1、【学生版】 用空间向量解答立体几何问题练习【1】一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成的角的大小为 弧度；【提示】【答案】【解析】【说明】2、在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则 【提示】【答案】【解析】【说明】3、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_4、如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_5、已知点E，F
2、分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 _6、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是7、已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为 8、如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE_9、如图，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足P
3、QQD，则a_.10、如图，正四棱锥中，为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角的大小是 二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）11、若平面与的法向量分别是a(1,0，2)，b(1,0,2)，则平面与的位置关系是()A平行 B垂直 C相交不垂直 D无法判断12、已知(3,1,2)，平面的一个法向量为n(2，2，4)，点A不在平面内，则直线AB与平面的位置关系为()AAB BAB CAB与相交但不垂直 DAB13、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()A. B. C. D.14、已知在平行六面
4、体ABCDA1B1C1D1中，AA1ABAD1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60，则AC1的长为（ ）A6 B. C3D.三、解答题（共4小题，满分44分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题8分）9如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点；求证：AB1平面A1BD.16.（本题10分）如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处从A，B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c， 甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值17.（本题满分12分）如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，A
5、BAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点（1）证明：CMSN；（2）求SN与平面CMN所成角的大小18.（本题满分14分、第1小题满分6分、第2小题满分8分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形（1）证明：O1O平面ABCD；（2）求平面B A1C与平面A1CD夹角的余弦值；（3）若CBA60，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值；【教师版】 用空间向量解答立体几何问题练习【1】一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、若异面直线l1的方向向量
6、与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成的角的大小为 弧度；【提示】注意：异面直线所成角的范围；【答案】；【解析】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，所以为30，即；【说明】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为；2、在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则 【提示】注意：借助正方体的几何性质用好空间向量；【答案】；【解析】设a，b，c，则|a|b|c|1，且abbcca，又(ab)，cb，因此(ab)acabbcb2，【说明】注意：基向量的确定；3、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是
7、底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_【提示】注意：借助正方体的几何性质建立空间直角坐标系；【答案】；【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1Px，则O(1,1,0)，P(2，x，2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，(1，x1,2)，(2,0,1)所以0，所以直线BM与OP所成的角为.【说明】本题是利用空间向量的坐标表示求角；4、如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_【提示】注意：借助长方体的几何性质建立空间直角坐标系；【答案】；【解析】如图所示，建立空间直角坐
8、标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，(2,0,1)连接AC，易证AC平面BB1D1D，平面BB1D1D的一个法向量为a(2,2,0)所求角的正弦值为|cosa，|.【说明】本题是利用空间向量的坐标表示求直线与平面所成角问题；5、已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 _【提示】注意：借助正方体的几何性质建立空间直角坐标系；【答案】；【解析】如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1(0
9、,0,1)，平面AEF的法向量为n2(x，y，z)所以A(1,0,0)，E，F，所以，则即取x1，则y1，z3.故n2(1，1,3)所以cosn1，n2.所以平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为.【说明】本题是利用空间向量的坐标表示求平面与平面所成角问题；6、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是【提示】注意：借助正方体的几何性质建立空间直角坐标系；【答案】；【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，cos ，0.，.7、已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向
10、量，若cosm，n，则l与所成的角为 【提示】理解：利用空间向量求直线与平面所成的角的方法；【答案】60；【解析】设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，60；8、如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE_【提示】注意：题设条件与空间直角坐标系的联系；【答案】a或2a；【解析】建立空间直角坐标系，如图所示，依题意得B1(0,0,3a)，D，C(0，a，0)，设E(a，0，z)(0z3a)，则(a，a，z)，(a，0，z3a)0，要使CE平面B1DE，即B1ECE
11、，得2a20z23az0，解得za或2a.【说明】借助空间向量的坐标表示“以数助形”；9、如图，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a_.【提示】注意：题设中的“PA平面ABCD”；【答案】2；【解析】如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a，0)，设Q(1，x，0)(0xa)，P(0,0，z)，则(1，x，z)，(1，ax，0)，由PQQD，得1x(ax)0，即x2ax10，由题意知方程x2ax10只有一解；a240，a2，这时x10，a，满足题意【说明】本题通过空间向量，几何问题代数化，并与方程进行了交汇；10、如图，正四棱锥中，
12、为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角的大小是 【答案】；【解析】如图，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz设ODSOOAOBOCa，则A（0，a，0），C（0，a，0），D（a，0，0），S（0， 0 ，a） ，P（，0，），则（0，2a， 0），（，a， ），（a，a，0），设平面PAC的一个法向量为，则，可取（1，0，1），设直线与平面的夹角为，则，由，； 二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）11、若平面与的法向量分别是a(1,0，2)，b(1,0,2)，则平面与的位置关系是()A平行 B垂直 C相交不垂直 D无法判断
13、【提示】注意：利用空间向量求平面与平面所成角的方法；【答案】A；【解析】a(1,0，2)，b(1,0,2)，ab0，由此可得ab，平面与的法向量平行，可得平面与互相平行；【说明】注意：法向量平行与平面与平面平行的等价；12、已知(3,1,2)，平面的一个法向量为n(2，2，4)，点A不在平面内，则直线AB与平面的位置关系为()AAB BAB CAB与相交但不垂直 DAB【提示】注意：利用空间向量判别直线与平面的位置关系的“标准”；【答案】D；【解析】因为n2(3)(2)1420，所以n，又点A不在平面内，n为平面的一个法向量，所以AB；13、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M
14、，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()A. B. C. D.【答案】A；【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，(1，1，2)，(1,0，2)，cos，.14、已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1ABAD1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60，则AC1的长为（ ）A6 B. C3D.【答案】B；【解析】设a，b，c，则|a|b|c|1，且a，bb，cc，a60，因此abbcca.由abc得|22a2b2c22ab2bc2ca6.|；三、解答题（共4小题，满分44
15、分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题8分）9如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点；求证：AB1平面A1BD.【证明】如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，且平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2，0)所以(1,
16、2，)，(1,2，)，(2,1,0)因为1(1)22()0.1(2)21()00.所以，即AB1BA1，AB1BD.又因为BA1BDB，BA1，BD平面A1BD，所以AB1平面A1BD.16.（本题10分）如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处从A，B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c， 甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值【解析】由题意可知ACa，BDb，CDc，ABd，所以d22()22222()a2c2b22a2c2b22，则2a2b2c2d2，设向量与的夹角为，就是库底与水坝所在平面的夹角，因此2abcos a2
17、b2c2d2，所以cos ，故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为.【说明】利用空间向量解决实际问题：（1）分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题；（2）对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养17.（本题满分12分）如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点（1）证明：CMSN；（2）求SN与平面CMN所成角的大小【解析】（1）证明设PA1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)则P(0,0,1)，C(
18、0,1,0)，B(2,0,0)，又ANAB，M，S分别为PB，BC的中点，N，M，S，0，因此CMSN.(2)解由(1)知，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，a0，a0.则取y1，得a(2,1，2)设SN与平面CMN所成的角为，sin |cosa，|.SN与平面CMN所成角为.【说明】利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤：（1）建立空间直角坐标系；（2）求直线的方向向量u；（3）求平面的法向量n；（4）设线面角为，则sin ；18.（本题满分14分、第1小题满分6分、第2小题满分8分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形
19、ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形（1）证明：O1O平面ABCD；（2）求平面B A1C与平面A1CD夹角的余弦值；（3）若CBA60，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值；【解析】(1)证明因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1AC，DD1BD，又CC1DD1OO1，所以OO1AC，OO1BD，因为ACBDO，AC，BD平面ABCD，所以O1O平面ABCD.（2）因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，ACBD，又O1O平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标
20、系设棱长为2，因为CBA60，所以OB，OC1，所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，B(，0,0)，A1(0，1,2)，C(0,1,0)，D(，0,0)，设平面BA1C的法向量为m(x1，y1，z1)，(0,2，2)，(，1,0)，则即令x11，则y1，z1，m(1，)，同理得，平面A1CD的法向量n(1，)，cosm，n，则平面BA1C与平面A1CD夹角的余弦值为.（3）所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，B(，0,0)，A1(0，1,2)，C(0,1,0)，D(，0,0)，平面BDD1B1的一个法向量为n(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m(x，y，z)，由m，m，得x2z0，y2z0，取z，则x2，y2，所以m(2,2，)，所以cosm，n.所以平面C1 OB1与平面OB1D夹角的余弦值为.【说明】求两平面夹角的一般有两种方法：（1）定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同；（2）(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为n1，n2或n1，n2
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