1、第十一章 计数原理第一讲两个计数原理、排列与组合练好题考点自测1.下列结论中,正确的个数为()(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列;(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序;(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同;(4)若组合式Cnx=Cnm,则x=m成立;(5)Anm=n(n-1)(n-2)(n-m);(6)排列的定义规定,给出的n个元素各不相同,并且只研究被取出的元素也各不相同的情况,即如果某个元素已被取出,则这个元素就不再取了.A.2B.3C.4D.52.2020山东,3,5分6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,
2、丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种3.2021广东七校第一次联考有A,B,C,D,E,F共6个集装箱,准备用甲、乙、丙三辆卡车运送,每辆卡车一次运两个.若卡车甲不能运A箱,卡车乙不能运D箱,此外无其他任何限制,要把这6个集装箱分配给这3辆卡车运送,不同的分配方案的种数为()A.168B.84C.56D.424.2020全国卷,14,5分理4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.5.2021大同市调研测试某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人
3、参加,且当甲、乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为()A.360B.520C.720D.6006.2020郑州市第三次质量预测把12本相同的资料书分配给三个班级,要求每班至少有1本且至多有6本,则不同的分配方法共有种.拓展变式1.(1)2021河北六校第一次联考中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有()A.50种B.60种C.80种D.
4、90种(2)2017天津,14,5分理用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)2.2021茂名五校联考电影夺冠讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事,是一部见证新中国体育改革40年的力作,该影片于2020年9月25日正式上映.在夺冠上映期间,一对夫妇带着他们的两个孩子一起去观看该影片,订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见,影院要求每个孩子至少有一侧要有家长相邻陪坐,则不同的坐法种数是()A.8B.12C.16D.203.男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加
5、比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.4.(1)有5个大学保送名额,计划分到3个班级,每班至少一个名额,有种不同的分法.(2)将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为.5.(1)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友,则不同的分法种数为()A.15B.20C.30D.4
6、2(2)某校毕业典礼上安排6个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼上的节目演出顺序的编排方案共有()A.120种B.156种C.188种D.240种答 案第一讲两个计数原理、排列与组合1.A(1)中,当且仅当这两个排列中的元素完全相同且排列顺序也完全相同时,才是相同排列,所以(1)错误;(2)中组合问题与选取顺序无关,所以(2)错误;(3)中,由排列和组合的概念可知,(3)正确;(4)中,若组合式Cnx=Cnm,则x=m或x=n-m,故(4)错误;(5)中,Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1),故(5)错误;(6)
7、中,由排列的概念可知(6)正确.故选A.2.C不同的安排方法共有C61C52C33=60(种).3.D分两类:甲运D箱,有C41C42C22A22A22=24(种);甲不运D箱,有C42C32C22=18(种).所以不同的分配方案共有24+18=42(种).故选D.4.36由题意,分两步进行安排,第一步,将4名同学分成3组,其中1组2人,其余2组各1人,有C42C21C11A22=6(种)安排方法;第二步,将分好的3组安排到对应的3个小区,有A33=6种安排方法,所以不同的安排方法有66=36(种).5.D当甲、乙两人中有一人参加时,有C21C53A44=480(种)发言顺序;当甲、乙两人同时
8、参加时,有C52A22A32=120(种)发言顺序.则不同的发言顺序的种数为480+120=600,故选D.6.2512本书按照要求分成符合题意的三份,分别是(1,5,6),(2,4,6),(3,3,6),(3,4,5),(2,5,5),(4,4,4),若按(1,5,6)分给三个班,则方法共有A33=6(种);若按(2,4,6)分给三个班,则方法共有A33=6(种);若按(3,3,6)分给三个班,则方法共有A332=62=3(种);若按(3,4,5)分给三个班,则方法共有A33=6(种);若按(2,5,5)分给三个班,则方法共有A332=62=3(种);若按(4,4,4)分给三个班,只有1种方
9、法.所以方法共有63+32+1=25(种).1.(1)C 根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论:若甲选择牛,此时乙的选法有2种,丙的选法有10种,共有210=20(种)不同的选法;若甲选择马或猴,此时甲的选法有2种,乙的选法有3种,丙的选法有10种,共有2310=60(种)不同的选法.则一共有20+60=80(种)选法,故选C.(2)1 080一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C41C53A44=960(个),四个数字都是奇数的四位数有A54=120(个),则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960+120=1 080(个).2.C解法一将4个座位编号如下,4人的座位可分四种情况,坐
10、家长坐孩子、坐孩子坐家长、坐家长坐孩子、坐孩子坐家长,所以不同的坐法种数为4A22A22=16,故选C.解法二当两个孩子挨着坐且坐在两端时有一个孩子两侧均无家长,所以不同的坐法种数为A44-2A22A22=16,故选C.3.(1)分两步完成:第一步,选3名男运动员,有C63种选法;第二步,选2名女运动员,有C42种选法.由分步乘法计数原理可得,共有C63C42=120(种)选法.(2)解法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理可得选法共有C41C64+C42C63+C43C62+C44C61=246(种).解法二“至少有1名女运动员
11、”的反面为“全是男运动员”,可用间接法求解.从10人中任选5人有C105种选法,其中全是男运动员的选法有C65种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C105-C65=246(种).(3)解法一(直接法)可分类求解:“只有男队长”的选法种数为C84;“只有女队长”的选法种数为C84;“男、女队长都入选”的选法种数为C83,所以共有2C84+C83=196(种)选法.解法二(间接法)从10人中任选5人有C105种选法,其中不选队长的方法有C85种.所以“至少有1名队长”的选法有C105-C85=196(种).(4)当有女队长时,其他人任意选,共有C94种选法;当不选女队长时,必选男队长,共有C84
12、种选法,其中不含女运动员的选法有C54种,所以不选女队长时的选法共有(C84-C54)种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C94+C84-C54=191(种).4.(1)6一共有5个保送名额,分到3个班级,每个班级至少1个名额,即将名额分成3份,每份至少1个(定份数),将5个名额排成一列,中间有4个空(定空位),即只需在中间4个空中插入2个隔板,不同的方法共有C42=6(种)(插隔板).(2)900先将5人分成3组(1,1,3或2,2,1两种),再将这3组人安排到3个房间,然后将剩下的2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可,故安排方式共有(C51C41C33A22+C52C32
13、C11A22)A33C42=900(种).5.(1)C四个篮球中两个分到一组有C42种分法,三组篮球进行全排列有A33种分法,其中标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法,所以共有分法C42A33-A33=30(种).故选C.(2)A按甲的编排顺序进行分类:当甲排在第一时,丙、丁相邻的情况有4种,则有编排方案C41A22A33=48(种)(丙、丁相邻, 将丙、丁 “捆绑”成一个元素,有C41种排法;丙、丁排列有A22种排法;余下3个节目全排列有A33种排法);当甲排在第二时,丙、丁相邻的情况有3种,共有编排方案C31A22A33=36(种);当甲排在第三时,丙、丁相邻的情况有3种,共有编排方案C31A22A33=36(种).所以编排方案共有48+36+36=120(种).故选A.