1、7.4二项分布与超几何分布 （基础知识+基本题型）知识点一 独立重复试验1独立重复试验的概念一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验2独立重复试验的特征(1)每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；(2)各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立提示(1)“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响，也就是说，各次试验相互独立，因而对于次独立重复试验的结果，有(2)独立重复试验每次试验的结果只有两种：要么发生，要么不发生，并且在任何一次试验中，某事件发生的概率是一样的知识点二 二项分布1二项分布的概念一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次
2、试验中事件发生的概率为，则，=0，1，2，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率2二项分布各字母的意义在中，“”指的是独立重复试验的次数，“”指的是在每次试验中事件发生的概率3二项分布的判断判断一个随机变量是否服从二项分布，关键看两点：一是对立性，即在一次试验中，事件要么发生，要么不发生；二是重复性，即试验是否独立重复地进行了次提示(1)“”的含义：“”表示在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率(2)因为刚好是的展开式中的第(+1)项，与二项式展开定理有关，所以称随机变量的概率分布为二项分布(3)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即=1的二项分布(4)二项
3、分布概率公式的推导：在次独立重复试验中，事件发生了次，则在剩余的(-)次试验中，事件未发生，每次试验中事件发生的概率为，则其不发生的概率为1-由于各次试验的结果是相互独立的，且事件发生的次可以是次独立重复试验中的任意次，故在次独立重复试验中事件发生次的概率为，=0，1，2，知识点三 求次试验中事件发生次的概率的步骤(1)判断是否为独立重复试验，其依据：各次试验条件是否相同；某事件在各次试验中发生的概率是否相同(2)求：求出在一次试验中事件发生的概率(3)求，：确定，的值，将其代入公式中进行计算提示(1)在次独立重复试验中，发生次的概率为，这次是次中的任意次，若是指定的次，则概率为(2)在次独立
4、重复试验中，要注意“至少出现次”“至多出现次”“恰好出现次”的区别知识点四 二项分布的均值与方差若，则 D(X)=np(l-p）拓展二项分布的均值公式的证明：因为，所以所以因为，所以提示1二项分布的方差公式的推导中，多次运用了2 知识点五 超几何分布1.超几何分布的概念超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(Xk)，km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布注意点：(1)在超几
5、何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”(2)超几何分布的特点：不放回抽样；考察对象分两类；实质是古典概型2. 超几何分布的概率超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆3.超几何分布的分布列求超几何分布的分布列的步骤4. 超几何分布的均值求超几何分布均值的步骤(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率(3)利用均值公式求解5.二项分布与超几何分布的区别与联系不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二
6、项分布，求均值可利用公式代入计算考点一 独立重复试验的判断例1 判断下列试验是否为独立重复试验：(1)依次抛掷5枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人每次射击击中目标的概率是08，他连续射击了10次，其中7次击中；(3)袋中有质地、大小、形状完全相同的5个红球，3个白球和2个黑球，依次从中取出5个球，恰好取出4个红球分析：利用独立重复试验的特征进行判断解：(1)因为硬币的质地不同，所以“依次抛掷5枚质地不同的硬币”是做了5次条件不同的试验，不是独立重复试验(2)某人每次射击击中目标的概率是08，因此是独立重复试验(3)因为袋中有三种不同颜色的球，依次抽取，试验的结果会有变化，且每种颜色出现
7、的概率不同，所以不是独立重复试验总结：判断试验是否为独立重复试验，关键看三点：(1)各次试验的条件是否相同；(2)每次试验的结果是否只有两个，即某事件发生或不发生；(3)各次试验中某事件发生的概率是否相同考点二 独立重复试验中概率的求法例2 在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第1次命中只能使汽油流出，第2次命中才能引爆，假设每次射击是相互独立的，且命中的概率都是(1)求汽油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光未命中则停止射击，设射击次数为，求不小于4的概率解：(1)设5次射击中命中的次数为由题意可知，所以汽油罐被引爆的概率为(2)射击次
8、数不小于4，即“”意味着射击4次中，前3次有1次命中，第4次也命中；“=5”意味着前4次有1次命中，第5命中或不命中都停止射击，或前4次都未命中，第5次命中或不命中都停止射击所以，所以(1)运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为次独立重复试验，判断时可依据次独立重复试验的特征(2)题目中含有“至多”“至少”等字眼时，可以考虑从求其对立事件的概率的角度求解考点三 求二项分布的分布列例3 某射手每次射击击中目标的概率都是08，现在连续射击4次，求击中目标的次数的分布列解：在独立重复射击中，击中目标的次数服从二项分布，即由已知，得=4，=08，=0，1，2，3，4，所以，所
9、以的分布列为012340001600256015360409604096总结：解决这类问题时，先建立二项分布模型，确定，的值，再确定随机变量的可能取值，利用公式分别计算出随机变量取每一个值时的概率，最后写出分布列考点四 二项分布的综合应用问题例4 某小组有10台功率均为75 的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时工作12 ，问：正在工作的机床的总功率超过48 的可能性是多少？解：由题意，知每台机床正在工作的概率为设工作的机床台数为，所以工作机床台数服从二项分布，即，(=0，1，2，3，10)由于每台机床的功率均为75 ，根据题意，正在工作的机床的总功率超过48 ，故有
10、7台或7台以上的机床同时在工作因为，所以，即正在工作的机床的总功率超过48 的可能性约是000086根据题意，明确某一时刻正在工作的机床台数服从二项分布是解题关键一般地，如果个相互独立的试验具有相同的条件，在这个相同的条件下只有两种结果(和)，并且在这个相同的条件下某一结果(事件)发生的概率相同，则可以利用二项分布的相关概率公式进行求解需要注意的是这里的独立重复试验，并不仅仅局限于同一试验独立地“重复”次，像本例中的10台机床的运行情况，由于每台机床运行的条件相同且结果也相同，因此视为独立重复试验考点五 超几何分布例5.现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平
11、均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下(如：落在区间10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在10，20)，20，30)，30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望【答案】(1)a0.0250，4人；(2)答案见解析；(3).【解析】(1)由频率分布直方图知：(0.06250
12、.05000.0375a20.0125)51，a0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.012 50.037 5)50.25，选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25164人(2)由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3，P(X0)，P(X1)， P(X2)， P(X3)， X的分布列为X0123P (3)由已知得YB， E(Y)np3，含有一级运动员人数Y的期望为.考点六 二项分布与超几何分布综合运用例6.2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状大小完全相同的小球
13、(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】(1)；(2)选择第二种方案更合算.【解析】(1)选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为；(2)若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、.，.故的分布列为，所以(元).若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以(元).因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
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