1、8.2一元线性回归模型及其应用 （基础知识+基本题型）知识点一 线性回归方程： 1回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。2回归直线方程对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：，其中表示数据xi（i=1，2，n）的均值，表示数据yi（i=1，2，n）的均值，表示数据xiyi（i=1，2，n）的均值 、的意义是：以为基数，x每增加一个单位，y相应地平均变化个单位要点诠释：回归系数，也可以表示为，这样更便于实际计算。；。称为样本中心点，回归直线必经过样本中心点。回归直线方程中的
2、表示x增加1个单位时的变化量，而表示不随x的变化而变化的量。3求回归直线方程的一般步骤：作出散点图由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系，若存在线性相关关系，进行第二步。求回归系数、计算，利用公式求出，再由求出的值； 写出回归直线方程；利用回归直线方程预报在x取某一个值时y的估计值。 要点诠释：一般地，我们可以利用回归直线方程进行预测，但这里所得到的值是预报值，而不是精确值，它带有很大的随机性，可能对于某一次的实际值而言会有很大的出入，这是因为：（1）回归直线的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差。（2）即使截距和斜率的估计没有误差，也
3、不可能保证对应于x的预报值能够与实际值y很接近。我们不能保证点（x，y）落在回归直线上，甚至不能保证它落在回归直线的附近，事实上，这里是随机变量，预报值与实际值y的接近程度由随机变量决定。尽管我们利用回归直线方程所得到的值仅是一个预报值，它具有随机性，但它是我们根据统计规律所得到的结论，因而结论正确的概率很大。故我们可以放心地利用回归直线方程进行预测。知识点二 线性回归分析与非线性回归分析1线性回归分析 对于回归分析问题，在解题时应首先利用散点图或相关性检验判断x与y是否具有线性相关关系，如果线性相关，才能求解后面的问题否则求线性回归方程没有实际意义，它不能反映变量x与y，之间的变化规律只有在
4、x与y之间具有相关关系时，求线性回归方程才有实际意义 相关性检验的依据：主要利用检验统计量 （其中化简式容易记也好用）求出检验统计量的样本相关系数，再利用r的性质确定x和y是否具有线性相关关系，r具有的性质为：|r|1且|r|越接近于1，线性相关程度越强；|r|越接近于0，线性相关程度越弱2. 线性回归分析的一般步骤（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；（2）判断两变量是否具有线性相关关系作散点图由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系。求相关系数r当，认为x与y之间具有很强的线性相关关系。（3）若两变量存在线性相关关系，设所求的线性回归方程为，求回归系
5、数、。（4）写出回归直线方程；（5）利用回归直线方程预报在x取某一个值时y的估计值。 3非线性回归分析 （1）对于非线性回归分析问题，如果给出了经验公式可直接利用换元，使新元与y具有线性相关关系，进一步求出，对新元的线性回归方程，换回x即可得y对x的回归曲线方程（2）非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时按以下步骤求回归方程：画出已知数据的散点图，看是否是线性回归分析问题，如果不是，把它与必修数学中学过的函数（幂函数、指数函数、对数函数等）图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，采用适当的变量置换，把非线性回归分析问题化为线性回归分析问题作相关性检验，即判断寻找线性回归方程是否有意义
6、当寻找线性回归方程有意义时，计算系数，得到线性回归方程代回x得y对x的回归曲线方程考点一 求线性回归方程例1 由于某化工厂排出的废水中含有金属砷，而废水污染了水源，若饮用了这种水，人就容易患癌症 某政府部门调查组队某地几个村庄中因饮用了含砷的水而患癌症的村民进行了调查 下表是对水源中砷超标的倍数和患癌症的人数的数据统计：砷超标的倍数34554258635患癌症的人数15202824354434（1）画出表中数据的散点图； （2）求对的回归方程；（3）若一个村的水源中砷超标的倍数为7，试估计这个村中患癌症的人数解析：（1）散点图如图所示（2）观察散点图，知具有线性相关关系计算得根据求的公式，代入
7、数据计算，得所以患癌症的人数对水源中砷超标的倍数的线性回归方程为（3）根据（2）中求得的线性回归方程，当水源中砷超标的倍数为7时，即这个村中患癌症的人数约为43求线性回归方程的步骤：（1）列表表示；（2）计算；（3）代入公式计算的值；（4）写出线性回归方程考点二 线性回归分析例2 为研究质量（单位：）对弹簧长度（单位：）的影响，对不同质量的6个物体 进行测量，数据如下表所示：5101520253072581289599109118（1）作出散点图并求线性回归方程；（2）求出；（3）进行残差分析解：（1）散点图如图所示， 计算得，故所求线性回归方程为（2）列表如下：0050005-008-004
8、50040025-224-137-054041141231所以,所以，回归模型的拟合效果较好（3）由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过015的狭窄的水平带状区域中，故选用的线性回归模型的精度较高由以上分析可知，弹簧长度与质量呈线性关系（1）越接近1，表示所选模型的拟合效果越好（2）还可以用相关系数来检验两个变量的相关性：若，则线性相关；若，则不具有线性相关性（3）当资料点较少时，也可以利用残差表进行残差分析考点三 非线性回归模型例3 某地区不同身高
9、的未成年男性的体重平均值如下表：身高60708090100110体重613790999121515021750身高120130140150160170体重209226863111388547255505试建立与之间的回归方程分析：由样本点画出散点图，找出拟合曲线，转化为线性回归模型解题，需要注意最后要将中间变量变换回原来的变量解：根据表中的数据，作出散点图如图所示由图可以看出，样本点分布在某一条指数型函数曲线的周围，于是令则表格变换后为60708090100110120130140150160170181207230250271286304329344366386401作出散点图如图所示从图31-6中可以看出，变换后的样本点分布在某一条直线的附近，因此可以用线性回归模型来拟合由表中的数据可得，与之间的线性回归方程为，则与之间的非线性回归方程为总结：在回归分析过程中，两个变量间的关系可能是线性关系，也可能是二次函数型、指数函数型、对数函数型等中的一种，对于存在线性关系，我们可以借助于线性回归模型来处理；对于后面几种，在解答过程中，我们常利用变量代换，把非线性回归问题转化成线性回归问题，最终用线性回归方程进行研究
