1、专题7.9 平面图形的认识（一）十六大考点【苏科版】【考点1 直线、射线、线段的条数】1【考点2 双中点线段问题】4【考点3 线段的等分点问题】7【考点4 线段动点的定值计算】12【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】20【考点6 剪绳子(端点重合)问题】27【考点7 动点中线段和差问题】32【考点8 线段的长短比较】39【考点9 时针和分针重合次数与时间】41【考点10 两定角、双角平分线与角度关系】45【考点11 线段、角的规律问题】55【考点12 角度的翻折问题】58【考点13 两块三角板旋转问题】62【考点14 射线旋转与角度的关系】68【考点15 余角、补角、对顶角的性质】78
2、【考点16 平行、垂直】87【考点1 直线、射线、线段的条数】【例1】（2022辽宁锦州七年级期末）如图，C，D是线段AB上的点，若AB=8，CD=2，则图中以C为端点的所有线段的长度之和为 _【答案】10【分析】先根据线段的定义表示出以C为端点的所有线段，再代入数据进行计算即可得解【详解】解：以C为端点的所有线段分别是AC、CD、CB共3条，AB=8，CD=2，AC+CD+CB=（AC+CB）+CD=AB+CD=8+2=10故答案为：10【点睛】本题考查了两点间的距离，找线段时要按照一定的顺序做的不重不漏，求和时把相加等于AB的长度的两条线段结合成一组可以使运算更简便【变式1-1】（2022
3、山西右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：问题：在一条直线上有A，B，C，D四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有AB，AC，AD3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4312（条），但AB和BA是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有_条线段那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有_条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有_条线段知识迁移：若在一个锐角AOB内部画2条射线OC，OD，则这个图形中总共有_个角；若在AOB内部画n条射线，则总共有_个角学以致用：一段铁路上共有5个
4、火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备_种不同的车票【答案】6 ，10，nn-12，6，n+2n+12，20【分析】问题：根据线段的定义解答；知识迁移：根据角的定义解答；学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答【详解】解：问题：根据题意，则432=6；542=10；nn-12；知识迁移：在AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，在AOB内部画n条射线OC，OD，OE，则图中有1+2+3+n+（n+1）=(n+1)n+22个不同的角；学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数1254=10，需要车票的种数：102=20（种）故答案
5、为：6 ，10，nn-12，6，n+2n+12，20；【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意【变式1-2】（2022北京通州七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有_条【答案】3【分析】根据直线的性质来画图解答.【详解】如图，有3条.【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的应用.直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度，经过两点有且只有一条直线，而两条直线相交只有一个交点.【变式1-3】（2022黑龙江抚远市第三中学七年级期末）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线
6、，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（）A6B7C8D9【答案】C【详解】两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线，因为1+2+3+4+5+6+7=28，所以平面上不同的8个点最多可确定28条直线故选：C【考点2 双中点线段问题】【例2】（2022福建泉州七年级期末）在一条直线上依次有E、F、G、H四点若点F是线段EG的中点，点G是线段EH的中点，则有（）AEF=GHBEGGHCGH2FGDFG=12GH【答案】D【分析】依据点F是线段EG的中点，点G是线段EH的中点，即可得到EFFG，E
7、GGH，进而得出结论【详解】解：如图所示：点F是线段EG的中点，EFFG，点G是线段EH的中点，EGGH，FG12GH，故选：D【点睛】本题主要考查由图判断线段关系，涉及线段的中点概念：把一条线段分成两条相等的线段的点，读懂图形中各个线段之间的关系是解决问题的关键【变式2-1】（2022山东东营期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点(1)若线段ABa，CEb且(a-16)2+|2b-8|=0，求a，b的值；(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，【答案】(1)a=16，b=4；(2)CD=2【分析】（1）根据非负数的性质即可推出a、b的值；（2）根据（1）
8、所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC=8，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度（1）解：(a-16)2+|2b-8|=0，a-16=0，2b-8=0，a=16，b=4；（2）解：点C为线段AB的中点，AB=16，CE=4，AC=12AB=8，AE=AC+CE=12，点D为线段AE的中点，DE=12AE=6，CD=DE-CE=6-4=2【点睛】本题主要考查非负数的性质，线段中点的有关计算，关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系【变式2-2】（2022山东潍坊
9、七年级期中）已知点C在直线AB上，点M，N分别为AC，BC的中点(1)如图所示，若C在线段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求线段BC，MN的长；(2)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC-BC=a厘米，请根据题意画图，并求MN的长度（结果用含a的式子表示）【答案】(1)BC=7cm；MN=6.5cm(2)作图见解析，MN=12a cm【分析】（1）根据“点M是AC的中点”，先求出MC的长度，再利用BC=MB-MC，CN=12BC，MN=CM+CN即可求出线段BC，MN的长度；（2）根据题意，M点的位置分两种情况：先画图，再根据线段中点的定义得MC=12AC，NC=12BC，然后利用MN
10、=MC-NC得到MN=12a cm【详解】（1）解：M是AC的中点，MC=12AC=3cm，BC=MB-MC=7cm，又N为BC的中点，CN=12BC=3.5cm，MN=MC+NC=6.5cm；（2）解：根据题意，M点的位置分两种情况：M点的位置在B点左侧，如图所示：M是AC的中点，CM=12AC，N是BC的中点，CN=12BC，MN=CM-CN=12AC-12BC=12(AC-BC)=12a cm；M点的位置在B点右侧，如图所示：M是AC的中点，CM=12AC，N是BC的中点，CN=12BC，MN=CM-CN=12AC-12BC=12(AC-BC)=12a cm【点睛】本题主要考查了两点间的
11、距离，线段的中点定义，理解线段的中点把线段分成两条相等的线段是解决问题的关键【变式2-3】（2022山西右玉县第三中学校七年级期末）一条直线上有A，B，C三点，AB=8cm，AC=18cm，点P，Q分别是AB，AC的中点，则PQ=_【答案】13cm或5cm【分析】因为直线上三点A、B、C的位置不明确，所以要分B在A，C两点之间和A在C、B两点之间两种情况，分别结合图形并根据中点的定义即可求解【详解】解：根据题意由两种情况若B在A，C两点之间，如图：则PQ=AQ-AP= 12AC-12AB, AB=8cm,AC=18cm， PQ=1218-128=5(cm)；若C在A，B两点之间，如图：则PQ=
12、AP+AQ=12AB+12AC AB=8cm,BC=18cm， PQ=1218+128=13(cm)，故答案为：13cm或5cm【点睛】本题主要考查了线段中点定义、线段的和差等知识点，根据题意正确画出符合题意的图形是解答本题的关键.【考点3 线段的等分点问题】【例3】（2022吉林白城七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B表示的数为2动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P、Q同时出发，设运动时间为t（t0）秒，解答下列问题（1）数轴上点P表示的数为 ，点Q表示的数为 （用含t的代数式表示）；（
13、2）当点P表示的数和点Q表示的数互为相反数时，求t的值；（3）点P追上点Q时，求t的值；（4）若点B恰好是线段PQ的3等分点时，t的值为 【答案】（1）-10+4t，2+2t；（2）t=43；（3）t=6；（4）t=1.5,t=2.4【分析】（1）根据数轴上两点间的距离，在结合路程=速度时间，即可解答（2）根据相反数的定义，在结合（1）的结论列方程即可（3）根据题意列方程求解即可（4）根据题意列方程求解即可【详解】解：（1）数轴上点P表示的数为：-10+4t；点Q表示的数为：2+2t（2）由题意得-10+4t+2+2t=0解得t=43即t=43时，点P表示的数和点Q表示的数互为相反数（3）由题
14、意得4t=2t+2+-10解得t=6即当点P追上点Q时，t=6（4）由题意得：2-10+4t=232+2t-10+4t或2-10+4t=132+2t-10+4t解得：t=1.5或t=2.4【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适等量关系流出方程，在求解【变式3-1】（2022内蒙古巴彦淖尔七年级期末）如图，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点若CB=2，则线段AB的长为_【答案】16【分析】根据中点和四等分点的性质可得AD=BD =12AB，BC=14BD，可得BC=18AB，进而根据CB=2即可求解【详解】解：
15、点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点AD=BD =12AB，BC=14BD， BC=18AB， CB=2，AB=16故答案为：16【点睛】本题考查了线段中点的性质，n等分点的计算，解题的关键是利用数形结合的思想求解【变式3-2】（2022湖北武汉七年级期末）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB43AB（1）请根据题意将图形补充完整直接写出ACAB _；（2）设AB 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动当点D在线段AB上运动，求ADCE的值；在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点当点C恰好为
16、线段BD的三等分点时，求MN的长【答案】（1）13，（2）3，（3）12cm或24cm【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论；（2）设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；分BD=3CD和BD=3CB两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可【详解】解：（1）图形补充完整如图，CB43AB，CABC-AB=13AB，ACAB=13，故答案为：13；（2）AB 9cm，由（1）得，CA=13AB=3（cm），设运动的时间为t秒，DA=(9-3t)cm，CE=(3-t)cm，ADCE=9-3t3-t=3，当BD=3CD时，AB 9cm， CA=3c
17、m，CB=2CD=12cm，CD=6cm，BD=3CD=18cm，运动时间为：183=6（秒），则AE=6cm，BE=BA+AE=15cm，ED=BD-BE=3cm，M，N分别是线段DE、AB的中点DM=1.5cm，BN=4.5cm，MN=BD-DM-BN=12cm，当BD=3CB时，AB 9cm， CA=3cm，CB=12cm，BD=3CB=36cm，运动时间为：363=12（秒），则AE=12cm，BE=BA+AE=21cm，ED=BD-BE=15cm，M，N分别是线段DE、AB的中点DM=7.5cm，BN=4.5cm，MN=BD-DM-BN=24cm，综上，MN的长是12cm或24cm【
18、点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长【变式3-3】（2022辽宁锦州七年级期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点若AB12，AC8，求MN的长(1)根据题意，小明求得MN_；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究设ABa，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN_；如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=1
19、3BC，求MN的长；若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，则MN_；【答案】(1)6(2)12a；MN=23a；an-1n【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=12AC=4，CN=12BC=2，故MN=CM+CN=6；（2）由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=12AC，CN=12BC，即得MN=12AC+12BC=12AB，故MN=12a；由AM=13AC，BN=13BC，知CM=23AC，CN=23BC，即得MN=CM+CN=23AC+23BC=23AB，故MN=23a；由AM=1nAC，
20、BN=1nBC，知CM=n-1nAC，CN=n-1nBC，即得MN=CM+CN=n-1nAC+n-1nBC=n-1nAB，故MN=n-1na（1）解：AB=12，AC=8，BC=AB-AC=4，M，N分别是AC，BC的中点，CM=12AC=4，CN=12BC=2，MN=CM+CN=6；故答案为：6；（2）解：M，N分别是AC，BC的中点，CM=12AC，CN=12BC，MN=12AC+12BC=12AB，AB=a，MN=12a；故答案为：12a；AM=13AC，BN=13BC，CM=23AC，CN=23BC，MN=CM+CN=23AC+23BC=23AB，AB=a，MN=23a；AM=1nAC
21、，BN=1nBC，CM=n-1nAC，CN=n-1nBC，MN=CM+CN=n-1nAC+n-1nBC=n-1nAB，AB=a，MN=n-1na，故答案为：n-1na【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算【考点4 线段动点的定值计算】【例4】（2022内蒙古赤峰七年级期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足a+1+b-32=0(1)如图1，求线段AB的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=12x-2的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图2，点P在B
22、点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：PM-2BN的值不变；PM-23BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值【答案】(1)4(2)存在，当点P表示的数为-1.5或3.5时，PA+PB=BC；理由见解析(3)结论正确，PM-2BN=2【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由PA+PB=BC确定出P位置，即可做出判断；（3）设P点所表示的数为n，就有PA=n+1，PB=n-3，根据条件就可以表示出PM=n+12，BN
23、=n-34，再分别代入PM-2BN和PM-23BN求出其值即可(1)解：|a+1|+（b-3）2=0，a+1=0，b-3=0，a=-1，b=3，AB=|-1-3|=4答：AB的长为4；(2)解：存在，2x+1=12x-2，x=-2，BC=-2-3=5设点P在数轴上对应的数是m，PA+PB=BC，|m+1|+|m-3|=5，令m+1=0，m-3=0，m=-1或m=3当m-1时，-m-1+3-m=5，m=-1.5；当-1m3时，m+1+3-m=5，（舍去）；当m3时，m+1+m-3=5，m=3.5当点P表示的数为-1.5或3.5时，PA+PB=BC；(3)解：设P点所表示的数为n，PA=n+1，P
24、B=n-3PA的中点为M，PM=12PA=n+12N为PB的四等分点且靠近于B点，BN=14PB=n-34，PM-2BN=n+12-2n-34=2（不变），PM+23BN=n+12+23n-34=23n（随点P的变化而变化），正确的结论为，且PM-2BN=2【点睛】此题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，一元一次方程的解，解题的关键是灵活运用两点间的距离公式【变式4-1】（2022湖北孝感七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为9，点B表示的数为-6，动点P从点A出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt0秒，(1)数轴上点P表示的数为
25、_（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，AP=2BP？(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1)9-5t.(2)t=2或t=6(3)答案见解析【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据题意列一元一次方程，解方程求解即可；（3）分情况讨论，当点P在A，B两点之间时，当点P运动到点B的左侧时，根据线段中点的性质，分别计算MN，即可求解(1)数轴上点A表示的数为9，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt0秒，则数轴上点P表示的数为9-5t故答案为：9-5t(2)AP
26、=5t，BP=9-5t+6=15-5t，AP=2BP，5t=215-5t，5t=30-10t或5t=10t-30，解得t=2或t=6，当t=2或t=6时，AP=2BP；(3)当点P在A，B两点之间时，如图1所示.MN=MP+NP=12AP+12BP=12AB=1215=152.当点P运动到点B的左侧时，如图2所示.MN=MP-NP=12AP-12BP=12AB=1215=152.综上可知，当点P在运动过程中，线段MN的长度为定值152.【点睛】本题考查了数轴动点问题，一元一次方程的应用，线段中点的性质，数形结合是解题的关键【变式4-2】（2022江苏南京市科利华中学七年级阶段练习）【概念与发现
27、】当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作dACAB=n例如，点C是AB的中点时，即AC=12AB，则dACAB=12；反之，当dACAB=12时，则有AC=12AB因此，我们可以这样理解：“dACAB=n”与“AC=nAB”具有相同的含义【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上若AC=3，AB=4，则dACAB=_；若dACAB=23，则AC=_AB【拓展与延伸】(2)已知线段AB=10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回当P，Q其中一点先到达终点
28、时，两点均停止运动设运动时间为t（单位：s）小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，mdAPAB+dAQAB的值是个定值，则m的值等于_；t为何值时，dAQAB-dAPAB=15【答案】(1)34，23(2)3；2或6【分析】（1）根据“点值”的定义即可得出答案；（2）设运动时间为t，再根据mdAPAB+dAQAB的值是个定值即可得出m的值；分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动时两种情况加以分析即可（1）解：AC=3，AB=4，AC=34ABdACAB=34，dACAB=23，AC=23AB（2）解：设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，则dAPAB=t10，dA
29、QAB=10-3t10mdAPAB+dAQAB的值是个定值，mt10+10-3t10=10+m-3t10的值是个定值，m=3当点Q从点B向点A方向运动时，dAQAB-dAPAB=1510-3t10-t10=15t=2当点Q从点A向点B方向运动时，dAQAB-dAPAB=153t-1010-t10=15t=6t的值为2或6【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键【变式4-3】（2022全国七年级专题练习）已知线段ABm，CDn，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m12|（n4）20.（1）m ，n ；（2）点D与点B重合时，线段C
30、D以2个单位长度/秒的速度向左运动如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇试探索整个运动过程中，FC5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 【答案】（1）m=12，n= 4； （2） MN=8，在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；设PA=a，则
31、PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案【详解】解：（1）|m12|（n4）20，m12=0，n4=0，m=12，n=4；故答案为：12；4（2）由题意，AB=12，CD=4，M是线段AC的中点，N是线段BD的中点AM=CM=12AC ，DN=BN=12BD MN=CM+CD+DN=12AC +CD+12BD=12AC +12CD+12BD+12CD=12(AC +CD+BD)+12CD=12(AB +CD)=8；如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：a+83+2+1=a+103+1解得：a=2在整个运动的过
32、程中：BD=2t，BC=4+2t，E是线段BC的中点CE= BE=12BC=2+t；如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0FC-5 DE =0；如图2，F，C相遇前，即t2时FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-tFC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；如图3，F，C相遇后，即t2时FC =5t-10，DE = BD - BE=2t (2+t)= t-2FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一
33、次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】【例5】（2022浙江舟山七年级期末）已知点C在线段AB上，AC2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB18，DE8，线段DE在线段AB上移动，如图1，当E为BC中点时，求AD的长；当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDAB 【答案】（1）AD7；AD203或283；（2）1742或116【分析】（1）根据已知条件得到BC6，AC12，由
34、线段中点的定义得到CE3，求得CD5，由线段的和差得到ADACCD1257；当点C线段DE的三等分点时，可求得CE13DE83或CE23DE163，则CD163或83，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，设BCx，则AC2BC2x，求得AB3x，设CEy，得到AE2x+y，BExy，求得y27x，当点E在点A的左侧，设BCx，则DE1.5x，设CEy，求得DCEC+DEy+1.5x，得到y4x，于是得到结论【详解】解：（1）AC2BC，AB18，BC6，AC12，E为BC中点，CE3，DE8，CD5，ADACCD1257；点C是线段DE的三等分点，DE8，CE13DE83或
35、CE23DE163，CD163或CD83，ADACCD12163203或12-83=283；（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BCx，则AC2BC2x，AB3x，AB2DE，DE1.5x，设CEy，AE2x+y，BExy，ADAEDE2x+y1.5x0.5x+y，AD+ECBE=32，0.5x+y+yx-y=32，y27x，CD1.5x27x1714x，CDAB=1714x3x=1742；当点E在点A的左侧，如图，设BCx，则DE1.5x，设CEy，DCEC+DEy+1.5x，ADDCACy+1.5x2xy0.5x，AD+ECBE=32，BEEC+BCx+y，y-0.5x+yx+y=32，
36、y4x，CDy+1.5x4x+1.5x5.5x，BDDC+BCy+1.5x+x6.5x，ABBDAD6.5xy+0.5x6.5x4x+0.5x3x，CDAB=5.5x3x=116，当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述CDAB的值为1742或116故答案为：1742或116【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键【变式5-1】（2022广西河池七年级期末）如图，点M位于数轴原点，C点从M点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，D点从B点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动(1)若点A表示的数为-3，点B表
37、示的数为7，当点C，D运动时间为2秒时，求线段CD的长；(2)若点A，B分别表示-2，6，运动时间为t，当t为何值时，点D是线段BC的中点(3)若AM=14AB，N是数轴上的一点，且AN-BN=MN，求MNAB的值【答案】(1)CD=3(2)当t=65时点D是线段BC的中点(3)MNAB=12或1【分析】（1）根据路程=速度时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据CD=CM+MD可求；（2）先表示出BD和CD，再根据点D是线段BC的中点，列方程求解；（3）分N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，分别求解（1）解：CM=21=2，BD=23=6，又点A表示-3，点B表示
38、7，AM=3，BM=7MD=BM-BD=7-6=1CD=CM+MD=2+1=3（2）解：点A，B分别表示-2，6，所以AM=2，BM=6，MC=t，BD=3t，MD=6-3t，CD=MD+MC=t+6-3t当D是BC的中点时CD=BD，即t+6-3t=3t， t=65当t=65时点D是线段BC的中点（3）解：当点N在线段AB上时，如图AN-BN=MN，又AN-AM=MNBN=AM，又AM=14ABMN=12AB，即MNAB=12当点N在线段AB的延长线上时，如图AN-BN=MN，又AN-BN=ABMN=AB，即MNAB=1综上所述MNAB=12或1【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的
39、距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系【变式5-2】（2022全国七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值(2)若点C、D运动时，总有MD3AC，直接填空：AMBM(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且ANBNMN，求2MN3AB的值【答案】(1)7cm(2)13(3)13或23【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案；（2）由AC=AMCM，MD=BM
40、BD，MD=3AC结合（1）问便可解答；（3）由ANBN，分两种情况讨论：点N在线段AB上时，点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；（1）解：当点C、D运动了1s时，CM1cm，BD3cmAB11cm，CM1cm，BD3cmAC+MDABCMBD11137cm（2）解：设运动时间为t，则CMt，BD3t，ACAMt，MDBM3t，又MD3AC，BM3t3AM3t，即BM3AM，AM=13BM故答案为：13（3）解：由（2）可得：BMABAMABAM3AM，AM14AB，当点N在线段AB上时，如图ANBNMN，又ANAMMNBNAM14AB，MN12AB，即2MN3AB=
41、13当点N在线段AB的延长线上时，如图ANBNMN，又ANBNABMNAB，MNAB=1,即2MN3AB=23综上所述2MN3AB13或23【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答【变式5-3】（2022全国七年级专题练习）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM4cm，当点C、D运动了2s，此时AC ，DM ；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值（3）若点C、D运动时，总有MD
42、2AC，则AM （填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且ANBNMN，求MNAB的值【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）MNAB=13或1【分析】（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得；（2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得；（3）根据已知得MB2AM，然后根据AM+BM=AB，代入即可求解；（4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得【详解】（1）根据题意知，CM2cm，BD4cm，AB12cm，AM4cm，BM8cm，ACAMCM2cm，DMBMBD4cm，故答案为：2cm，4cm；（2
43、）当点C、D运动了2 s时，CM2 cm，BD4 cmAB12 cm，CM2 cm，BD4 cmAC+MDAMCM+BMBDABCMBD12246 cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD2MC，MD2AC，BD+MD2（MC+AC），即MB2AM，AM+BMAB，AM+2AMAB，AM13AB4，故答案为：4；（4）当点N在线段AB上时，如图1，ANBNMN，又ANAMMNBNAM4MNABAMBN12444MNAB=13；当点N在线段AB的延长线上时，如图2，ANBNMN，又ANBNABMNAB12MNAB=1；综上所述MNAB=13或1故答案为MNAB=13或1【点睛】本题考查了线段上的
44、动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键【考点6 剪绳子(端点重合)问题】【例6】（2022全国七年级专题练习）把根绳子对折成一条线段AB，在线段AB取一点P，使AP=13PB，从P处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为24cm，则绳子的原长为（）A32cmB64cmC32cm或64cmD64cm或128cm【答案】C【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题【详解】解：如图AP=13PB，2AP=23PBPB若绳子是关于A点对折，2APPB剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=
45、30cm，绳子全长=2PB+2AP=242+2324=64cm；若绳子是关于B点对折，AP2PB剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cmPB=12 cmAP=1213=4cm绳子全长=2PB+2AP=122+42=32 cm；故选：C【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解【变式6-1】（2022全国七年级课时练习）将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（）A37B36C35D34【答案】B【分析】先求出每3厘米作一个记号，
46、可以作几个记号；再求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；因为3和4的最小公倍数是12，所以每12厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数【详解】解：绳子长72cm，每3cm作一记号，可以把绳子平均分成72324（段），可以做24123个记号，每4cm也作一记号，可以把绳子平均分成72418（段），可以做18117个记号，3和4的最小公倍数是12，所以重合的记号有：721215（个），有记号的地方共有2317535，这段绳子共被剪成的段数为35136（段）故选：B【点睛】此题主要考查了线段，关键是正确理解每3厘米、4厘米作一个记号，可以作几个记号，有多少的记号重合【变式6-2】（2022
47、湖北武汉七年级期末）如图，将一股标有060均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为A，B，C三段若这三段的长度的比为3：2：1，则折痕对应的刻度是_【答案】20【分析】设折痕对应的刻度为x，根据折叠的性质和A，B，C三段的长度的比为3：2：1，列出方程求解即可【详解】解：设折痕对应的刻度为x，由A，B，C三段长度的比为3：2：1，可得三段长度分别是30、20、10，依题意得：x2021020，故答案为：20【点睛】考查了一元一次方程的应用和图形的剪拼，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解【变
48、式6-3】（2022全国七年级专题练习）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠 （1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A,B处如图2，若A,B恰好重合于点O处，MN= cm，如图3，若点A落在B的左侧，且AB=20cm，求MN的长度；若AB=ncm，求MN的长度（用含n的代数式表示）（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B处，在重合部分BN上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度【答案】（1）30，40cm，30+n2cm或30-n2cm；（
49、2）25 cm或27.5 cm或32.5 cm或35cm【分析】（1）根据MN=MO+NO=12AO+12BO=12AB即可求解；根据M、N分别为AA、BB的中点，得出AM=12AA，BN=12BB，再由MN= AB（AM+ BN）即可求解；根据M、N分别为AA、BB的中点，得出AM=12AA，BN=12BB，然后分两种情况点A落在点B的左侧，点A落在点B的右侧，根据MN= AB（AM+ BN）即可求解；（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，得出绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段，然后分6中情况讨论，根据AN=AP+12 PP即可求解【详解】解：（1）MN=MO+NO=12A
50、O+12BO=12AB=30；因为AB=60 cm，AB=20 cm，所以AA+BB=AB - AB=60 - 20=40 cm根据题意得，M、N分别为AA、BB的中点，所以AM=12AA，BN=12BBAM+ BN=12AA+12BB=12AA+BB=1240=20cm所以MN= AB（AM+ BN）=60 - 20=40 cm因为M、N分别为AA、BB的中点，所以AM=12AA，BN=12BB（）如图，若点A落在点B的左侧，AA+BB=AB - AB=(60 n) cm AM+ BN=12AA+12BB=12AA+BB=1260-n=30-n2cm所以MN= AB（AM+ BN）=60-3
51、0-n2=30+n2cm（）如图，若点A落在点B的右侧， AA+BB=AB + AB=(60 +n)cm AM+ BN=12AA+12BB=12AA+BB=1260+n=30+n2cm所以MN= AB（AM+ BN）=60-30+n2=30-n2（cm）综上，MN的长度为30+n2cm或30-n2cm（2）如图，三段的长度由短到长的比为3：4：5，6033+4+5=15，6043+4+5=20，6053+4+5=25，故绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段当BP=15，PP=20，AP=25时，AN=AP+12 PP=25+1220=35；当BP=15，PP=25，AP=20时，AN=
52、AP+12 PP=20+1225=32.5；当BP=20，PP=15，AP=25时，AN=AP+12 PP=25+1215=32.5；当BP=20，PP=25，AP=15时，AN=AP+12 PP=15+1225=27.5；当BP=25，PP=20，AP=15时，AN=AP+12 PP=15+1220=25；当BP=25，PP=15，AP=20时，AN=AP+12 PP=20+1215=27.5综上AN所有可能的长度为：25 cm或275 cm或325 cm或35cm【点睛】本题主要考查了线段的计算、线段的折叠问题、线段中点的性质，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质，注意审题及分类讨论思想【考
53、点7 动点中线段和差问题】【例7】（2022全国七年级阶段练习）已知多项式(a+10)x3+20x2-5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b(1)a=_，b=_，线段AB=_；(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为AB的中点，求MC的长；(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以56个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值【答案】(1)-10，20，30；
54、(2)3或75；(3)252【分析】（1）由题意直接可求解；（2）当点C在AB之间时，如图1，当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算AC和AM的长，相减可得结论；（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：-10+t，点H表示的数为：20+56t，根据中点的定义得点D和F表示的数，由EG=13BG得EG的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得DE和DF的长，相加可得结论【详解】（1）解：由题意知：a+10=0，b=20，a=-10，AB的距离为20-10=30；故答案为：-10，20，30；（2）分两种情况：当点C在AB之间时，如图1，AC=32BC，AB=30，AC=1
55、8，M是AB的中点，AM=15，CM=18-15=3；当点C在点B的右侧时，如图2，AC=32BC，AB=30，AC=90，AM=15，CM=90-15=75；综上，CM的长是3或75；（3）由题意得：点G表示的数为：-10+t，点H表示的数为：20+56t，tCD.BAB=CD.CABCD.D无法确定.【答案】B【分析】根据AC=BD,将等量线段都减去BC即可解答此题.【详解】AC=BD,AC-BC=BD-BC,即AB=CD,故选B.【点睛】此题考察线段间的数量关系，利用AC=BD,将等量线段都减去BC即可解答此题.【变式8-3】（2022江苏盐城七年级期末）如图，A、B、C、D四点在同一直
56、线上(1)若AB=CD比较线段的大小：AC_BD（填“”、“”或“”）；若BC=34AC，且AC=16cm，则AD的长为_cm；(2)若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长【答案】(1)=；20(2)27cm【分析】（1）根据等式的性质，得出答案；求出BC的值，在求出AB、CD的长，进而求出AD的长即可；（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可(1)解：AB=CD，AB+BC=CD+BC，即，AC=BD，故答案为：=；BC=34AC，且AC=16cm，BC=3416=12(cm)，AB=CD=AC-BC=16
57、-12=4(cm)，AD=AC+CD=16+4=20(cm)，故答案为：20；(2)解：如图所示，设每份为x，则AB=2x，BC=3x，CD=4x，AD=9x，M是AB的中点，点N是CD的中点N，AM=BM=x，CN=DN=2x又MN=18，x+3x+2x=18，解得，x=3，AD=9x=27(cm)【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，解题的关键是理解线段中点的意义【考点9 时针和分针重合次数与时间】【例9】（2022江苏苏州七年级期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间从下午2点整到下午4点整，钟面角为90的情况有（）A有一种B有二种C有三种D有四种【答案】D【详解】试题解析：
58、设n=分，m=点，则钟面角为5.5n-30m，(分钟在前)30m-5.5n，(时针在前)，将m=2代入上式，得n1=27311，n2=60-5511=54611，将m=3代入上式，得n3=32811，n4=04：00时，钟面角为304=12090故选D考点：钟面角【变式9-1】（2022全国七年级单元测试）根据所学知识完成题目：（1）一个角的余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，求这个角（2）从两点三十分时开始算起，钟表上的时针与分针经过多久第一次重合？【答案】（1）这个角是45；（2）经过 51011分钟，时针和分针第一次重合【分析】（1）设这个角是x，则余角是（90-x），补角是（
59、180-x），然后根据余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，即可列方程求解；（2）根据分针与时针的转动速度结合夹角为90，得出等式求出即可.【详解】（1）解：设这个角是x，则余角是（90x），补角是（180x）根据题意得：（90x）+（180x）=2（180x）（90x）解得：x=45则这个角是45.（2）解：两点三十分时时针和分针的夹角是：105，设经过x分钟，时针和分针第一次重合，时针每分钟转6，时针每分钟转0.5则6x0.5x=360105，解得：x= 51011则经过51011分钟，时针和分针第一次重合.【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度
60、数关系以及利用时针和分针的位置关系得出等式.【变式9-2】（2022全国七年级单元测试）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转以下请你解答有关时钟的问题：(1)分针每分钟转了几度？(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121？(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于121后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121？【答案】(1)6(2)22(3)23611【分析】（1）根据分针一小时转一圈即360，用360除以60计算即得；（2）根据分针每分钟转6，时针每分钟转0.5，时针与分针转过的角度差是121，列方程解答即可；（3）相对于12时
61、整第二次所成的钝角第二次等于121时，时针与分针转过的角度差超过180，这个差与121之和是360【详解】（1）解：分针一小时转一圈即360,分针每分钟转过的角度是：36060=6 ,答：分针每分钟转了6度；（2）设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121，时针一小时转动角度为： 36012=30，时分针每分钟转过的角度是：3060=0.5 ；分针与时针所成的钝角会第一次等于121，时针与分针转过的角度差是121，6x-0.5x=121，解得：x=22，答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121；（3）设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等
62、于121，则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于121，因为时针与分针转过的角度差超过180，这个差与121之和是360，故列得方程：6(y+22)-0.5(y+22)+121=360，解得：6(y+22)-0.5(y+22)+121=360，解得：y=23611，答：经过23611分钟两针所成的钝角会第二次等于121【点睛】本题通过钟面角考查一元一次方程，掌握时针分针的转动情况，会根据已知条件列方程是解题的关键选择合适的初始时刻会简化理解和运算难度，起到事半功倍的效果【变式9-3】（2022江苏射阳县实验初级中学七年级阶段练习）探究实验：钟面上的数字实验目的：了解钟面上
63、时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想实验准备：机械钟（手表）一只实验内容与步骤：观察与思考：（1）时针每分钟转动_，分针每分钟转动_（2）若时间为8：30，则钟面角为_，（钟面角是时针与分针所成的角）操作与探究：（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻钟面角第一次为
64、90？一天24小时中，钟面角为90多少次？拓展延伸：一天24小时中，钟面角为180_次，钟面角为n（0n180）_次（直接写出结果）【答案】观察与思考：（1）0.5，6，（2）75；操作与探究：（1）1211，22；（2）311，44；拓展延伸：22，44【详解】解析:试题分析：观察与思考：(1)钟表12个数字,每相邻两个数字之间的夹角为30即可得出答案;(2)钟表上8:30,时针指向8和9的中间,分针指向6,即可得出答案,时针和分针相隔2.5个格;操作与探究：(1)设经过x小时时针与分针再次重合，根据分针转过的角度=时针转过的角度+360列出方程即可得出答案；设经过x小时时针与分针再次重合，
65、根据分针转过的角度=时针转过的角度+90列出方程即可得出答案；拓展延伸：根据一天时针与分针重合的次数，结合每重合一次都会出此案两次n的角可得到答案.解：观察与思考：（1）3060=0.5；305=6；（2）302.5=75操作与探究：（1）设经过x小时时针与分针再次重合360x=30x+360解得：x=1211，时针与分针每经过x=1211重合一次，241211=22（次）答：1211时时针与分针再次重合一天24小时中，时针与分针重合22次（2）设经过y小时钟面角第一次为90360y=30y+90，解得：y=311每经过x=1211时针与分针重合一次，而钟面角为90两次2412112=44（次
66、）答：12311时钟面角第一次为90一天24小时中，钟面角为90 44次拓展延伸：由2可得：一天24小时中，钟面角为180有22次，钟面角为n（0n180）44次故答案为22；44点睛：本题考查了钟面角的计算及一元一次方程的应用，根据时针与分针每小时转动的角度和时针与分针所形成的夹角列方程求解.【考点10 两定角、双角平分线与角度关系】【例10】（2022陕西西安七年级期中）已知AOB和三条射线OE、OC、OF在同一个平面内，其中OE平分角BOC,OF平分角AOC，(1)如图，若BOC=70,AOC=50，求EOF的度数；(2)如图，若BOC=,AOC=，直接用、表示EOF；(3)若BOC、A
67、OC在同一平面内，且BOC=,AOC=，OE平分角BOC，OF平分角AOC，直接写出用、表示EOF【答案】(1)EOF=60；(2)EOF=12+12；(3)EOF=12+12；EOF=12-12；EOF=12-12【分析】(1)首先根据角平分线的定义求得COF，同理求得EOC，然后根据EOF=COF+EOC求解；(2)根据角平分线的定义可以得到COF=12AOC，EOC=12BOC， 直接用、表示即EOF=12+12；(3)分三种情况讨论，一种情况如图所示AOC和BOC相邻，还有一种情况是当BOC在AOC内部时，还有一种情况是当AOC在BOC在内部时【详解】（1）解：OF平分AOC，COF=
68、12AOC=1250=25，OE平分BOC，EOC=12BOC=35，EOF=COF+EOC=60；（2）解：OF平分AOC，COF=12AOC，同理EOC=12BOC，EOF=COF+EOC，EOF=12AOC+12BOC，BOC=,AOC=，EOF=12+12；（3）解：当AOC和BOC相邻时，由（2）可知EOF=12+12；当BOC在AOC内部时，如图：OF平分AOC，COF=12AOC，同理EOC=12BOC，EOF=COF-EOC=12AOC-12BOC ,即EOF=12-12，当AOC在BOC内部时，如图所示：OF平分AOC，COF=12AOC，同理EOC=12BOC，EOF=EO
69、C-COF=12BOC-12AOC即EOF=12-12【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，分类讨论的思想，正确理解角平分线的定义是关键【变式10-1】（2022广东正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧已知AOB=100，射线OE，OF分别是AOC和COB的角平分线(1)如图1，若射线OC在AOB的内部，且AOC=30，求EOF的度数；(2)如图2，若射线OC在AOB的内部绕点O旋转，则EOF的度数_；(3)若射线OC在AOB的外部绕点O旋转（旋转中AOC，BOC均指小于180的角），其余条件不变，请借助图3探究EOF的大小，请直接写出E
70、OF的度数（不写探究过程）【答案】(1)50(2)50(3)50或130【分析】（1）先根据角平分线的定义可得COE=12AOC=15，再根据角的和差、角平分线的定义可得COF=12COB=35，然后根据EOF=COE+COF即可得；（2）先根据角的和差可得AOC+COB=100，再根据角平分线的定义可得COE=12AOC,COF=12COB，然后根据EOF=COE+COF即可得；（3）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得COE=12AOC,COF=12COB，再分射线OC在AOD的内部，射线OC在DOM的内部，射线OC在BOM的内部三种情况，分别根据角的和差即可得（1）解： OE是AOC
71、的平分线，AOC=30，COE=12AOC=15，AOB=100，COB=AOB-AOC=70，OF是COB的平分线，COF=12COB=35，EOF=COE+COF=15+35=50；（2）AOB=100，AOC+COB=100，OE是AOC的平分线，OF是COB的平分线，COE=12AOC,COF=12COB，EOF=COE+COF=12AOC+COB=50故答案为：50（3）OE是AOC的平分线，OF是COB的平分线，COE=12AOC,COF=12COB，由题意，分以下三种情况：如图，延长BO至点D，当射线OC在AOD的内部时，AOB=100，COB-AOC=100，EOF=COF-C
72、OE=12COB-AOC=50；如图，延长BO至点D，延长AO至点M，当射线OC在DOM的内部时，AOB=100，COB+AOC=360-AOB=260，EOF=COF+COE=12COB+AOC=130；如图，延长AO至点M，当射线OC在BOM的内部时，AOB=100，AOC-COB=100，EOF=COE-COF=12AOC-COB=50；综上，EOF的度数为50或130【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键【变式10-2】（2022浙江宁波七年级期末）【定义】如图1，OM平分AOB，则称射线OB,OA关于OM对称(1)【理解题意
73、】如图1，射线OB,OA关于OM对称且AOB=45，则AOM=_度；(2)【应用实际】 如图 2，若AOB=45,OP在AOB内部，OP,OP1关于OB对称， OP,OP2关于OA对称， 求P1OP2的度数；(3)如图3, 若AOB=45,OP在AOB外部，且0AOP45,OP,OP1关于OB对称，OP,OP2关于OA对称，求P1OP2的度数；(4)【拓展提升】 如图4， 若AOB=45,OP,OP1关于AOB的OB边对称， AOP1=4BOP1，求AOP （直接写出答案）【答案】(1)22.5(2)P1OP2=90(3)P1OP2=90(4)AOP=30或54【分析】（1）根据轴对称的性质即
74、可得到结论；（2）根据OP和OP1关于OB对称，得到POP12BOP，根据OP和OP2关于OA对称，得到POP22AOP，根据角的和差即可得到结论；（3）根据OP和OP1关于OB对称，得到POP12BOP，根据OP和OP2关于OA对称，求得POP22AOP，根据角的和差即可得到结论；（4）OP在AOB内部，如图4，当OP在AOB外部，根据轴对称的性质即可得到结论(1)射线OB，OA关于OM对称且AOB45，AOM12AOB124522.5，故答案为：22.5；(2)OP和OP1关于OB对称，POP1=2BOP，又OP和OP2关于OA对称，POP2=2AOP，P1OP2=POP1+POP2，P1
75、OP2=2BOP+2AOP=2AOB=90；(3)OP和OP1关于OB对称，POP1=2BOP，又OP和OP2关于OA对称，POP2=2AOP，P1OP2=POP1POP2，P1OP2=2BOP2AOP=2AOB=90，(4)OP在AOB内部，如图4，OP，OP1关于OB对称，BOPBOP1，AOP14BOP1，AOB3BOP145，BOP115，BOP1BOP15，AOP30，当OP在AOB外部，AOP14BOP1，射线OP在射线OB的上面，如图5，OP，OP1关于AOB的OB边对称，BOPBOP1，AOP14BOP1，AOBBOP1AOP15BOP145，BOP19，BOP1BOP9，AO
76、P45954综上所述，AOP30或54【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键【变式10-3】（2022湖北黄石七年级期末）将一副直角三角板ABC，AED，按如图1放置，其中B与E重合，BAC=45，BAD=30(1)如图1，点F在线段CA的延长线上，求FAD的度数；(2)将三角板AED从图1位置开始绕A点逆时针旋转，AM，AN分别为BAE，CAD的角平分线如图2，当AE旋转至BAC的内部时，求MAN的度数；当AE旋转至BAC的外部时，直接写出MAN的度数【答案】(1)165；(2)37.5；37.5或142.5【解析】(1)解：如图1BAC=45，BAD=3
77、0，DAC=45-30=15，FAD=180-15=165(2)解：如图2AM，AN分别为BAE，CAD的角平分线，MAE=12BAE，NAC=12DAC，MAN=MAE+NAC+CAE=12(BAE+DAC)+CAE=12(BAC+DAE-2CAE)+CAE=12(BAC+DAE)=1275=37.5；如图3，当AE旋转至BAC的外部，且BAE180时，AM，AN分别为BAE，CAD的角平分线，MAE=12BAE，NAC=12DAC，MAN=MAE+NAC-CAE=12(BAE+DAC)-CAE=12(BAC+DAE+2CAE)-CAE=12(BAC+DAE)=1275=37.5；如图4，当
78、AE旋转至BAC的外部，且180BAE210时，AM，AN分别为BAE，CAD的角平分线，MAE=12BAE，NAD=12DAC，MAN=MAE+NAD-DAE=12(BAE+DAC)-DAE=12(BAD+CAE+2DAE)-DAE=12(BAD+DAE)=12360-30-45=142.5；如图5，当AE旋转至BAC的外部，且BAE210时，AM，AN分别为BAE，CAD的角平分线，MAB=12BAE，NAD=12DAC，MAN=MAB+NAD-DAB=12(BAE+DAC)-DAB=12(BAC+DAE+2DAB)-DAB=12(BAC+DAE)=1275=37.5综上所述：MAN的值为
79、37.5或142.5【点睛】本题考查了含角平分线的角的计算，难度较大，理解题意，根据题意画出图形并准确进行分类讨论是解题关键【考点11 线段、角的规律问题】【例11】（2022重庆忠县七年级期末）如图中AOB60，图中AOC1C1OB，图中AOC1C1OC2C2OB，图中AOC1C1OC2C2OC3C3OB，按此规律排列下去，前个图形中的AOC1之和为()A60B67C77D87【答案】C【分析】根据前三个图形可知图中OC1为2等分线，图中OC1为3等分线，图中OC1为4等分线，依次类推，可得第个图中OC1为5等分线，计算即可得出答案【详解】解：根据题意可得，图中，AOC1=12AOB=126
80、0=30，图中，AOC1=13AOB=1360=20，图中，AOC1=14AOB=1460=15，依次类推，第个图中，AOC1=15AOB=1560=12，前个图形中的AOC1之和为30+20+15+12=77故选：C【点睛】本题主要考查了角的计算，根据题意找出角度变化规律进行计算是解决本题的关键【变式11-1】（2022黑龙江大庆中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有_个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：12n(n-1)【详解】解：2条直线相交有1个交点；3
81、条直线相交最多有1+2=3=1232个交点；4条直线相交最多有1+2+3=6=1243个交点；5条直线相交最多有1+2+3+4=10=1254个交点；20条直线相交最多有122019=190故答案为：190【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有12n(n-1)【变式11-2】（2022全国七年级）如图，已知MON，在MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在MON内画三条射线时，则图中共有10个角；按照此规律，在MON内画20条射线时，则图中角的个数是（）A190B380C231D462【答案】C【分
82、析】根据画一条、两条、三条射线时可以得出的角的个数整理出当画n条射线可以得出的角的个数，然后进一步求解即可.【详解】在MON内画一条射线时，则图中共有1+2=3 个角；在MON内画两条射线时，则图中共有1+2+3=6个角；在MON内画三条射线时，则图中共有1+2+3+4=10个角；以此类推，所以画n条射线时，则图中共有1+2+3+(n+1)=n+1n+22个角，当在MON内画20条射线时，图中有的角的个数为：20+120+22=231，故选：C.【点睛】本题主要考查了角的概念，熟练掌握相关性质是解题关键.【变式11-3】（2022云南昆明七年级期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点
83、P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，An（n3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（）A4-122020B6-122019C8-122019D6-122020【答案】D【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决【详解】解：由题意可得，点A1表示的数为8124，点A2表示的数为812122，点A3表示的数为81212121，
84、点An表示的数为8（12）n，A1A的中点表示的数为（8+4）26，2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：68（12）20236（12）20206122020，故选：D【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点【考点12 角度的翻折问题】【例12】（2022山东德州七年级期末）如图，一纸片沿直线AB折成的V字形图案，已知图中1=62，则2的度数=_【答案】56【详解】分析：由折叠的性质和平角的定义得出21+2=180，即可求出结果详解：根据题意得：21+2=180，2=180-262=56，故答案为56点睛：本题考查了折叠的性质和平角的定义；熟练掌握
85、折叠的性质是解决问题的关键【变式12-1】（2022广西上思县教育科学研究所七年级期末）下图所示的图形，长方形纸片沿AE折叠后，点与重合，且已知CED=50.则AED的是( ) A60B50C75D65【答案】D【详解】试题分析：由折叠的性质可得DEA=AED，再结合平角的定义即可求得结果.由折叠的性质可得DEA=AEDAED=（180-CED）2=65故选D.考点：折叠的性质，平角的定义点评：解题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.【变式12-2】（2022福建省福州第一中学七年级期末）在
86、福州一中初中部第十二届手工大赛中，初一年段的小红同学用长方形纸带折叠出逼真的动物造型其中有三个步骤如下：如图，已知长方形纸带，DEF=20，将纸带EF折叠成图案，再沿BF折叠成图案，则中的CFE的度数是( )A20B120C90D150【答案】B【分析】由题意知DEF=EFB=20，图2中GFC=140，图3中的CFE=GFC-EFG【详解】ADBC，DEF=EFB=20，EFC=180-20=160，在图2中GFC=EFC -EFG=160-20=140，在图3中CFE=GFC-EFG=140-20=120故选：B【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对
87、称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变【变式12-3】（2022江西南昌七年级期末）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点N在边AD上，将NAE沿EN翻折到NAE，射线EA与CD交于点F.点M在边BC上，将MBE沿EM翻折到MBE，射线EB与CD交于点G.（1）如图1，若点F与点G重合，直接写出以E为顶点的两对相等的角，并求MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且AEN=FEG+10，BEM=FEG+20，求FEG与MEN的度数；（3）若点G在点F的左侧，且FEG=a，求MEN的度数（用含a的代数式表示）.【答案】（1）AEN=NEF，BEM=FEM；MEN=90；（
88、2）FEG=24，MEN=102；（3）MEN=90-12【分析】（1）根据折叠的性质，平角的定义，角的和差定义计算即可；（2）根据折叠的性质以及平角的定义，可得出AEN +BEM=12（180-FEG），再结合所给的两个等式可得出FEG的度数；根据MEN=180-（AEN+BEM），求出AEN+BEM即可解决问题；（3）先画出图形，根据（2）中的思路即可分析出MEN与FEG之间的等量关系，即可得出结果【详解】解：（1）根据折叠的性质可得，以E为顶点的两对相等的角分别为： AEN=NEF，BEM=FEMNEF=12AEF，MEF=12BEF，MEN=NEF+MEF=12AEF+12BEF=12
89、（AEF+BEF）=12AEB，AEB=180，MEN=12180=90；（2）由（1）可得AEN=12AEF，BEM=12BEG，AEN +BEM =12AEF+12BEG=12（AEF+BEG）=12（AEB-FEG）AEN +BEM=12（180-FEG），又AEN=FEG+10，BEM=FEG+20，两式相加得AEN+BEM=2FEG+30，由可得，12（180-FEG）=2FEG+30，解得FEG=24，AEN+BEM =12（180-24）=78，MEN=180-（AEN+BEM） =180-78=102故FEG的度数为24，MEN的度数为102.（3）如图3，若点G在点F的左侧，
90、FEG=根据（2）知，MEN=180-（AEN+BEM）=180-12（AEF+BEG）=180-12(180+FEG)=90-12FEGMEN=90-12【点睛】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是掌握基本概念和性质，属于中考常考题型【考点13 两块三角板旋转问题】【例13】（2022河北泊头市教师发展中心七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，ACD=ECB=90若ECD=35，则ACB=_；若ACB=140，则ECD=_；猜想ACB与ECD的大小有何特殊关系，并说明理由；(2)如图2，若是两个同样
91、的直角三角尺60锐角的顶，点A重合在一起，ACD=AFG=90，则GAC与DAF的大小又有何关系，请说明理由；(3)已知AOB=，COD=（、都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出AOD与BOC的大小关系：_【答案】(1)145，40；ACB+ECD=180，理由见解析(2)GAC+DAF=120，理由见解析(3)AOD+BOC=+【分析】(1) 先计算ACE的大小，再根据ACB=ACE+BCE计算即可；先根ACB=ACE+BCE计算ACE的大小，再根据DCE=ACD-ACE计算即可；根据ACB=ACE+BCE，DCE=ACD-ACE，可得ACB+DCE =BCE+ACD；
92、（2）根据GAC=CAD+GAD，DAF =FAG-GAD，可得GAC+DAF =CAD+FAG（3）根据AOD=AOB+BOD，BOC=COD-BOD，计算AOD+BOC即可（1）解：ACD=ECB=90，ECD=35ACE=ACD- ECD=3590-3555，ACB=ACE+ECB=90+55145，故答案为：145；ACB=ACE+BCE，ACB140，ACE=140-90=50，DCE=ACD-ACE，DCE=90-50=40，故答案为：50ACB与DCE数量关系为ACB+DCE=180，理由如下：ACB=ACE+BCE，DCE=ACD-ACE，ACB+DCE=ACE+BCE+ACD
93、-ACE=BCE+ACD=180（2）GAC与DAF的数量关系，GAC+DAF =120，理由如下：GAC=CAD+GAD，DAF =FAG-GAD，GAC+DAF=CAD+GAD +FAG-GAD=CAD+FAG=60+60=120（3）AOD+BOC=+.理由如下：AOD=AOB+BOD，BOC=COD-BOD，AOB=，COD（，都是锐角），AOD+BOC=AOB+BOD+COD-BOD，=AOB+COD+【点睛】本题考查了角和差关系，一般与特殊的思想，熟练掌握角的运算，理解角的和与差的关系是解题的关键【变式13-1】（2022湖南长沙七年级期末）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊的角
94、，在135，120，75，50，35，15，四个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是_；（填序号）（2）在图中，写出一组互为补角的两角为_；（3）如图，先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角AOB的顶点与60角COD的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上（图），固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度（如图），当OB平分EOD时，求旋转角度【答案】（1）；（2）AOB与BOC，AOD与COD，BAE与BAO，DCO与DCF（写出一组即可）；（3）=15【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15的倍数的角都
95、可以画出来；（2）根据补角的定义解答即可；（3）根据已知条件得到EOD=180-COD=120，根据角平分线的定义得到EOB=12EOD=60，进一步得到结论【详解】解：（1）135=90+45，120=90+30，75=45+30，15=45-3050和35不是15的倍数，不能写成90，60，45，30的和或差，故画不出；故答案为：（2）根据平角的定义可得：AOB+BOC=180，AOD+DOC=180，BAE+BAO=180，DCO+DCF=180故答案为：AOB与BOC，AOD与COD，BAE与BAO，DCO与DCF（写出一组即可）（3）COD=60，EOD=180-COD=120，OB
96、平分EOD，EOB=12EOD=60，AOB=45，=EOB-AOB=15【点睛】本题考查了角的和差计算和角平分线的定义，熟练掌握角的和差及角平分线的定义是解题的关键【变式13-2】（2022河南南阳七年级期末）（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（A60，D30，BE45）的直角顶点C叠放在一起若DCE25，则ACB；若ACB130，则DCE猜想ACB与DCE有何数量关系，并说明理由（2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60角的顶点A重合在一起，则DAB与CAE有何数量关系，请说明理由（3）已知AOB=，COD（，都是锐角），如图3所示，AOD与BOC有何数量关系，请直接写出结果，不说明理由
97、【答案】（1）155，50；ACB+DCE=180，见解析；（2）DAB+CAE=120，见解析；（3）AOD+BOC=+【分析】(1) 先计算ACE的大小，再根据ACB=ACE+BCE计算即可；先根据ACB=ACE+BCE计算ACE的大小，再根据DCE=ACD-ACE计算即可根据ACB=ACE+BCE，DCE=ACD-ACE，计算ACB+DCE =ACE+BCE+ACD-ACE=BCE+ACD（2）根据DAB=BAE+DAE，CAE=CAD-DAE，计算DAB+CAE =BAE+DAE +CAD-DAE =BAE+CAD（3）根据AOD=AOB+BOD，BOC=COD-BOD，计算AOD+B
98、OC即可【详解】解：(1) A60，D30，BE45，ACD90，BCE90，ACE=ACD- DCE90-2565，ACB=ACE+BCE=90+65155，故答案为：155；ACB=ACE+BCE，ACB130，ACE=130-90=40，DCE=ACD-ACE，DCE=90-40=50，故答案为：50ACB与DCE数量关系为ACB+DCE=BCE+ACD=90+90=180，理由如下：ACB=ACE+BCE，DCE=ACD-ACE，ACB+DCE =ACE+BCE+ACD-ACE=BCE+ACD=180（2）DAB与CAE的数量关系，DAB+CAE=BAE+CAD =60+60=120，
99、理由如下：DAB=BAE+DAE，CAE=CAD-DAE，DAB+CAE =BAE+DAE +CAD-DAE =BAE+CAD=60+60=120（3）AOD+BOC=+.理由如下：AOD=AOB+BOD，BOC=COD-BOD，AOB=，COD（，都是锐角），AOD+BOC=AOB+BOD+COD-BOD，=AOB+COD+【点睛】本题考查了两个角和的计算，一般与特殊的思想，熟练掌握角的运算，理解角的和与差的意义是解题的关键【变式13-3】（2022湖北随州七年级期末）如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO、BO在线段MN上，COD=AOB=90(1)将
100、图1中的三角板COD绕着点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若AOC=35，则BOD=_；当AOC90时猜想AOC与BOD的数量关系，并说明理由(2)将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒时OD所在的直线平分AOB？【答案】(1)145，AOC+BOD=180，见解析(2)3秒或15秒【分析】（1）根据余角的定义得AOD的度数，再利用角的和差关系可得BOD的度数；（2）分OD平分AOB和DO的延长线平分AOB，即可解决问题(1)解：COD=90，AOC=35，AOD=COD-AOC=55，AOB=90，BOD=AOB+AOD=145；
101、AOC+BOD=180，理由如下：BOD=AOD+AOC+BOC，AOC+BOD=AOC+AOD+AOC+BOC=COD+AOB=90+90=180，AOC+BOD=180；故答案为：145；(2)解：根据题意可得，当旋转45或225时，OD所在的直线平分AOB，旋转时间为：4515=3（秒），22515=15（秒）答：3秒或15秒后OD所在的直线平分AOB【点睛】本题主要考查了余角、补角的定义，角平分线的定义等知识，熟练掌握角的和差关系进行角的计算是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想【考点14 射线旋转与角度的关系】【例14】（2022湖北武汉七年级期末）已知COD在AOB的内部，AO
102、B150，COD20(1)如图1，求AOD+BOC的大小；(2)如图2，OM平分BOC，ON平分AOD，求MON的大小(3)如图3，若AOC30，射线OC绕点O以每秒10的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30的速度绕点O顺时针旋转设射线OD，OC运动的时间是t秒（0t22），当COD120时，直接写出t的值【答案】(1)AOD+BOC=170(2)MON的大小为65(3)t的值为5或11或1689或1959【分析】（1）AOD+BOC可化为AOB+COD，计算即可；（2）根据角平分线的定义得到AON=12AOD，BOM=12BOC，进而
103、得到MON=AOB-12(AOD+BOC)，计算可得；（3）根据射线的运动可知，需要分四种情况：当OC未到达OB时，分两种情况；当OC到达OB后返回时，分两种情况；分别画出图形列方程解答(1)解：AOB150，COD20AOD+BOC=AOB+COD=170；(2)OM平分BOC，ON平分AOD，AON=12AOD，BOM=12BOC，MON=AOB-AON-BOM=AOB-12(AOD+BOC)=150-85=65；(3)当OC未到达OB时，分两种情况：如图：此时30t+20-10t=120，解得t=5；如图：360-30t-20+10t=120，解得t=11；当OC到达OB后返回时，分两种
104、情况：如图：此时30t-360-（300-15t-20）=120，解得t=1689；如图：此时（720-30t）-20+（300-15t）=120，解得t=1959，综上，t的值为5或11或1689或1959【点睛】此题考查了角的旋转，角平分线的计算，解题的关键是掌握相关概念，能用含t的代数式表示旋转角的度数【变式14-1】（2022新疆乌鲁木齐七年级期末）图（1）所示，点O是直线AB上一点，COD是直角，OE平分BOC(1)若AOC30，求DOE的度数；(2)将图（1）中的COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究AOC与DOE的度数之间的关系，并说明理由；(3)将图（1
105、）中的COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出AOC与DOE的度数之间的关系【答案】(1)15(2)AOC=2DOE(3)AOC=360-2DOE【分析】（1）由已知可求出BOC=180-AOC=150，再由COD是直角，OE平分BOC求出DOE的度数；（2）由COD是直角，OE平分BOC可得出COE=BOE=90-DOE，则得AOC=180-BOC=180-2COE=180-2(90-DOE)，从而得出AOC和DOE的度数之间的关系；（3）根据（2）的解题思路，即可解答(1)解：由已知得AOC30，则BOC=180-AOC=150，又COD是直角，OE平分BOC，DOE=COD-
106、COE=COD-12BOC=90-12150=15，故答案为：15；(2)解：AOC=2DOE；理由：COD是直角，OE平分BOC，COE=BOE=90-DOE，则得AOC=180-BOC=180-2COE=180-2(90-DOE)=2DOE，所以得：AOC=2DOE；(3)解：AOC=360-2DOE；理由：OE平分BOC，BOC=2COE，则得AOC=180-BOC=180-2COE=180-2(DOE-90)=360-2DOE，所以得：AOC=360-2DOE【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质、几何图形中角的计算，解题的关键是正确运用有关性质准确计算角的和差倍分【变式14-2】（
107、2022湖北武汉七年级期末）如图1，OB、OC是AOD内部两条射线(1)若AOD和BOC互为补角，且AOD2BOC求AOD及BOC的度数；(2)如图2，若AOD2BOC，在AOD的外部分别作COD、AOB的余角DOM及AON，请写出DOM、AON、BOC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，已知AOD120，射线OE平分AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6逆时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同时停止运动若运动t（t0）秒后，OE恰好是BOC的四等分线，则此时t的值为 （直接写出答案）【答案】(1)60，120(2)
108、DOM+AON+BOC=180(3)t=12013或t=403或t=84013【分析】(1)设AOD2BOC=2x，根据AOD+BOC=180，列方程 求 解 即 可(2)画出图形，根据AOD2BOC，则COD+BOA=BOC，根据互余性质，列方程 求 解 即 可(3)画出图形，分OB、OC都没有转过OE线，OB、OC都转过OE线和OB转过一周后三种情况求解（1）设AOD2BOC=2x，AOD+BOC=180，2x+x=180，解得x=60，2x=120，故AOD=120，BOC=60（2）画图如下：作OMOC，垂足为O，ONOB，垂足为O，DOM=90-COD ，AON=90-BOA，AOD
109、2BOC，COD+BOA=BOC，90-DOM+90-AON=BOC，DOM+AON+BOC=180（3）如图1，当OB、OC都没有转过OE线时，AOD120，射线OE平分AOD，根据题意，得 AOB6t，COD5t，AOE60，DOE60，BOE=60-6tCOE=60-5t，BOE=60-6t，BOC=120-6t-5t=120-11t，OE恰好是BOC的四等分线，BOC=4BOE，120-11t=4(60-6t)，解得t=12013；如图2，当OB、OC都转过OE线时，AOD120，射线OE平分AOD，根据题意，得 AOB6t，COD5t，AOE60，DOE60，COE=5t-60BOE
110、=6t-60，BOC=120-(120-6t)-( 120-5t)= 11t -120，OE恰好是BOC的四等分线，BOC=4COE，11t -120=4(5t-60)，解得t=403；如图3，当OB转过一周后，此时，COE=360-5t+60=420-5t，BOE=60-(6t-360)= 420-6t，BOC=COE +BOE =840-11t，840-11t =4(420-6t)，解得t=84013；综上所述，当t=12013或t=403或t=84013时，符合题意【点睛】本题考查了角的计算，互余的作图，分类计算，角的平分线，熟练掌握互余的作图，解一元一次方程是解题的关键【变式4-3】（
111、2022湖南岳阳七年级期末）(1) 特例感知：如图，已知线段MN30cm，AB2cm，线段AB在线段MN上运动(点A不超过点M，点B不超过点N)，点C和点D分别是AM，BN的中点 若AM16cm，则CDcm； 线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由(2) 知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图，已知AOB在MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分AOM和BON 若MON150，AOB30，求COD=_度 请你猜想AOB，COD和MON三个角有怎样的数量关系请说明理由(3) 类比探究：如图，AOB在MON内部转动，若MON15
112、0，AOB30，MOCAOC=NODBOD=k，用含有k的式子表示COD的度数 (直接写出计算结果)【答案】（1）16，不变，16 cm，理由见解析；（2）90，COD=12（MON+AOB），理由见解析；（3）120k+1+30【分析】（1）欲求CD，需求AC+AB+BD已知CD，需求AC+BD点C和点D分别是AM，BN的中点，得AC= 12AM，BD=12BN，那么AC+BD=12AM+12BN=12（AM+BN），进而解决此题 与同理 （2）欲求COD，需求AOC+AOB+BOD已知AOB，需求AOC+BOD由OC和OD分别平分AOM和BON，得AOC=12AOM，BOD=12BON，进
113、而解决此题 与同理 （3）由MOCAOC=NODBOD=k可得AOM=（1+k）AOC，BON=（1+k）BOD，所以AOC+BOD=120k+1，根据COD=AOC+AOB+BOD可得结论【详解】解：（1）MN=30cm，AB=2cm，AM=16cm， BN=MN-AB-AM=12（cm）， 点C和点D分别是AM，BN的中点， AC= 12AM=8cm，BD=12BN=6cm AC+BD=14（cm） CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm） 故答案为：16 不变，理由如下： 点C和点D分别是AM，BN的中点， AC= 12AM，BD=12BN，AC+BD=12AM+12BN=12（A
114、M+BN） 又MN=30cm，AB=2cm， AM+BN=MN-AB=30-2=28（cm） AC+BD=12（AM+BN）=14（cm） CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm） （2）OC和OD分别平分AOM和BON， AOC=12AOM，BOD=12BON AOC+BOD=12AOM+12BON=12（AOM+BON） 又MON=150，AOB=30， AOM+BON=MON-AOB=120 AOC+BOD=60 COD=AOC+BOD+AOB=60+30=90 故答案为：90 COD=12（MON+AOB）理由如下： OC和OD分别平分AOM和BON， AOC=12AOM，BOD
115、=12BON AOC+BOD=12AOM+12BON=12（AOM+BON） COD=AOC+BOD+AOB =12（AOM+BON）+AOB =12（MON-AOB）+AOB =12（MON+AOB） （3）MON=150，AOB=30， AOM+BON=120， MOCAOC=NODBOD=k， MOC=kAOC，NOD=kBOD， AOM=MOC+AOC=（1+k）AOC， BON=NOD+BOD=（1+k）BOD， AOC+BOD=120k+1， COD=AOC+BOD+AOB= 120k+1+30【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线
116、段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键【考点15 余角、补角、对顶角的性质】【例15】（2022山东昌乐北大公学学校七年级阶段练习）已知：点O是直线AB上一点，过点O分别画射线OC，OE，使得OCOE（1）如图，OD平分AOC若BOC=40，求DOE的度数请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）解：点O是直线AB上一点，AOC+BOC=180BOC=40，AOC=140OD平分AOCCOD=12AOC（ ）COD= OCOE，COE=90（ ）DOE= + ，DOE= （2）在平面内有一点D，满足AOC=2AOD探究：当BOC=(0180)时，是否存在的值，使得COD=BOE若存在，请直
117、接写出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）角平分线的定义；70；垂直的定义；DOC；EOC；160；（2）存在，的值为120或144或72【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直定义，结合所给解题过程进行补充即可；（2）分三种情况讨论：点D，C，E在AB上方时，当点D在AB的下方，C，E在AB上方时，如图，当D在AB上方，E，C在AB下方时，用含有的式子表示出COD和BOE，由COD=BOE列式求解即可【详解】解：（1）点O是直线AB上一点，AOC+BOC=180BOC=40，AOC=140OD平分AOCCOD=12AOC（ 角平分线的定义 ）COD= 70 OCOE，COE=90（ 垂直的
118、定义 ）DOE= DOC + EOC ，DOE= 160 故答案为：角平分线定义；70；垂直的定义；DOC；EOC；160；（2）存在，=120 或144或72 点D，C，E在AB上方时，如图，BOC=，COE=90 AOC=180-,BOE=-90 AOC=2AODCOD=AOD=12(180-) COD=BOE12(180-)=-90 =120当点D在AB的下方，C，E在AB上方时，如图，BOC=,BOE=-90 AOC=180-BOC=180- AOC=2AOD AOD=12AOC=12(180-) COD=AOC+AOD=180-+12(180-) BOE=COD 180-+12(18
119、0-)=-90=144 如图，当D在AB上方，E，C在AB下方时，同理可得：AOD=12AOC=12(180-)=90-12, BOE=90+,COD=270-32, COD=BOE，270-32=90+, 解得：=72. 综上，的值为120或144或72【点睛】本题主要考查角平分线和补角，熟练掌握角平分线的定义和补角的定义是解题的关键【变式15-1】（2022广西贺州七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC(1)AOC的对顶角为 ，与AOC的相邻的补角为 ；(2)若EOC=70，求BOD的度数【答案】(1)BOD，BOC或AOD(2)35【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定
120、义，结合图形确定即可；（2）根据角平分线的意义和对顶角的性质，即可得出答案（1）解：根据对顶角、邻补角的定义可得：AOC的对顶角为BOD，AOC的邻补角为BOC或AOD故答案为：BOD，BOC或AOD；（2）OA平分EOC，AOE=AOC，又EOC=70，AOE=AOC=12EOC=35，AOC=BOD，BOD=35【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角、角平分线定义和性质等知识，通过图形具体理解这些角的意义是正确计算的关键【变式15-2】（2022湖南株洲县教学研究室七年级期末）直线AB，CD相交于点O，OFCD于点O，作射线OE，且OC在AOE的内部(1)当点E，F在直线AB的同侧；如图1，
121、若BOD=15，BOE=120，求EOF的度数；如图2，若OF平分BOE，请判断OC是否平分AOE，并说明理由；(2)若AOF=2COE，请直接写出BOE与AOC之间的数量关系【答案】(1)45；平分，理由见解析(2)3AOC+2BOE=270或AOC+2BOE=270【分析】（1）先利用角度的和差关系求得COE，再根据EOF=90-COE，可得EOF的度数；先根据角平分线定义EOF=FOB，再结合余角定义和对顶角相等可得结论；（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧，当点E，F在直线AB的异侧；设COE=，再分别表示AOC、BOE，再消去即可（1）解：OFCD于点O，COF=90，BO
122、D=15，BOE=120，COE=180-BOE-BOD=180-120-15=45，EOF=COF-COE=90-45=45，EOF的度数为45；平分理由如下：OF平分BOE，EOF=FOB=12EOB，OFCD，COF=90，COE+EOF=FOB+BOD=90，COE=BOD，AOC=BOD，COE=AOC，OC平分AOE（2）如图，当点E，F在直线AB的同侧，设COE=，AOF=2COE，AOF=2COE=2，OFCD，COF=90，AOC=AOF-COF=2-90，BOE=180-AOC-COE=180-2-90-=270-3，32得，3AOC+2BOE=270；如图，当点E，F在直
123、线AB的异侧；设COE=，AOF=2COE，AOF=2COE=2，OFCD，COF=90，AOC=COF-AOF=90-2，BOE=180-AOC-COE=180-90-2-=90+，2得，AOC+2BOE=270综上所述，BOE与AOC之间的数量关系：3AOC+2BOE=270或AOC+2BOE=270【点睛】本题考查了角平分线定义，对顶角相等，垂直的定义，平角的定义，等式的恒等变形等知识，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合分类讨论是解题的关键【变式15-3】（2022河北石家庄七年级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使BOC70，将一个直角三角板DOE的直角（DOE90）顶点放
124、在点O处(1)将直角三角板DOE的一边OD放在射线OB止，如图1所示，则COE的度数为_，其补角的度数为_；(2)将直角三角板DOE绕点O转动到如图2所示的位置，若OC恰好平分BOE，求COD的度数；(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在BOC的内部，试猜想BOD和COE之间的数量关系，并说明理由；(4)将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在BOC的外部，且BOD80，请直接写出COE的度数【答案】(1)20；160(2)20(3)COE-BOD=20，理由见解析(4)100或60【分析】（1）根据图形得出COE=DOE-BOC，代入求出COE的度数，再利用补角的定义可求解；
125、（2）根据角平分线定义求出BOE=140，代入BOD=BOC-DOE，再利用COD=BOC-BOD即可求解；（3）根据图形得出BOD+COD=BOC=70，COE+COD=DOE=90，相减即可求出答案；（4）将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD在BOC的外部，在备用图中画出三角板DOE的四个位置，即可求出COE的度数（1）解：若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则COE=DOE-BOC=90-70=20其补角为180-20=160，故答案为：20；160；（2）解：OC平分BOE，BOC=70，EOB=2BOC=140，DOE=90，BOD=BOE-DOE=50，BOC=70，CO
126、D=BOC-BOD=20；（3）解：COE-BOD=20，理由是：BOD+COD=BOC=70，COE+COD=DOE=90，（COE+COD）-（BOD+COD）=COE+COD-BOD-COD=COE-BOD=90-70=20，即COE-BOD=20；（4）解：如图4，图4BOC=70，BOD=80，COD=80-70=10，COE=COD+DOE=90+10=100；如图5，图5BOD=80，BOC=70，COD=BOD+BOC=80+70=150，DOE=90，COE=COD-DOE=150-90=60，综上，COE的度数为100或60【点睛】本题考查了作图-复杂作图、余角和补角、旋转
127、作图，解题的关键是准确画出旋转后的三角板的位置【考点16 平行、垂直】【例16】（2022山东淄博期末）如图，点P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD（点A，B，C，D在直线l上）4条线段，其中PCl于点C这4条线段中，长度最短的是（）APABPBCPCDPD【答案】C【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答【详解】直线外一点P与直线上各点连接的所有线段中，最短的是PC，依据是垂线段最短故选：C【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键【变式16-1】（2022山东烟台期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是
128、()A直线PQ可能与直线AB垂直B直线PQ可能与直线AB平行C过点P的直线一定能与直线AB相交D过点Q只能画出一条直线与AB平行【答案】C【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答【详解】PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选C【点睛】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键【变式16-2】（2022江苏扬州七年级期末）如图，方格纸中有一条直线AB和一格点P(1)过点P画直线PMAB；(2)在直线AB上找一点N，使得PN最小【答案】(1)作图见解析(2
129、)作图见解析【分析】（1）由平行线性质，用直尺与三角板画平行线（2）由基本事实：直线外一点到直线的距离垂线段最短，作PNAB于点N（1）图中的PM即为所求（2）图中PNAB交 AB于点N，此时PN最小【点睛】本题考查了平行线的性质及垂线段最短的基本事实，掌握性质与基本事实是解题关键【变式16-3】（2022江苏泰州七年级期末）如图，在66的正方形网格中，点P是AOB的边OB上的一点(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C；(3)线段PH的长度是点P到直线_的距离，线段_的长度是点C到直线OB的距离；(4)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_（用“”号连接）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AO，CP(4)PHPCOC【分析】（1）根据垂线的定义作图即可；（2）根据垂线的定义作图即可；（3）根据点到直线的距离判断即可；（4）根据垂线段最短即可判断（1）如图，PH即为所求；（2）如图，PC即为所求；（3）线段PH的长度是点P到直线AO的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离；故答案为：AO，CP；（4）由图可知，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PHPCOC；故答案为：PHPCOC【点睛】本题考查垂线的作图及点到直线的距离、线段的长度比较，熟练掌握知识点是解题的关键
