1、第十章圆锥曲线与方程第二讲双曲线1.2020浙江,8,4分已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34-x2图象上的点,则|OP|=()A.222B.4105C.7D.102.2021大同市调研测试已知双曲线C与抛物线x2=8y有共同的焦点F,且点F到双曲线C的渐近线的距离等于1,则双曲线C的方程为()A.y23-x2=1 B.x23-y2=1C.y25-x2=1 D.y2-x25=13.2021郑州名校联考第一次调研已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与圆(x-1)2+y2=sin2130相切,则该双曲线的离心率e等
2、于()A.1sin50B.1cos50C.2sin 50D.2cos 504.2021四省八校联考若P是双曲线x2-y2=1上一点,以线段PO(O为坐标原点)为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于不同于原点的A,B两点,则四边形PAOB的面积为()A.13B.12C.1D.25.2020天津,7,5分设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.x24-y24=1B.x2-y24=1C.x24-y2=1 D.x2-y2=16.2020陕西省部分学校摸底检测设双
3、曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为()A.13B.12C.11D.107.2020南昌市测试圆C:x2+y2-10y+16=0上有且仅有两点到双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,5)B.(53,52)C.(54,52)D.(5,2+1)8.2020江西红色七校第一次联考双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上且tanF1PF2=43,O为坐标原点,则|OP|=.9.2021安徽省示范高中联考已知点F为双曲
4、线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,直线y=kx,k33,3与双曲线C交于A,B两点,若AFBF,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.2,3+1B.2,2+6C.2,3+1D.2,2+610.2021江西九江三校联考已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,M(-a,0),N(0,b),点P为线段MN上的动点,当PF1PF2取得最小值和最大值时,PF1F2的面积分别为S1,S2,则S2S1=()A.4B.8C.23D.4311.2021河南省名校第一次联考已知F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、
5、右焦点,过F1(-c,0)作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若F1AF2的平分线过点M(-13c,0),则双曲线的离心率为()A.2B.2C.3D.312.2020福州适应性测试已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为x-2y=0,A,B是C上关于原点对称的两点,M是C上异于A,B的动点,直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,若1k12,则k2的取值范围为()A.18,14B.14,12C.-14,-18D.-12,-1413.2020洛阳市第一次联考已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x
6、+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1AF2B,则双曲线C的离心率为()A.2+73B.4+73C.3+174D.5+17414.2020惠州市二调新定义题我们把焦点相同、离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当F1PF2=60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A.3B.2C.233D.215.递进型在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程为2xy=0,且该双曲线经过点(54,32),则该双曲线的标准方程为,焦点坐标为.答 案第二讲双曲线1.D由|PA|-|PB|=20,b0),则其
7、渐近线方程为y=abx,即axby=0,点F(0,2)到渐近线的距离为2ba2+b2=2bc=1,所以b=1,所以a2=c2-b2=3,故双曲线的方程为y23-x2=1,故选A.3.B根据对称性,取双曲线的一条渐近线bx-ay=0.圆(x-1)2+y2=sin2130的圆心为(1,0),半径r=sin 130=sin 50.因为渐近线与圆(x-1)2+y2=sin2130相切,所以ba2+b2=sin 50,所以b2a2=sin250cos250.所以e=ca=1+b2a2=1+sin250cos250=1cos50.故选B.4.B解法一由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=x,所以该双曲线的两
8、条渐近线互相垂直.因为OP为圆的直径,点A,B在圆上,所以OAP=OBP=90,所以四边形PAOB为矩形.设点P(x1,y1),则点P到两条渐近线的距离分别为|x1-y1|2,|x1+y1|2,所以四边形PAOB的面积为|x12-y12|2.又点P(x1,y1)在双曲线x2-y2=1上,所以x12-y12=1,所以S四边形PAOB=|x12-y12|2=12,故选B.解法二如图D 10-2-1,由题意,点P为双曲线上任意一点,不妨设点P为双曲线的右顶点,即 P(1,0).易知双曲线的渐近线方程为y=x,所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为OP为圆的直径,点A,B在圆上,所以OAP=OBP=9
9、0.又点P(1,0)到两条渐近线的距离均为22,所以四边形PAOB为正方形,所以S四边形PAOB=(22)2=12,故选B.图D 10-2-15.D解法一由题知y2=4x的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,b)的直线方程为x+yb=1,而x2a2-y2b2=1的渐近线方程为xa+yb=0和xa-yb=0,由l与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直,得a=1,b=1,故选D.解法二由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直,则a=b,即渐近线方程为xy=0,排除B,C.又知y2=4x的焦点坐标为(1,0),l过点(1,0),(0,b),所以b-00-1=-1,b=1,故选D.6.C由题意得双曲线的实半
10、轴长a=2,虚半轴长b=3.根据双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=4,|BF2|-|BF1|=2a=4,+得|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+8=|AB|+8.易得|AB|min=2b2a=3,所以|AF2|+|BF2|的最小值为11,故选C.7.C不妨设该渐近线经过第二、四象限,则该渐近线的方程为bx+ay=0.因为圆C:x2+(y-5)2=9,所以圆C的圆心为(0,5),半径为3,所以2|5a|a2+b24,结合a2+b2=c2,得54ca0,b0)的一条渐近线方程为x-2y=0,可得ba=12,即a=2b,则双曲线的方程为x24b2-y2b2=1(b0).设A(x
11、1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),因为A,B,M在双曲线上,所以x124b2-y12b2=1,x024b2-y02b2=1,两式相减得(x1+x0)(x1-x0)4b2=(y1+y0)(y1-y0)b2,所以14=(y1+y0)(y1-y0)(x1+x0)(x1-x0),即k1k2=14.因为1k12,所以k2=14k118,14.故选A.13.C如图D 10-2-2,连接BF1,AF2,由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,由|BF1|=|AF1|=2c,可得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c-2a,在AF1F2中,由余弦定理
12、可得cosAF1F2=4c2+4c2-(2a+2c)222c2c=c2-2ac-a22c2,在BF1F2中,由余弦定理可得cosBF2F1=4c2+(2c-2a)2-4c222c(2c-2a)=c-a2c,由F1AF2B,可得BF2F1+AF1F2=,则有cosBF2F1+cosAF1F2=0,即c2-2ac-a22c2+c-a2c=0,整理得2c2-3ac-a2=0,可化为2e2-3e-1=0,解得e=3+174或e=3-174(舍去),所以双曲线C的离心率为3+174.故选C.图D 10-2-214.A设椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,椭圆的长半轴长为a1,椭圆的半焦距为c,双曲线的
13、实半轴长为a2,|PF1|=x,|PF2|=y,xy.由椭圆、双曲线的定义得x+y=2a1,x-y=2a2,x=a1+a2,y=a1-a2.在PF1F2中,由余弦定理得cosF1PF2=x2+y2-(2c)22xy=cos 60,2(a12+a22)-4c22(a12-a22)=12,a12+3a22=4c2.e1e2=ca1ca2=1,c2=a1a2,a12+3a22=4a1a2,即(a1-a2)(a1-3a2)=0,a1=3a2,3a22=c2,e2=ca2=3,即双曲线的离心率为3.故选A.15.x2-y24=1(5,0)解法一因为点(54,32)在渐近线y=2x的下方,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由双曲线的渐近线方程为2xy=0,知 b=2a,由b=2a,2516a2-94b2=1,得a2=1,b2=4,所以双曲线的标准方程为x2-y24=1,焦点坐标为(5,0).解法二由双曲线的渐近线方程为2xy=0,设双曲线的方程为4x2-y2=,再将(54,32)代入双曲线的方程,得=4,所以双曲线的标准方程为x2-y24=1,焦点坐标为(5,0).
