1、第5节古典概型、概率的基本性质考试要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.1.古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.2.古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A).其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.3.概率的性质
2、性质1：对任意的事件A，都有0P(A)1；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P()1，P()0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)1P(A)，P(A)1P(B)；性质5：如果AB，那么P(A)P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为A，所以0P(A)1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(AB)P(A)P(B)P(AB).概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当AB，即A，B互斥时，P(AB)P(A)P(B)，此时P(AB)0.1.思考辨析(在括号
3、内打“”或“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(4)概率为0的事件一定是不可能事件.()答案(1)(2)(3)(4)解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个样本点，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确.2.(易错题)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每
4、天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为()A. B. C. D.答案B解析由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第13天，第24天，第35天，第46天，共四种情况，所求概率P.3.(2022九江一模)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B. C. D.答案A解析在所有重卦中随机取一重卦，其样本点总数n2664，恰有3个阳爻的样本点数为C20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳
5、爻的概率P.4.(2020全国卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. B. C. D.答案A解析从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有C10种，其中取到的3点共线的只有O，A，C，O，B，D这2种取法，所以所求概率为.故选A.5.(2021全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A. B. C. D.答案C解析法一4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将4个1和2个0随机排成一行有A种排法，将1A，1B，1C，1D排成一行有A种排法，再将0A，0B插空有A种排法，所以2个0不相
6、邻的概率P.法二将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C种排法，其中将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C种排法.所以2个0不相邻的概率P.6.(易错题)抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是3的倍数”，则P(AB)_，P(AB)_.答案解析抛掷一枚骰子，样本空间出现的点数是1，2，3，4，5，6，事件AB包括出现的点数是1，3，5，6这4个样本点，故P(AB)；事件AB包括出现的点数是3这1个样本点，故P(AB).考点一古典概型例1 (1)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3
7、只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B. C. D.答案B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共
8、6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为.(2)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是_.答案解析从10件产品中取4件，共有C种取法，恰好取到1件次品的取法有CC种，由古典概型概率计算公式得P.感悟提升求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.训练1 (1)(2022济南质检)在
9、一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为()A. B. C. D.答案B解析一次随机取出2个球，样本点总数为C15，至少有1个红球包含的样本点个数为CCC9，所以至少有1个红球的概率P.(2)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A. B. C. D.答案D解析两位男同学和两位女同学排成一列一共有A24种方法，两位女同学相邻的排法有AA12种，两位女同学相邻的概率P.考点二概率基本性质的应用例2 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示：红灯个数0123
10、456个及6个以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母a的值；(2)求至少遇到4个红灯的概率；(3)求至多遇到5个红灯的概率.解(1)由题意可得0.020.1a0.350.20.10.031，解得a0.2.(2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为ABC，因为事件A，B，C互斥，所以P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.20.10.030.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.则P()1P(D)10.030.9
11、7.感悟提升复杂事件概率的求解方法(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.训练2 (1)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则只用非现金支付的概率为()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7答案B解析只用非现金支付的概率为1(0.150.45)0.4.(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点
12、数不超过3”，则P(AB)等于()A. B. C. D.1答案B解析法一A包含向上点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以AB包含了向上点数是1，2，3，5的情况，故P(AB).法二P(AB)P(A)P(B)P(AB)1.考点三古典概型的综合应用例3 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以160，180)，180，200)，200，220)，220，240)，240，260)，260，280)，280，300分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为240，260)，260，280)，280，
13、300的三组用户中，用分层随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率.解(1)由(0.002 00.009 50.011 00.012 5x0.005 00.002 5)201得x0.007 5，所以直方图中x的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是230.因为(0.002 00.009 50.011 0)200.450.5，所以月平均用电量的中位数在220，240)内，设中位数为a，由(0.002 00.009 50.011 0)200.012 5(a220)0.5，解得a224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平
14、均用电量为240，260)，260，280)，280，300内的用户分别有0.007 52010015(户)，0.0052010010(户)，0.002 5201005(户).抽样方法为分层随机抽样，所以在240，260)，260，280)，280，300中分别抽取3户、2户和1户.设参加节目的2户来自不同组为事件A，则P(A).感悟提升有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.训练3 2019年，我国施行个人
15、所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2人享受的专
16、项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6910，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.(2)从已知的6人中随机抽取2人的样本空间为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个样本点.由表格知，符合题意的样本空间为(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共
17、11个样本点，所以事件M发生的概率P(M).1.一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是()A. B. C. D.0答案A解析列举出所有样本点，找出“只有1次正面”包含的结果.一枚硬币连掷2次，样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为.2.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3答案D解析将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可
18、能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)0.3.3.一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为()A. B. C. D.答案C解析一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，基本事件总数nC35，摸出白球个数多于黑球个数包含的基本事件个数mCCCC22，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为P.4.(2022广州模拟)我国汉代数学家
19、赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为()A. B. C. D.答案A解析由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的样本点有C28个，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的样本点有4C12个，根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率P.5.(多选)下列是古典概型的是()A.从6名同学中，随机选出4人参加数学竞赛
20、，每人被选中的可能性的大小B.同时掷两颗质地均匀地骰子，点数和为7的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案ABD解析ABD为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不适合等可能性，故不为古典概型.6.(多选)若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)2a，P(B)4a5，则实数a的值可以是()A. B. C. D.答案CD解析由题意可知即即解得a.7.(2022武汉模拟)下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则第2位走出的是女同学的概率是_.答案解析2位男同学记为男1，男2，则三位同学依
21、次走出教室包含的样本点有：男1男2女，男1女男2，女男1男2，男2男1女，男2女男1，女男2男1，共6种，其中第2位走出的是女同学包含的样本点有2种.故第2位走出的是女同学的概率是P.8.2020年国庆档上映的影片有夺冠，我和我的家乡，一点就到家，急先锋，木兰横空出世，姜子牙，其中后两部为动画片.甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部，则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为_.答案解析甲观看了六部中的两部共有C15种，乙观看了六部中的一部共有C6种，则甲、乙两人观影共有15690种，则甲、乙两人观看同一部动画片共有CC2510种，所以甲、乙两人观看了同一部动画
22、片的概率为P.9.现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为_.答案0.2解析表示“3例心脏手术全部成功”的有569，989，所以估计“3例心脏手术全部成功”的概率为0.2.10.空气质量指数(简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照A
23、QI大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300为严重污染.一环保人士记录了某地2021年某月10天的数据为45，52，74，75，103，104，117，118，199，215.(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100)的天数；(按这个月总共有30天计算)(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.解(1)从数据中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为，估计该月空气质量
24、优良的概率为，从而估计该月空气质量优良的天数为3012.(2)设抽取的两天的空气质量等级恰好不同为事件A，则P(A)，所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为.11.某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.解(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学
25、没有学生入选代表队)的概率为，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.则P(B)，P(C).由互斥事件的概率加法公式，得P(A)P(B)P(C)，故所求事件的概率为.12.若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)，P(B)，且x0，y0，则xy的最小值为()A.7 B.8 C.9 D.10答案C解析由题意知1，则xy(xy)59，当且仅当，即x2y时等号成立.13.(2022杭州质检)某公司安排6位员工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员
26、工中甲不在1日值班的概率为()A. B. C. D.答案B解析该公司安排6位员工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，基本事件总数nCCC，6位员工中甲不在1日值班包含的基本事件个数mCCC，6位员工中甲不在1日值班的概率P.14.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.注：分组区间为60，70)，70，80)，80，90)，90，100(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.解(1)由题可得，男生优秀人数为100(0.010.02)1030，女生优秀人数为100(0.0150.03)1045.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含的男生人数为302，女生人数为453.则从5人中任意选取2人共有C10种，抽取的2人中没有一名男生有C3种，则至少有一名男生有CC7种.故至少有一名男生的概率为P，即选取的2人中至少有一名男生的概率为.12