1、【学生版】微专题：平面向量线性运算的坐标运算平面向量的坐标表示：选取直角坐标系的轴、轴上的单位向量，为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量表示成的形式，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标表示；平面向量的坐标运算已知，则（1）；（2）；【典例】例1、若，则与共线的单位向量为 【提示】；【答案】；【解析】；【说明】；例2、如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则xy的取值范围是()A4，4 B， C5，5 D6，6【提示】【答案】【解析】例3、在平面直角坐标系中，
2、O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的取值范围是()A4，6 B1，1 C2，2 D1，1例4、如图，在同一个平面内，向量，的模分别为，与的夹角为，且，与的夹角为若 ，则（）【归纳】求解向量坐标运算问题的一般思路1、向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算；2、巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原
3、则，转化为方程（组）进行求解；3、妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数；【即时练习】1、已知M(3，2)，N(5，1)，且，则P点的坐标为（ ）A(8,1) B C D(8，1)2、如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则()A2 B. C . D. 3、设向量(1，1)，(1，3)，(2，1)，且()，则实数 4、设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为_.5、已知向量集合M|(1，2)(3，4)，R，N|(2，2)(4，5)，R，则MN等于 6、已知向量(x，y)和向量(y，2yx)的对应关系
4、用f()表示（1）若(1，1)，(1，0)，试求向量f()及f()的坐标；（2）求使f(c)(4，5)的向量c的坐标；（3）对任意向量，及常数，证明f()f()f()；【教师版】微专题：平面向量线性运算的坐标运算平面向量的坐标表示：选取直角坐标系的轴、轴上的单位向量，为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量表示成的形式，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标表示；平面向量的坐标运算已知，则（1）；（2）；【典例】例1、若，则与共线的单位向量为 【提示】注意：用好向量的线性运算与关键词“共线”、“单位向量”；【答案】和；【解析】由，与共线的单位向量为：；【说明】本题考查了向量减法的坐标
5、表示与单位向量的坐标表示及其求法；例2、如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则xy的取值范围是()A4，4 B， C5，5 D6，6【提示】注意：图形的对称性建立与坐标的联系；当取得最大值时，点一定在顶点处取得，依次验证即可得解；【答案】C【解析】如图，建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，则，则，此时；同理当，此时；当，此时；当，此时；当，此时；所以的最大值为，根据其对称性，可知的最小值为，则的取值范围为；例3、在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C
6、(3,0)，动点D满足|1，则|的取值范围是()A4，6 B1，1 C2，2 D1，1【提示】注意：向量的坐标表示与距离公式；【答案】D；【解析】方法1、：设出点D的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解；设D(x，y)，则由|1，C(3,0)，得(x3)2y21.又因为，(x1，y)，所以，|.所以，|的几何意义为点P(1，)与圆(x3)2y21上点之间的距离，由|PC|知，|的最大值是1，最小值是1；故选D；方法2、根据向量的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解如图，设M(1，)，则，取N(1，)，所以，.由|1，可知点D在以C为圆心，半径r1的圆上，所以，所以
7、，|，|max|11，|min1.例4、如图，在同一个平面内，向量，的模分别为，与的夹角为，且，与的夹角为若 ，则（）【提示】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的知识可求得坐标，由向量的坐标运算可构造方程组求得的值，进而得到结果；【答案】C【解析】以为坐标原点可建立如图所示的平面直角坐标系，则，因为，所以，又，又与的夹角为，所以，又，所以，所以，解得：，所以，故选：C；【说明】本题考查平面向量基本定理的相关问题的求解，解题关键是能够建立起平面直角坐标系，将问题转化为平面向量的坐标运算来进行求解；【归纳】求解向量坐标运算问题的一般思路1、向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运
8、算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算；2、巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程（组）进行求解；3、妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数；【即时练习】1、已知M(3，2)，N(5，1)，且，则P点的坐标为（ ）A(8,1) B C D(8，1)【答案】B；【解析】设P(x，y)，则(x3
9、，y2)，而(8,1)，所以解得所以P；2、如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则()A2 B. C . D. 【答案】D；【解析】方法1、如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，(1,1)因为，所以，解之得故.方法2、以，作为基底，因为，M，N分别为BC，CD的中点，所以，因此，又，因此解得且.所以3、设向量(1，1)，(1，3)，(2，1)，且()，则实数 【答案】3；【解析】易知(1，13)，因为()，(2，1)，所以(1，13)(2,1)22130，解得3；4、设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为_.【答案】【解析】由相反向量为且模长为
10、，.故答案为：5、已知向量集合M|(1，2)(3，4)，R，N|(2，2)(4，5)，R，则MN等于 【答案】(2，2)；【解析】令(1，2)1(3，4)(2，2)2(4，5)，即(131，241)(242，252).所以，解得故M与N只有一个公共元素(2，2)；6、已知向量(x，y)和向量(y，2yx)的对应关系用f()表示（1）若(1，1)，(1，0)，试求向量f()及f()的坐标；（2）求使f(c)(4，5)的向量c的坐标；（3）对任意向量，及常数，证明f()f()f()；【解析】（1）由条件可得(x，y)(y，2yx)，则f()(1，211)(1，1)，f()(0，201)(0，1).（2）设(x，y)，则f()(y，2yx)(4，5).所以，解得，即(3，4).（3）证明：设(x1，y1)，(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，所以，f()(y1y2，2y12y2x1x2)，又f()(y1，2y1x1)(y1，2y1x1)，f()(y2，2y2x2)(y2，2y2x2).所以，f()f()(y1y2，2y12y2x1x2).所以，f()f()f()
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