1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题(重点，难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1空间向量运算的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法ab减法ab数乘a数量积aba1b1a2b2a3b3(a1b
2、1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)，R课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则平行(ab)ab(b0)ab垂直(ab)abab0 (a，b 均为非零向量)模|a|aa夹角公式cosa，b ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23a21a22a23a1b1，a2b2，Ra3b3a1b1a2b2a3b30课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考：若 a(a1，a2，a3)，b(
3、b1，b2，b3)，则ab 一定有a1b1a2b2a3b3成立吗？提示 当 b1，b2，b3 均不为 0 时，a1b1a2b2a3b3成立课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)AB；(2)dAB|AB|.a2a12b2b12c2c12(a2a1，b2b1，c2c1)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)若 a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则 b(2,4，2)()(2)若 a(1,2,0)，b(2,0,1)，则|a
4、|b|.()(3)若 a(0,0,1)，b(1,0,0)则 ab.()(4)在空间坐标系中，若 A(1,2,3)，B(4,5,6)，则AB(3，3，3)()答案(1)(2)(3)(4)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知向量 a(3，2,1)，b(2,4,0)，则 4a2b 等于()A(16,0,4)B(8，16,4)C(8,16,4)D(8,0,4)D 4a(12，8,4)，2b(4,8,0)，4a2b(8,0,4)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k
5、()【导学号：46342154】A1 B15C35 D75D kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得 k75.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4若点 A(0,1,2)，B(1,0,1)，则AB_，|AB|_.(1，1，1)3 AB(1，1，1)，|AB|121212 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难空间向量的坐标运算(1)若向量 a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)满足条件(ca)(2b)2，则 x_.(2)已知 O 是坐标原点，且 A，B，
6、C 三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求适合下列条件的点 P 的坐标；OP 12(ABAC)；AP12(ABAC)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，由(ca)2b2 得 2(1x)2，解得 x2.答案 2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)AB(2,6，3)，AC(4,3,1)OP 12(AB AC)12(6,3，4)3，32，2，则点 P 的坐标为3，32，2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页设 P(x，y，z)，则AP(x2，
7、y1，z2)AP12(ABAC)3，32，2，x23，y132，z22，解得 x5，y12，z0，则点 P 的坐标为5，12，0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1已知 a(2，1，2)，b(0，1,4)求：(1)ab；(2)ab；(3)ab；(
8、4)2a(b)；(5)(ab)(ab)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)(2)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6)(3)ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(4)2a(4，2，4)，(2a)(b)(4，2，4)(0,1，4)40(2)1(4)(4)14.(5)(ab)(ab)a2b2414(0116)8.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页利用向量的坐标运
9、算解决平行、垂直问题 已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)设 aAB，bAC.(1)若|c|3，cBC，求 c；(2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)根据 cBC，设 cBC，则向量 c 的坐标可用 表示，再利用|c|3 求 值；(2)把 kab 与 ka2b 用坐标表示出来，再根据数量积为 0 求解解(1)BC(2，1,2)且 cBC，设 cBC(2，2)(R)|c|222223|3.解得 1.c(2，1,2)或 c(2,1，2)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究
10、攻重难返首页(2)aAB(1,1,0)，bAC(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100，解得 k2 或 k52.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意：适当引入参数(比如向量 a，b 平行，可设 ab)，建立关于参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重
11、难返首页跟踪训练2已知 a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若 ab，分别求 与 m 的值；(2)若|a|5，且与 c(2，2，)垂直，求 a.【导学号：46342155】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)由 ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，16k，1k2m1，22k，解得k15，m3.实数 15，m3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)|a|5，且 ac，1212225，1，1，22，2，0，化简，得5223，2220，解得 1.因此，a(0,1，2).课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难
12、返首页空间向量夹角与长度的计算 探究问题1已知 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段 AB 的中点 P 的坐标是多少？提示：Px1x22，y1y22，z1z222设异面直线 AB，CD 所成的角为，则 cos cosAB，CD 一定成立吗？提示：当 cosAB，CD 0 时，cos cosAB，CD 当 cosAB，CD 0 时，cos cosAB，CD 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 如图 3-1-38 所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点图3138(1)求
13、BN 的长；(2)求 A1B 与 B1C 所成角的余弦值；(3)求证：BN平面 C1MN.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 思 路 探 究 建系Cxyz得各点的坐标数量积运算 夹角、长度公式 几何结论解(1)如图所示，建立空间直角坐标系 Cxyz.依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)，|BN|102012102 3，线段 BN 的长为 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)依题意得 A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，BA1(1，1,2)，CB1(0,1,2)，BA1 CB1 10(1)1223.又|BA
14、1|6，|CB1|5.cosBA1，CB1 BA1 CB1|BA1|CB1|3010.故 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为 3010.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)证明：依题意得 A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，M12，12，2，C1M 12，12，0，C1N(1,0，1)，BN(1，1,1)，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页C1M BN12112(1)010，C1N BN110(1)(1)10.C1M BN，C1N BN，BNC1M，BNC1N，又C1MC1NC1，C1M平面 C1
15、MN，C1N平面 C1MN，BN平面 C1MN.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 向量夹角的计算步骤(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上(2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标(3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练3如图 3-1-39 所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于a，点 M，N 分别是 AB，CD 的中点图3139(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求异面直线 AN 与 CM 所成角
16、的余弦值课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)证明：设ABp，ACq，AD r.由题意可知，|p|q|r|a，且 p，q，r 三个向量两两夹角均为 60.MN ANAM 12(ACAD)12AB12(qrp)，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页MN AB12(qrp)p12(qprpp2)12(a2cos 60a2cos 60a2)0.MN AB，即 MNAB同理可证 MNCD课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设向量AN与MC 的夹角为.AN12(ACAD)12(qr)，MC ACAM q12p，ANMC
17、12(qr)q12p12q212qprq12rp课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页12a212a2cos 60a2cos 6012a2cos 6012a2a24 a22 a24 a22.又|AN|MC|32 a，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页ANMC|AN|MC|cos 32 a 32 acos a22.cos 23.向量AN与MC 的夹角的余弦值为23，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为23.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，则
18、|3ab|为()A 15 B4C5 D 17D 3ab3(1,1,0)(1,0,2)(3,3,0)(1,0,2)(2,3,2)，故|3ab|494 17.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知 A(3,3,3)，B(6,6,6)，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是()A0 B C32 D2B OA(3,3,3)，BO(6，6，6)则OA BO33(6)54，|OA|3 3，|BO|6 3所以 cosOA，BO OA BO|OA|BO|543 36 31，所以OA，BO.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知 a(1，x,3)，b(2,4
19、，y)，若 ab，则 xy_.4 ab，ba.2，x4，3y，2，x2，y6.xy4.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4若 a(2,3，1)，b(2,1,3)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为_.【导学号：46342156】6 5 ab2(2)31(1)34，|a|14，|b|14，cosa，b414 1427.sina，b12723 57.因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a|b|sina，b 14 143 576 5.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是
20、 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG14CD，H 是 C1G 的中点利用空间向量解决下列问题：(1)求 EF 与 B1C 所成的角；(2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值；(3)求 F，H 两点间的距离课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 如图所示，以 DA，DC，DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则 D(0,0,0)，E0，0，12，F12，12，0，C(0,1,0)，C1(0，1,1)，B1(1,1,1)，G0，34，0.(1)EF12，12，12，B1C(1,0，1)，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首
21、页EFB1C 12，12，12(1,0，1)12(1)12012(1)0.EFB1C，即 EFB1CEF 与 B1C 所成的角为 90.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)因为C1G 0，14，1.则|C1G|174.又|EF|32，且EFC1G 38，cosEF，C1G EFC1G|EF|C1G|5117，即 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 5117.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)H 是 C1G 的中点，H0，78，12.又 F12，12，0，FH|FH|0122781221202 418.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十七）点击上面图标进入 谢谢观看
