1、8.5.3 平面与平面平行【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题2.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用1.直观想象;2.逻辑推理；【自主学习】 一平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条 直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(2)符号语言：a，b， ，a，b.(3)图形语言：如图所示注意：等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行二平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线 (2)符号语言：，a， ab.(3)图形语言：如图所示(4)作用：
2、证明两直线 思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)内有无数多条直线与平行，则. ()(2)内的任何直线都与平行，则. ()(3)直线a，a，则. ()(4)直线a，直线b，且a，b，则. ()(5)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面()2.已知平面平面，直线l，则()Al BlCl或l Dl, 相交【经典例题】题型一 平面与平面平行的判定点拨：平面与平面平行的判定方法1.定义法：两个平面没有公共点.2.判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.3.利用平行平面的传
3、递性：若，则.例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图求证：平面AB1D1平面C1BD。【跟踪训练】1 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PMMABNNDPQQD求证：平面MNQ平面PBC题型二 面面平行性质定理的应用点拨：应用平面与平面平行性质定理的基本步骤面面平行性质定理的实质：面面平行线线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化 例2 如图，已知，点P是平面、外的一点(不在与之间)，直线PB、PD分别与、相交于点A、B和C、D.(1)求证：ACBD；(2)已知PA4 cm，AB5 c
4、m，PC3 cm，求PD的长【跟踪训练】2 如图，已知平面平面，P且P，过点P的直线m与、分别交于A、C，过点P的直线n与、分别交于B、D，且PA6，AC9，PD8，求BD的长变式：若点P在平面，之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD的长题型三 平行关系的综合应用点拨：解决平行关系的综合问题的方法1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质2.要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化转化思想是解决这类问题的最有效的方法 例3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，
5、点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN.求证：MN平面AA1B1B.【跟踪训练】3如图(甲)，在直角梯形ABED中，ABDE，ABBE，ABCD，F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，现将ACD沿CD折起，如图(乙)求证：平面FHG平面ABE.【当堂达标】1.a，b，则a与b位置关系是()A平行 B异面 C相交D平行或异面或相交2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于A，B，C，若PAAA23，则SABCSABC等于()A225B425 C25 D453.已知平面平面，P是，外一点，过点P的直线m与，分别交于A，C两点，过点P的直线n与，分
6、别交于B，D两点，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为()A16 B24或 C14 D204.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_5.已知a，b表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题：若a，b，且ab，则；若a，b相交且都在，外，a，b，则；若a，a，则；若a，a，b，则ab.其中正确命题的序号是_6.如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，ABCD，CD2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C平面BPQ.【课堂小结】一常用的面面平行的其他几个性质1.两个平面平行，其中一个平面内的任意
7、一条直线平行于另一个平面2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等3.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行4.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例5.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行二三种平行关系的转化【参考答案】【自主学习】相交 abP 平行 b 平行 思考：不一定它们可能异面【小试牛刀】1.(1)(2)(3)(4)(5)2.C 解析：假设l与相交，又，则l与相交，与l矛盾，则假设不成立，则l或l.【经典例题】例1 【解】(1)证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1C1D.又因为C
8、1D平面C1BD，AB1平面C1BD.所以AB1平面C1BD.同理B1D1平面C1BD.又因为AB1B1D1B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1平面C1BD.【跟踪训练】1 证明PMMABNNDPQQD，MQAD，NQBP.又BP平面PBC，NQ平面PBC，NQ平面PBC四边形ABCD为平行四边形BCAD，MQBC又BC平面PBC，MQ平面PBC，MQ平面PBC又MQNQQ，平面MNQ平面PBC例2 解：(1)证明：因为PBPDP，所以直线PB和PD确定一个平面，则AC，BD.又，所以ACBD.(2)由(1)得ACBD，所以，所以，所以CD(cm)，所以PDP
9、CCD(cm)【跟踪训练】2 解因为ACBDP，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为，平面PCDAB，平面PCDCD，所以ABCD所以，即.所以BD. 变式：解与本例同理，可证ABCD所以，即，所以BD24.例3 证明：如图，作MPBB1交BC于点P，连接NP，因为MPBB1，所以.因为BDB1C，DNCM，所以B1MBN，所以，所以，所以NPCDAB.因为NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，所以NP平面AA1B1B.因为MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B.所以MP平面AA1B1B.又因为MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，所以平面MNP平面AA1
10、B1B.因为MN平面MNP，所以MN平面AA1B1B.【跟踪训练】3 证明：因为F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，所以FHCD，HGAE.又ABCD，ABBE，所以CDBE，所以FHBE.因为BE平面ABE，FH平面ABE，所以FH平面ABE.因为AE平面ABE，HG平面ABE，所以HG平面ABE.又FHHGH，所以平面FHG平面ABE.【当堂达标】1.D解析：如图所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交 2.B 解析：选B.因为平面平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为AB，AB，所以ABAB，同理BCBC，易得ABCABC，SABCSABC.3.B 解析：选B.由得ABCD.分两种
11、情况：若点P在，的同侧，则，所以PB，所以BD；若点P在，之间，则有，所以PB16，所以BD24.4. 平行四边形 解析：因为平面ABFE平面CDHG，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面CDHGHG，所以EFHG.同理EHFG.所以四边形EFGH的形状是平行四边形5. 解析：错误，与也可能相交；错误，与也可能相交；错误，与也可能相交；正确，由线面平行的性质定理可知6.证明：因为D1QCD，ABCD，所以D1QAB，所以四边形D1QBA为平行四边形，所以D1AQB.因为D1A平面BPQ，BQ平面BPQ，所以D1A平面BPQ.因为Q，P分别为D1C1，C1C的中点，所以QPD1C.因为D1C平面BPQ，QP平面BPQ，所以D1C平面BPQ，又D1AD1CD1，所以平面AD1C平面BPQ.
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