立
12、，即不是减函数，可得存在极值点，有解，可得a的取值范围.【详解】解：；要满足，使，则：函数为减函数或函数存在极值点；时，不恒成立，即不是减函数；只能存在极值点，有解，即有解；故答案为：【点睛】本题考查了导数的综合应用,利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的极值等，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17.已知为实数，设复数（1）当复数为纯虚数时，求的值；（2）当复数对应的点在直线的下方，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据复数为纯虚数，得到，求解即可得出结果；(2)先写出复数所对应的点的坐标，再根据点在直线下
13、方，列出不等式即可得出结果.【详解】（1）由题意得：，解之得，所以。（2）复数对应的点的坐标为，直线的下方的点的坐标应满足，即：，解之得，所以的取值范围为。【点睛】本题主要考查复数的分类、以及根据复数对应点的位置求参数的问题，熟记复数的分类以及复数的几何意义即可，属于基础题型.18.（请写出式子再写计算结果）有4个不同小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？【答案】（1）256（2）（3）【解析】【分析】（1）每个球都有4种方法，根据分步计数原理可得答案；（2）由题意每个盒子不空，
14、故每个盒子各一个，可得答案；（3）由题意可从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，由分步计数原理可得答案.【详解】解：（1）每个球都有4种方法，故有4444256种，（2）每个盒子不空，共有不同的方法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，相对简单，注意灵活运用排列、组合的性质求解.19.已知二项式（1）若它的二项式系数之和为128求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被7
15、除的余数【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为2n128 求得n的值，利用，可得展开式中系数最大的项；（2）利用二项展开式即可得到结果.【详解】（1）,展开式中系数最大的项为第项.（2）转化为被除的余数，即余数为.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，系数最大的项，属于中档题20.已知正项数列满足，前项和满足，（）求的值；（）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明【答案】（） ；（）见解析【解析】【分析】（I）先求得值，然后求得的值，进而求得的值.（II）先猜想出数列的通项公式.然后证明当，的通项公式符合，假设当时结论成立，证得当时结论成立，
16、由此得到数列的通项公式.【详解】（）当时， 解得当时，当时， .（）猜想得 下面用数学归纳法证明：时，满足. 假设时，结论成立，即，则时 ， 将代入化简得 ， 故时 结论成立 . 综合可知，【点睛】本小题主要考查求数列的前几项，考查利用数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.21.已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围【答案】(1);(2).【解析】试题分析：）当时， ，求出，利用直线方程的点斜式可求求曲线在点处的切线方程；（）函数定义域为，且 对进行分类讨论，可求实数的取值范围.试题解析：（）当时， 则，又 曲线在点处的切线方程为： （
17、）函数定义域为，且 下面对实数进行讨论：当时，恒成立，满足条件当时，由解得，从而知函数在内递增；同理函数在内递减，因此在处取得最小值 ，解得 综上：当时，不等式在定义域内恒成立. 22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，证明：对任意的【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析】（1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可（2）将不等式进行转化，构造函数g（x）=-x+，则不等式转化为最值问题进行求解即可【详解】解：（1）当11-m，即m0时，（-，1-m）和（1，+）上f（x）0，f（x）单调减；（1-m，1）上f（x）0，f（x）单调增当1=1-m，即m=0时，（
18、-，+）上f（x）0，f（x）单调减当11-m，即m0时，（-，1）和（1-m，+）上f（x）0，f（x）单调减；（1，1-m）上f（x）0，f（x）单调增（2）对任意的x1，x21，1-m，4f（x1）+x25可转化为，设g（x）=-x+，则问题等价于x1，x21，1-m，f（x）maxg（x）min由（1）知，当m（-1，0）时，f（x）在1，1-m上单调递增，g（x）在1，1-m上单调递减， 即证，化简得4（2-m）e1-m5-（1-m）令1-m=t，t（1，2）设h（t）=et（5-t）-4（t+1），t（1，2），h（t）=et（4-t）-42et-40，故h（t）在（1，2）上单调递增 h（t）h（1）=4e-80，即4（2-m）e1-m5-（1-m） 故，得证【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，结合函数单调性和导数之间关系进行转化是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度
