1、6.4数列中的构造问题题型一形如an1panf(n)型命题点1an1panq(p0,1，q0，其中a1a)例1(2022九江模拟)在数列an中，a15，an13an4，求数列an的通项公式解由an13an4，可得an123(an2)，所以3.又a15，所以an2是以a123为首项，3为公比的等比数列，所以an23n，所以an3n2.命题点2an1panqnc(p0,1，q0)例2已知数列an满足an12ann1(nN*)，a13，求数列an的通项公式解an12ann1，an1(n1)2(ann)，2，数列ann是以a112为首项，2为公比的等比数列，ann22n12n，an2nn.命题点3an
2、1panqn(p0,1，q0,1)例3在数列an中，a11，an12an43n1，求数列an的通项公式解方法一原递推式可化为an13n2(an3n1)比较系数得4，式即是an143n2(an43n1)则数列an43n1是首项为a143115，公比为2的等比数列，an43n152n1，即an43n152n1.方法二将an12an43n1的两边同除以3n1，得，令bn，则bn1bn，设bn1k(bnk)，比较系数得k，则，是以为首项，为公比的等比数列bnn1，则bnn1，an3nbn43n152n1.思维升华(1)形如an1an(0,1，0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的
3、两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列(2)递推公式an1an的推广式an1ann(0,1，0，0,1)，两边同时除以n1后得到，转化为bn1kbn(k0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列求解跟踪训练1(1)(2022武汉二中月考)已知正项数列an中，a12，an12an35n，则数列an的通项公式为()Aan32n1Ban32n1Can5n32n1Dan5n32n1答案D解析方法一将递推公式an12an35n的两边同时除以5n1，得，令bn，则式变为bn1bn，即bn11(bn1)，所以数列bn1是首项为b111，公比为
4、的等比数列，所以bn1n1，即bn1n11，故an5n32n1.方法二设an1k5n12(ank5n)，则an12an3k5n，与题中递推公式比较得k1，即an15n12(an5n)，所以数列an5n是首项为a153，公比为2的等比数列，则an5n32n1，故an5n32n1.(2)(2022衡水质检)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn12Sn1，nN*，则数列an的通项公式为_答案an2n1，nN*解析因为Sn12Sn1，所以Sn12Sn1.因此Sn112(Sn1)，因为a1S11，S112，所以Sn1是首项为2，公比为2的等比数列所以Sn12n，Sn2n1.当n2时，anSnSn
5、12n1，a11也满足此式，所以an2n1，nN*.题型二相邻项的差为特殊数列(形如an1panqan1，其中a1a，a2b型)例4已知在数列an中，a15，a22，an2an13an2(n3)，求这个数列的通项公式解an2an13an2，anan13(an1an2)，又a1a27，anan1是首项为7，公比为3的等比数列，则anan173n2，又an3an1(an13an2)，a23a113，an3an1是首项为13，公比为1的等比数列，则an3an1(13)(1)n2，3得，4an73n113(1)n1，an3n1(1)n1.思维升华可以化为an1x1anx2(anx1an1)，其中x1，
6、x2是方程x2pxq0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列anan1，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列an跟踪训练2(1)数列an中，a18，a42，且满足an22an1an(nN*)，则数列an的通项公式为_答案an102n(nN*)解析由题意知，an2an1an1an，所以an为等差数列设公差为d，由题意得283dd2，得an82(n1)102n.(2)在数列an中，a11，a23，an23an12an，则an_.答案2n1解析由题意知，an2an12(an1an)，a2a12，anan1是首项为2，公比为2的等比数列，anan12n1(n2)，当n2时，an
7、(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.显然n1时满足上式，an2n1.题型三倒数为特殊数列例5(1)已知数列an中，a11，an1，则an_.答案解析an1，a11，an0，即，又a11，则1，是以1为首项，为公差的等差数列1(n1)，an(nN*)(2)已知在数列an中，a12，an1(nN*)，则an_.答案解析31，3，1，是以1为首项，3为公比的等比数列，3n1，3n1，an(nN*)思维升华两边同时取倒数转化为的形式，化归为bn1pbnq型，求出的表达式，再求an.跟踪训练3(1)已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f(an)(nN*)，则数列
8、an的通项公式为_答案an(nN*)解析由已知得，an1，3，即3，数列是首项为1，公差为d3的等差数列，1(n1)33n2.故an(nN*)(2)已知数列an满足a11，an1，则an_.答案解析对递推关系两边取倒数，得2n.即2n，分别用1,2,3，n1替换n，有21，22，23，2(n1)，以上n1个式子相加，得2123(n1)n(n1)，所以n2n1.所以an.课时精练1数列an满足an4an13(n2)且a10，则此数列第5项是()A15B255C16D63答案B解析an4an13(n2)，an14(an11)(n2)，an1是以1为首项，4为公比的等比数列，则an14n1.an4n
9、11，a5441255.2(2022许昌模拟)数列an的首项a12，且an14an6(nN*)，令bnlog2(an2)，则等于()A2020B2021C2022D2023答案D解析an14an6(nN*)，an124an624(an2)0，即4且a12，数列an2是以4为首项，4为公比的等比数列，故an24n，由bnlog2(an2)得，bnlog24n2n，设数列bn的前n项和为Sn，则S20222(12320212022)20222023，2023.3(2022绵阳模拟)已知数列an满足：a1a22，an3an14an2(n3)，则a9a10等于()A47B48C49D410答案C解析由
10、题意得a1a24，由an3an14an2(n3)，得anan14(an1an2)，即4(n3)，所以数列anan1是首项为4，公比为4的等比数列，所以a9a1049.4已知数列an满足：a11，an12an2n，nN*，则a4等于()A64B56C32D24答案C解析由an12an2n得，而，数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)，ann2n1，a4424132.5已知数列an满足a11，an1(nN*)若bnlog2，则数列bn的通项公式bn等于()A.nBn1CnD2n答案C解析由an1，得1，所以12，又12，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以122n12n，所以bnlog2
11、log22nn.6已知数列an满足a11，an1(nN*)，则下列结论正确的是()A.为等比数列Ban的通项公式为anCan为递增数列D.的前n项和Tn2n23n4答案A解析因为an1，所以3，所以32，且340，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即342n1，所以2n13，可得an，故选项A正确，选项B不正确；因为2n13单调递增，所以an单调递减，即an为递减数列，故选项C不正确；的前n项和Tn(223)(233)(2n13)(22232n1)3n223n2n23n4.故选项D不正确7已知数列an中，a11，an13an3n，则a5等于()A405B300C450D500答案A解析an
12、13an3n，数列是等差数列，公差为，又，(n1)，ann3n1，a5534405.8(2022甘肃西北师大附中模拟)已知数列an满足a1，anan1anan1(nN*)，则的最小值为()A.B12C24D.答案D解析a1，anan1anan1(nN*)，10，1，数列是以10为首项，1为公差的等差数列，n9，n11.yn在(0,3)上单调递减，在(3，)上单调递增，当n4时，取得最小值为.9已知数列an满足a11，anan12anan1，则an_.答案解析因为anan12anan1，所以等式两边同除以anan1得2，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以12(n1)2n1，所以an.
13、10已知数列an中，a1，an1ann1，则an_.答案3n2n解析由an1ann1，两边同除以n1，即两边同乘以2n1，得2n1an1(2nan)1，令bn2nan，则bn1bn1，bn13(bn3)，所以bn3是以b13为首项，为公比的等比数列，即bn3n1，所以bn32n，所以an3n2n.11已知首项为1的数列an各项均为正数，且na(n1)aanan1，则an_.答案n解析因为na(n1)aanan1，所以n(an1an)(an1an)an(an1an)，因为数列an各项均为正数，所以an1an0，所以n(an1an)an，所以，所以为常数列，由a11，所以1，所以ann.12已知数列an满足递推公式an12an1，a11.设Sn为数列an的前n项和，则an_，的最小值是_答案2n1解析因为an12an1，所以an112(an1)，所以数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列，所以an12n，所以an2n1；所以Sn222232nnn2n12n，所以2n2，由对勾函数的性质可得，当n1时，212,21222；当n2时，2n4，所以y2n2单调递增，当n2时，22242，所以的最小值是.