1、【学生版】第 8 章平面向量【8.1.2 向量的加法与减法】【附录】相关考点考点一向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法；考点二向量加法的法则三角形法则： 已知非零向量，在平面内取任意一点，作，则向量叫做与的和，记作；即；平行四边形法则：已知非零向量，在平面内取任意一点，作，以，为邻边作平行四边形，作出向量，因为，因此，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则；考点三向量加法的运算律交换律：；结合律：；考点四向量的减法1、定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即；求两个向量差的运算叫做向量的减法2、作法：在平面内任取一点，作，则；如图所示；3、几何意义：可以表示为从向量的
2、终点指向向量的终点的向量【注意】（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算；利用相反向量的定义，；就可以把向量的减法转化为加法；（2）向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要谨记“共起点，连终点，指向被减”原则；解题时要结合图形，准确判断，防止混淆；注意：1、对于零向量与任意向量，我们规定：；2、三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和；3、用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化运算；如4、与，有什么关系？答案：（1）当向量与不共线时，的方向与，不同，且；（2）当与同向时，同向，且；（3）当与反向时，若，则的方向与相同
3、，且；若，则的方向与相同，且；.5、关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.6、向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”；一、选择题（每小题6分，共12分）1、化简等于( )A B C D【提示】；【答案】；【解析】；【考点】；2、下列等式不正确的是()()()；0；.A B C D【提示】；【答案】；【解析】；【考点】；二、填充题（每小题10分，共60分）3、化简等于 【提示】注意：“首尾”相接
4、；【答案】；【解析】；【考点】本题考查了向量的加法的符号表示及其“特点”；4、如图，在正六边形ABCDEF中，等于 【提示】；【答案】；【解析】；【考点】；5、如图，P，Q是ABC的边BC上的两点，且，则化简的结果为 【提示】；【答案】；【解析】；【考点】；6、已知，则_.7、若在ABC中，ABAC1，|，则ABC的形状是 8、如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60，电线AO所受拉力|F1|24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|12 N.则F1和F2的合力为_ N.三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、（1）如图所示，求作向量；（2）如图所示，求作向量；10、化简：（1）()
5、()；（2）()().【教师版】第 8 章平面向量【8.1.2 向量的加法与减法】【附录】相关考点考点一向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法；考点二向量加法的法则三角形法则： 已知非零向量，在平面内取任意一点，作，则向量叫做与的和，记作；即；平行四边形法则：已知非零向量，在平面内取任意一点，作，以，为邻边作平行四边形，作出向量，因为，因此，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则；考点三向量加法的运算律交换律：；结合律：；考点四向量的减法1、定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即；求两个向量差的运算叫做向量的减法2、作法：在平面内任取一点，作，则；如图所示；3、几何意
6、义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量【注意】（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算；利用相反向量的定义，；就可以把向量的减法转化为加法；（2）向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要谨记“共起点，连终点，指向被减”原则；解题时要结合图形，准确判断，防止混淆；注意：1、对于零向量与任意向量，我们规定：；2、三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和；3、用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化运算；如4、与，有什么关系？答案：（1）当向量与不共线时，的方向与，不同，且；（2）当与同向时，同向，且；（3）当与反向
7、时，若，则的方向与相同，且；若，则的方向与相同，且；.5、关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.6、向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”；一、选择题（每小题6分，共12分）1、化简等于( )A B C D【提示】注意：向量的符号表示：起点、终点；【答案】C；【解析】根据平面向量的加法运算，得()；【考点】本题考查了对平面向量的加法运算的符号表示的理解与应用，关键是“首尾”相连；2、下列等式不
8、正确的是()()()；0；.A B C D【提示】注意：向量的解法；【答案】B；【解析】错误，正确；【考点】本题考查了向量解法及其运算律；二、填充题（每小题10分，共60分）3、化简等于 【提示】注意：“首尾”相接；【答案】；【解析】；【考点】本题考查了向量的加法的符号表示及其“特点”；4、如图，在正六边形ABCDEF中，等于 【提示】注意：结合向量相等与数形结合；【答案】；【解析】；【考点】本题综合考查了正六边形的几何性质、向量相等与向量的加法运算；5、如图，P，Q是ABC的边BC上的两点，且，则化简的结果为 【提示】注意：数形结合与平面几何的性质；【答案】；【解析】()()；【考点】本题综
9、合考查向量相等与向量的加减法运算；向量加减法化简的两种形式：首尾相连且为和；起点相同且为差；解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用6、已知，则_.【提示】注意：转化为向量的符号表示中的“起点终点”表示法；【答案】；【解析】；【考点】本题考查了向量的加法的符号表示；7、若在ABC中，ABAC1，|，则ABC的形状是 【提示】注意：结合向量的加法的平行四边形法则；【答案】等腰直角三角形；【解析】以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，因为ABAC1，AD，所以，ABD为直角，该四边形为正方形，所以BAC90，ABC为等腰直角三角形；【考点】本题综合考查了向量的平行四边形法则及向量的大小
10、的几何意义；8、如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60，电线AO所受拉力|F1|24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|12 N.则F1和F2的合力为_ N.【提示】注意：转化为向量的几何表示；【答案】12；【解析】如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力FF1F2.在OCA中，|24，|12，OAC60，OCA90，|12.F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成90角，竖直向上；【考点】本题考查了向量运算的几何意义与实际应用；三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、（1）如图所示，求作向量；（2）如图所示，求作向量；【提示】注意：题设“作”；【解析】（1）首先作向量
11、，然后作向量，则向量，如图所示.（2）方法1、三角形法则)如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量，再作向量，则得向量，然后作向量，则向量即为所求.方法2、(平行四边形法则)如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量，以OA，OB为邻边作OADB，连接OD，则；再以OD，OC为邻边作ODEC，连接OE，则即为所求；【考点】向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半平行四边形法则(1)共起点(2)仅适用于不共线的两个向量求和10、化简：（1）()()；（2）()().【解析】（1）()()；（2）()()()；【考点】1、向量加减法运算的基本方法：（1）利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；（2）运用减法公式（正用或逆用）；（3）运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题；2、向量加减法运算结果仍然是向量；
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